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PREPARATION AUX AGREGATIONS INTERNES DE MECANIQUE ET GENIE MECANIQUE 2005 F. BI

PREPARATION AUX AGREGATIONS INTERNES DE MECANIQUE ET GENIE MECANIQUE 2005 F. BINET PREPARATION AUX AGREGATIONS INTERNES DE MECANIQUE ET GENIE MECANIQUE Bien que la spécialisation soit un trait nécessaire de notre civilisation, elle doit être complétée par l'intégration d'une pensée qui traverse les disciplines. Un obstacle permanent s'opposant à cette intégration est la ligne de démarcation entre ceux pour qui l'usage des mathématiques est chose aisée et les autres. Murray GELL-MANN Prix Nobel de physique. Illustration de couverture : Fractale de Mandelbrot AVANT-PROPOS. Jusqu'à une époque récente, les asservissements étaient traités au niveau ingénieur ou second cycle pour les mécaniciens et, d'une manière générale, les ouvrages concernant cette discipline sont difficilement abordables par un lecteur ne possédant pas un niveau de premier cycle universitaire. La majorité des enseignants qui désirent se préparer au concours d'Agrégation interne de Génie Mécanique ou de Mécanique ne sont plus familiers avec des notions qu'ils n'utilisent pas ou peu dans leur exercice quotidien et vont se heurter à ce problème. L'objectif de ce premier volume est de faire gagner un temps précieux au candidat qui doit simultanément préparer le concours, rédiger un important dossier pédagogique et assurer son enseignement. Il regroupe quelques rappels ainsi qu'un grand nombre de démonstrations en rapport avec le cours, utilisant les notations adéquates et suffisamment détaillées pour qu'un lecteur même "rouillé" puisse en suivre le fil. Ce n'est en aucun cas un cours de mathématiques, mais plutôt un aide-mémoire à consulter sur des points spécifiques au fur et à mesure des besoins. Le second volume concerne le cours d'asservissements proprement dit, allégé des démonstrations contenues dans le premier et auxquelles il fait systématiquement référence. Le troisième concerne l'aspect technologique et les applications. Je tiens à remercier les collègues qui m'ont signalé les erreurs et les coquilles qu'ils ont pu détecter lors de l'utilisation de ce poly. Elles ont été corrigées dans cette quatrième édition mais il en reste probablement quelques-unes unes. Les variables apparaissent tantôt en italique, tantôt non : il faut les considérer comme étant identiques. francis.binet@ac-versailles.fr F. BINET Préparation Agregations internes B1 & B3 OUTILS MATHEMATIQUES 1 Chapitre 1 CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL «René Thom, le grand topologue et mathématicien est le seul à m’avoir surpris en confirmant mes trouvailles paranoïaques- critiques sur la gare de Perpignan » Salvador Dali CHAPITRE 1 CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL F. BINET Préparation Agregations internes B1 & B3 OUTILS MATHEMATIQUES 2 1-1 DERIVEES. REMARQUE PREALABLE : Dans tout ce qui suit, on considèrera des "bonnes fonctions", c'est à dire des fonctions continûment dérivables. 1-1-1 DEFINITION : La dérivée f' d'une fonction f en un point x0 est la limite :         − − = → 0 0 x x 0 x x ) x ( f ) x ( f lim ) x ( ' f 0 Géométriquement (voir Fig.1-1), c'est la limite du taux d'accroissement entre x et xo, mesurant la pente de la droite (D). En rapprochant mentalement le point M du point Mo, on voit que la droite (D) se rapproche de la tangente à la courbe en Mo : la dérivée f'(xo) est donc la pente de la tangente en Mo. y x M xo f(x) f(xo) O Mo x (D) f(x) Fig.1-1 L'équation de la tangente en Mo est facile à exprimer : c'est une droite qui est donc de la forme : y = ax + b avec a = f'(x) et qui passe par le point (xo , yo) ⇒ = = + ⇒ = − y x f x f x x b b f x f x x ( ) ( ) '( ). ( ) '( ). 0 0 0 0 0 0 0 Finalement l'équation de la tangente en Mo est: y f x x f x f x x = + − '( ). ( ) '( ). 0 0 0 0 que l'on rencontre souvent sous la forme: ( ) 0 0 0 x x ) x ( ' f ) x ( f y − = − CHAPITRE 1 CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL F. BINET Préparation Agregations internes B1 & B3 OUTILS MATHEMATIQUES 3 1-1-2 VARIATION D'UNE FONCTION. Les théorèmes suivants sont très utiles lors de l'étude d'une fonction. a) Soit une fonction f, dérivable sur un intervalle I : Si la dérivée de f est positive sur I, alors f est croissante sur I. Si la dérivée de f est négative sur I, alors f est décroissante sur I. Si la dérivée de f est nulle sur I, alors f est constante sur I. b) Soit une fonction f, dérivable en un point xo : Si la dérivée de f(x) en xo, f'(xo) s'annule en changeant de signe alors f présente un maximum ou un minimum relatif en xo. c) Soit une fonction f, deux fois dérivable sur un intervalle I : Si la dérivée seconde de f est positive sur I, alors f est convexe sur I. Si la dérivée seconde de f est négative sur I, alors f est concave sur I. Si la dérivée seconde de f est nulle sur I, alors f est linéaire sur I. d) Soit une fonction f, deux fois dérivable en un point xo : Si la dérivée seconde de f(x) en xo, f"(xo) s'annule en changeant de signe alors f présente un point d'inflexion en xo. 1-1-3 CALCUL DES DERIVEES. Les formules de dérivation permettent de déterminer la dérivée d'une fonction à partir des dérivées de fonctions élémentaires. Notations: La dérivée nième d'une fonction f se note : f x n ( )( ) , avec n entre parenthèses. La puissance nième d'une fonction f se note : f x n( ). La fonction réciproque d'une fonction f se note : f x −1( ) La fonction composée de deux fonctions f et g se note : ( ) ) x ( g f o Les tableaux page suivante contiennent les formules de dérivation usuelles. La tradition est de noter les fonctions par u et par v au lieu de f et de g. CHAPITRE 1 CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL F. BINET Préparation Agregations internes B1 & B3 OUTILS MATHEMATIQUES 4 FONCTION DERIVEE u v + u v ' ' + u v . u v uv ' ' + K u . K u . ' 1 0 u u ; ≠ −u u ' 2 u v v ; ≠0 vu uv v ' ' − 2 u u ; > 0 u u ' 2 u n n ; ∈Ζ nu u n−1 ' ( )' fog ( ) ' g og ' f ( )' f 1 − 1 1 f of ' − FONCTION USUELLE DERIVEE 1 x −1 2 x 1 1 x k k ; ≠− − + k xk 1 x x ; > 0 1 2 x xn nxn−1 sin x cosx cosx −sin x tgx 1 1 2 2 cos x tg x = + log x 1 x ex ex arcsin x 1 1 2 −x arccosx − − 1 1 2 x arctgx 1 1 2 + x CHAPITRE 1 CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL F. BINET Préparation Agregations internes B1 & B3 OUTILS MATHEMATIQUES 5 1-1-4 LINEARISATION D'UNE FONCTION AUTOUR D'UN POINT. La linéarisation d'une fonction autour d'un point est une opération extrêmement courante en asservissements : En effet, les relations entre variables sont la plupart du temps des fonctions non- linéaires alors que l'on préfère travailler sur des relations linéaires pour des raisons de commodité et de simplicité. Suivant l'allure de la fonction à linéariser, on utilisera des méthodes différentes. Nous nous limiterons au cas de la linéarisation d'une courbe régulière autour d'un point non singulier, c.à.d. un point en lequel la courbe admet une tangente unique à pente ni nulle, ni infinie. Pour les autres méthodes (méthode de la corde, méthode du premier harmonique, méthode de l'énergie équivalente, etc.), qui concernent les asservissements non-linéaires, se référer à un ouvrage spécialisé. Considérons une fonction y = F(x) représentée Fig.1-2. Il n'est pas possible de la linéariser sur tout son domaine de définition sans faire une grossière approximation. On choisit donc un point de fonctionnement privilégié Mo = (Xo,Yo) autour duquel on peut linéariser, étant bien entendu que le résultat obtenu n'est valable qu'autour de ce point dans une fourchette dépendant de l'erreur ∆ que l'on peut tolérer. On assimile localement la courbe à sa tangente en Mo dont la pente K est la dérivée de F(x) en Mo. Ceci permet d'écrire que pour une valeur d'entrée X, la sortie est F(X) = Yo + K(X - Xo) correspondant au point M'. L'erreur commise est ∆. On peut raisonner en accroissements : ∆Y = K∆X avec ∆Y = Y - Yo et ∆X = X - Xo ce qui revient à effectuer un changement de repère : x' = x - Xo et y' = y - Yo Dans ce repère, les coordonnées du point M sont (X',Y') avec uploads/Geographie/ outils-mathematiques 1 .pdf