Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Chapitre 3 FONCTION EXPONENTIELLE ACTIVITÉS : INTRODUCTION . . . . . . . . . .

Chapitre 3 FONCTION EXPONENTIELLE ACTIVITÉS : INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 I FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1 fonctions exponentielles x 7− →qx , avec q > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II LA FONCTION EXPONENTIELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1 déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 dérivée de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 III EXPONENTIELLE D’UNE FONCTION : exp(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1 dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 A. YALLOUZ (MATH@ES) 40 Lycée JANSON DE SAILLY Année 2017-2018 FONCTION EXPONENTIELLE Tle ES 4 Tle ES-L CONSTRUCTION EXPÉRIMENTALE DE LA FONCTION f : x 7− →qx , AVEC q > 0 Soit q > 0 un réel strictement positif. (un) est la suite géométrique déﬁnie pour tout entier n par un = qn. (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme 1. Pour tous entiers naturels m et p, on a : um ×up = qm × qp = qm+p = um+p On considère le nuage de points Mi représentatif de la suite qn. ÉTAPE 1 : prolongement sur les négatifs. Sachant que pour tout réel q > 0 et pour tout entier n, q−n = µ 1 q ¶n , on complète le graphique à l’aide de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1 q . On déﬁnit ainsi, une fonction f telle que pour tout entier relatif n, f (n) = qn. Pour tous entiers relatifs m et p, f (m)×f (p) = qm×qp = qm+p = f (m+p) 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 x y q1 q2 q3 q4 q6 q5 = q q4 ×q6 q0 = 1 bC M0 bC M1 bC M2 bC M3 bC M4 bC M5 bC M6 q−2 = 1 q2 bC bC bC bC ÉTAPE 2 : prolongement par dichotomie. RAPPEL Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre trois termes consécutifs d’une suite géométrique si, et seulement si, b est la moyenne géométrique de a et c (c’est à dire : b = pac) — Points d’abscisses n +0,5 avec n ∈Z Au point d’abscisse n + 0,5 = n +(n +1) 2 on associe la moyenne géométrique des deux termes consécutifs : f (n +0,5) = q f (n)× f (n +1) = q qn × qn+1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 x y q4 q6 q5 = q q4 ×q6 q0 = 1 bC bC bC bC bC bC bC bC bC bC bC q5,5 = q q5 ×q6 q−2,5 = q q−3 ×q−2 b b b b b b b b b b Pour tout entier relatif n : f (n +0,5) = q qn × qn+1 = q 2n+1 2 = qn × q0,5 = f (n)× f (0,5) A. YALLOUZ (MATH@ES) 41 Lycée JANSON DE SAILLY Année 2017-2018 FONCTION EXPONENTIELLE Tle ES 4 Tle ES-L — On obtient de nouveaux points en réitérant ce processus : Au point d’abscisse n +0,25 = n +(n +0,5) 2 = 2n +0,5 2 , on associe on associe le réel : f (n +0,25) = q qn × qn+0,5 = q 2n+0,5 2 = qn × q0,25 = f (n)× f (0,25) Au point d’abscisse n +0,75 = (n +0,5)+(n +1) 2 = 2n +1,5 2 on associe on associe le réel : f (n +0,75) = q qn+0,5 × qn+1 = q 2n+1,5 2 = qn × q0,75 = f (n)× f (0,75) Plus généralement soient A ¡ a;qa¢ et B ¡ b;qb¢ deux points de la courbe C f représentative de la fonction f , ce processus permet d’obtenir le point M µa +b 2 ; q qa × qb ¶ appartenant à la courbe C f . 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 x y C f b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b q4 q6 q5 = q q4 ×q6 q0 = 1 bC bC bC bC bC bC bC bC bC bC bC q5,75 = q q5,5 ×q6 q4,5 = q q4 ×q5 q−3,25 = q q−3,5 ×q−3 f µa +b 2 ¶ = q qa × qb = q a+b 2 = q a 2 × q b 2 = f ³a 2 ´ × f µb 2 ¶ La fonction f vériﬁe la relation f (x + y) = f (x)× f (y). DES FONCTIONS « TRANSFORMANT LES SOMMES EN PRODUITS » Soit f une fonction continue vériﬁant pour tous réels x et y : ½ f (x) ̸= 0 f (x + y) = f (x)× f (y) 1. En écrivant que pour tout réel x, f (x) = f ³x 2 + x 2 ´ , montrer que pour tout réel x, f (x) > 0. 2. En remarquant que pour tout réel x, f (x +0) = f (x), en déduire la valeur de f (0). 3. Démontrer que pour tout réel x, f (−x) = 1 f (x) 4. On pose f (1) = q. a) Calculer f (2) f (3) et f (0,5). b) Calculer uploads/Geographie/ fonction-exponentielle-cours 1 .pdf