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. 2 SM A et B Devoir libre N°1 2021/2022 Exercice 1 Soit f la fonction définie

. 2 SM A et B Devoir libre N°1 2021/2022 Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R par: $ & % f(x) = x3 (1 + x2) arctan(x) ; si x ą 0 f(x) = x + 2?´x ; si x ď 0 1 calculer lim xÑ+8 f(x) et lim xÑ´8 f(x) 2 a Montrer que lim xÑ0 arctan(x) x = 1 b Montrer que f est continue en x0 = 0 3 Étudier la dérivabilité en x0 = 0 et interpréter géométriquement les résultats 4 a Montrer que (@x P R+) x 3 + x2 ď arctan(x) a Montrer que f est dérivable sur ]0; +8[ et que (@x P]0; +8[) : f1(x) = x2 [ (3 + x2) arctan(x) ´ x ] (1 + x2)2(arctan(x))2 En déduire la monotonie de f sur R+ c Étudier les variations de f sur ] ´ 8; 0[ d Dresser le tableau de variations de f 5 a Étudier la branche infinie de (Cf) au voisinage de ´8 b Montrer que (@x ą 0) : arctan(x) = π 2 ´ arctan (1 x ) c Étudier la branche infinie de (Cf) au voisinage de +8 6 On pose g la restriction de f sur I =] ´ 8; ´1] a Montrer que g est une bijection de I vers un intervalle J à déterminer b Montrer que g´1 est dérivable en 0 puis calculer (g´1)1(0) c Calculer g´1(x) pour tout x P J 7 Tracer la courbe (Cf) et la courbe de g´1 dans un même repère ( O;⃗ i;⃗ j ) Année Scolaire: 2021 ´ 2022 1 Lydex:Behgurir uploads/Geographie/ devoir-libre-1 2 .pdf