ROYAUME DU MAROC Minist` ere de l’´ Education Nationale Minist` ere de l’Enseig

ROYAUME DU MAROC Minist` ere de l’´ Education Nationale Minist` ere de l’Enseignement Enseignement Secondaire et Technique Sup´ erieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique Concours National Commun d’Admission aux Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs Session 2002 ´ EPREUVE DE MATH´ EMATIQUES II Dur´ ee 4 heures Concours PC Cette ´ epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice est interdit L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve, particuli` ere aux candidats du concours PC, comporte 4 pages. L’usage de la calculatrice est interdit . Les candidats sont inform´ es que la pr´ ecision des raisonnements ainsi que le soin apport´ e ` a la r´ edaction seront des ´ el´ ements pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le r´ esultat d’une question non r´ esolue s’ils l’indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec pr´ ecision les r´ ef´ erences des questions abord´ ees. Notations et rappels Soit n un entier naturel sup´ erieur ou ´ egal ` a 2. On note M n (K ) l’alg` ebre des matrices carr´ ees d’ordre n ` a coefficients dans K (K = R ou C ) ; la matrice identit´ e de M n (K ) est not´ ee I n et J n est la matrice dont tous les coefficients valent 1. On munit M n (K ) de la norme k:k 1 d´ efinie pour A = (a ij ) par : kAk 1 = max 16 i6 n n X j =1 ja ij j: On admet que si A et B sont deux ´ el´ ements de M n (K ) alors kAB k 1 6 kAk 1 kB k 1. On d´ esigne enfin par K n l’ensemble des matrices A = (a ij ) dont tous les coefficients sont positifs ou nuls et v´ erifient : 8 i 2 f1; : : : ; ng; n X j =1 a ij = 1: I. ´ Etude d’exemples 1. Le cas de la dimension 2. Soit A = (a ij ) 2 M 2 (R ). On pose a = a 11 et b = a 21. (a) Donner une condition n´ ecessaire et suffisante sur a 12, a 22, a et b pour que A soit dans K 2. (b) Dans cette question et la suivante, on suppose que A 2 K 2 et que a b 6= 1 ; d´ eterminer les valeurs propres de A ainsi que les sous-espaces propres associ´ es. A est-elle diagonalisable dans M 2 (R ) ? Si oui, la diagonaliser. (c) ´ Etudier alors la convergence et calculer la limite ´ eventuelle de la suite (A p ) p2N. 2. ´ Etude d’un exemple en dimension n Soient et deux r´ eels, avec 6= 0, et M 2 M n (R ) la matrice dont les coefficients diagonnaux sont ´ egaux ` a , les autres valant . (a) Calculer J k n pour tout k 2 N . (b) Exprimer M ` a l’aide des matrices I n et J n puis en d´ eduire, pour tout p 2 N , une expression de M p comme combinaison lin´ eaire de I n et J n. (c) On suppose que M 2 K n et que n > 3. Montrer que j j < 1 et en d´ eduire le comportement de la suite (M p ) p2N. Si elle converge, quelle est sa limite ? (d) Retrouver le r´ esultat de la question pr´ ec´ edente en calculant les valeurs propres de M puis en justifiant qu’elle est diagonalisable dans M n (R ). ´ Epreuve de Math´ ematiques II 1 / 4 Tournez la page S.V.P. II. ´ Etude d’une suite de matrices Consid´ erons une matrice r´ eelle A = (a ij ) dont tous les coefficients sont strictement positifs ; on suppose de plus que A et sa matrice transpos´ ee, not´ ee t A, appartiennent ` a K n. On a donc : 8 (i; j ) 2 f1; : : : ; ng 2 ; a ij > 0 et n X k =1 a ik = n X k =1 a k j = 1: On note w = min fa ij ; 1 6 i; j 6 ng, et pour tout y = (y 1 ; : : : ; y n ) 2 R n, on pose M (y ) = max 16i6n y i et m(y ) = min 16i6n y i : On d´ esigne par (e 1 ; : : : ; e n ) la base canonique de R n et on pose e = e 1 +    + e n. On note H l’ensemble H = f(x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n =x 1 +    + x n = 0g; et pour tout x 2 H on pose N (x) = M (x) m(x): 1. (a) Montrer que H est un hyperplan de R n. (b) Montrer que N est une norme sur H. 2. (a) Montrer que H et R : e sont suppl´ ementaires dans R n. (b) On note p la projection sur R :e parall` element ` a H.  Pour x = (x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n, exprimer p(x) en fonction de x 1 ; : : : ; x n et e.  ´ Ecrire alors la matrice B de p dans la base canonique de R n. 3. On d´ esigne par f l’endomorphisme de R n canoniquement associ´ e ` a la matrice A. Montrer que H est stable par f. 4. On d´ esigne par g l’endomorphisme induit par f sur H. Soit x 2 H. (a) Montrer que 8 i 2 f1; : : : ; ng; M (x) n X j =1 a ij x j > w [M (x) m(x)]; puis en d´ eduire que M (g (x)) 6 w m(x) + (1 w )M (x): (b) Montrer de mˆ eme que m(g (x)) > w M (x) + (1 w )m(x): (c) Conclure que N (g (x)) 6 (1 2w )N (x): 5. On pose g 0 = id H et pour k 2 N , g k = g Æ    Æ g (k fois). (a) Montrer que pour tout x 2 H, la suite g k (x)  k 2N de l’espace vectoriel norm´ e (H ; N ) converge vers le vecteur nul. (b) En d´ eduire que 1 n’est pas valeur propre de g. (c) V´ erifier que 1 est valeur propre de f et montrer que l’espace propre associ´ e est R : e. 6. (a) V´ erifier que f Æ p = p. ´ Epreuve de Math´ ematiques II 2 / 4 Tournez la page S.V.P. (b) Montrer que pour tout x 2 R n, la suite f k (x)  k 2N converge vers p(x). 7. Pour tout x = (x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n, on pose N 1 (x) = n X i=1 jx i j. On note B = (b ij ), et pour tout k 2 N , A k = (a (k ) ij ). (a) V´ erifier que pour tout k 2 N  et tout i 2 f1; : : : ; ng, f k (e i ) p(e i ) = n X j =1 (a (k ) j i b j i )e j. (b) Exprimer k t (A k ) t B k 1 en fonction de N 1 f k (e 1 ) p(e 1 )  ; : : : ; N 1 f k (e n ) p(e n )  et conclure alors que la suite A k  k 2N  converge, dans M n (R ), vers la matrice B. III. Quelques propri´ et´ es de matrices appartenant ` a K n Dans cette partie, A = (a ij ) d´ esigne un ´ el´ ement de K n et u l’endomorphisme de C n canonique- ment associ´ e ` a la matrice A. Soit  une valeur propre de u et x = (x 1 ; : : : ; x n ) un vecteur propre associ´ e. A- Premiers r´ esultats 1. Montrer que 1 est une valeur propre de u. 2. En faisant une traduction matricielle de l’´ egalit´ e u(x) = x et en choisissant un indice p tel que jx p j = max 16i6n jx i j, montrer que jj 6 1. 3. Dans la suite, on pose m = min fa ii ; 1 6 i 6 ng. (a) En utilisant une m´ ethode analogue ` a la pr´ ec´ edente, montrer que j uploads/Geographie/ cnc-2002-psi-maths-2 1 .pdf

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