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Ecole Sup´ erieure des Aﬀaires Ann´ ee acad´ emique: 2020-2021 Exercices d’Anal

Ecole Sup´ erieure des Aﬀaires Ann´ ee acad´ emique: 2020-2021 Exercices d’Analyse Num´ erique Exercice 1 On consid` ere le syst` eme d’´ equations suivant, o` u a, b, c et m sont des param` etres r´ eels: (Σ)              2x + y −z = a (L1) x + my + z = b (L2) 3x + y −mz = c. (L3) 1. Calculer le d´ eterminant ∆du syst` eme (Σ) et pr´ eciser les valeurs pour lesquelles ∆̸= 0; 2. R´ esoudre (Σ) par la m´ ethode de CRAMER et par la m´ ethode matricielle. Exercice 2 Trouver par la m´ ethode de Newton la solution positive approch´ ee ` a la troisi` eme approximation du syst` eme d’´ equations              x2 + y2 + z2 = 1 2x2 + y2 −4z = 0 3x2 −4y + z2 = 0. , x(0) =    x0 = 0, 5 y0 = 0, 5 z0 = 0, 5    en partant de l’approximation initiale x(0). La solution ` a la p-i` eme approximation est donn´ ee par: x(p+1) = x(p) −W −1(x(p))f(x(p)), p = 0, 1, 2, . . . . L’on d´ eterminera les fonctions f1, f2, f3 du vecteur fonction ainsi que la matrice jacobienne W(x(0)). Exercice 3 On consid` ere le syst` eme (A)                        x + (m + 1)y + 2mt = a mx + z + t = b (2m + 1)x + y + (m + 1)z + t = c (m + 1)z + (m + 1)t = d. o` u m, a, b, c et d sont des param` etres r´ eels. 1. D´ eterminer les valeurs de m pour lesquelles (A) n’est pas un syst` emes de Cramer. 2. Pour chacune de ces valeurs, donner une condition n´ ecessaire et suﬃsante sur les param` etres m, a, b, c et d pour que (A) admette des solutions dans R et pr´ eciser alors la dimension de l’espace aﬃne des solutions. 1 Exercice 4 On consid` ere un syst` eme de Cramer d’ordre n A(1)X = B(1) tel qu’on peut appliquer la m´ ethode d’´ elimination de Gauss sans faire aucune permutation. Les notations ´ etant celles du rappel de cours, on d´ esigne par M(r) la matrice                       1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 ... ... . . . 0 ... ... . . . . . . ... 1 ... . . . . . . 0 ... ... . . . . . . . . . −mr+r ... ... . . . . . . . . . . . . 0 ... 0 . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . 0 −mnr 0 . . . 0 1                       . 1. V´ eriﬁer la relation de r´ ecurrence A(r+1) = M(r)A(r). 2. D´ emontrer que A(1) s’´ ecrit sous la forme A(1) = LU. o` u L est une matrice triangulaire inf´ erieure dont les ´ el´ ements de la diagonale sont ´ egaux ` a 1 U une matrice triangulaire sup´ erieure. 3. V´ eriﬁer que L s’exprime au moyen des coeﬃcients mij et que U s’exprime au moyen des coeﬃcients a(k) ij . 4. En d´ eduire que la r´ esolution du syst` eme A(1)X = B(1) par la m´ ethode d’´ elimination se ram` ene ` a la r´ esolution de deux syst` emes lin´ eaires triangulaires. Exercice 5 A- Dans M3(C), on consid` ere la matrice A =    0 1 0 −1 0 0 0 0 1   . 1. D´ emontrer que A est diagonalisable. 2. D´ eterminer une matrice inversible P, telle que P−1AP soit diagonale. 3. Calculer An, pour n ∈N. Exercice 6 2 Soit a un r´ eel et A la matrice A =    6 2 0 2 3 0 a(a −7) a −7 a   . 1. A est-elle diagonalisable. 2. Calculer, pour a = 2 et n ∈N. 3. Calculer An, pour n ∈N, An. Exercice 7 A- On consid` ere la matrice r´ eelle A =    8 −1 2 7 0 2 −18 3 −4   . 1. Calculer le polynˆ ome caract´ eristique et le polynˆ ome minimal de A. 2. La matrice A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?. 3. D´ eterminer la dimension des sous-espaces propres de A. 4. Trigonaliser A. Exercice 8 On consid` ere la matrice r´ eelle A =    0 1 1 1 2 −1 −1 1 2   . 1. D´ emontrer que A n’est pas diagonalisable. 2. D´ emontrer que A est semblable ` a matrice A′ =    1 1 0 0 1 0 0 0 2    et d´ eterminer la matrice P telle que A′=P−1AP. Exercice 9 Soit la matrice r´ eelle A =      −4 1 0 1 −2 −1 0 1 −12 6 3 1 −2 1 0 −1      1. A est-elle diagonalisable ? 3 2. D´ eterminer le polynˆ ome minimal de A. 3. Trigonaliser A. Exercice 10 1. On se propose de calculer l’int´ egrale I1 = Z π 0 dϕ 2 + cos(ϕ) de 2 mani` eres: a- On eﬀectue le changement de variables tg(ϕ/2) = t et l’on est ramen´ e ` a une fraction rationnelle, que l’on int` egrera. b- On applique la m´ ethode des trap` ezes en prenant π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6 comme points interm´ ediaires de l’intervalle [0, π] ; c- Calculer les 2 r´ esultats. 2. Calculer l’int´ egrale I2 = Z π 0 dϕ (2 + cos(ϕ))2 par les deux m´ ethodes pr´ ec´ edentes, c’est-` a-dire: a- en eﬀectuant le changement de variables tan (ϕ/2) = t, b- en appliquant la m´ ethode des trap` ezes comme dans 1.b-. 3. Int´ egrer Z π 0 dϕ a + b cos(ϕ) pour a > b > 0. L’int´ egrale est une fonction de a et de b, I(a, b), dont on calculera la d´ eriv´ ee partielle, ∂I/∂a. Comparer ∂I/∂a pour a = 2, b = 1 ` a la valeur I, trouv´ ee dans 2.a-. Exercice 11 I. On consid` ere l’int´ egrale Z 1/ √ 2 0 dx √ 1 −x2 (1) 1. Donner la valeur exacte de cette int´ egrale. 2. Calculer l’int´ egrale pr´ ec´ edente par la m´ ethode des trap` ezes en prenant pour points de subdi- vision les nombres suivants: 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 1/ √ 2 = 0, 707 . . . 3. V´ eriﬁer qu’on obtient la valeur de l’int´ egrale ` a 1/600 pr` es par exc` es. 4. Montrer que, lorsqu’on n´ eglige l’intervalle (0,5; 1/ √ 2), on obtient la valeur de l’int´ egrale ` a 1/80 pr` es. 4 II. On d´ esire calculer l’int´ egrale I = Z 1/ √ 2 0 dx p (1 −x2)(1 −2x2) . Comme cette int´ egrale ne se calcule pas par des fonctions ´ el´ ementaires et que, de plus, la fonction sous le signe somme devient inﬁnie pour x = 1/ √ 2, on calculera une valeur approch´ ee des trap` ezes dans l’intervalle (0; 0,7) en prenant 6 points de subdivision interm´ ediaires. 1. Calculer la valeur de l’int´ egrale Z 0,7 0 dx p (1 −x2)(1 −2x2) . 2. En utilisant la double in´ egalit´ e 1 √ 1 −x2 < 1 p (1 −x2)(1 −2x2) < √ 2 √ 1 −2x2 , indiquer l’erreur commise en adoptant pour valeur de I la valeur calcul´ ee au II.1. 5 uploads/Geographie/ 2215-file-devoir-analyse-numerique.pdf