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Universit´ e catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain MECANIQUE DES

Universit´ e catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain MECANIQUE DES FLUIDES ET TRANSFERTS I V. Legat, G. Winckelmans Notes pour le cours MECA1321 Ann´ ee acad´ emique 2013-2014 (version 5.7 14-2-2013) Ce document est une oeuvre originale prot´ eg´ ee par le droit d’auteur. Copyright V. Legat, G. Winckelmans, f´ evrier 2011 Ce texte est toujours une version provisoire. Malgr´ e tout le soin apport´ e ` a sa r´ edaction, il est possible que quelques erreurs soient toujours pr´ esentes dans le texte. Tout commentaire, critique ou suggestion de votre part, est ´ evidemment le bienvenu. Il vous est possible de m’envoyer vos commentaires directement par courrier ´ electronique ` a l’adresse suivante : vincent.legat@uclouvain.be Les ´ eventuels errata du texte (ainsi que les nouvelles versions successives) seront disponibles sur le site Web du cours. La section sur la convection naturelle a ´ et´ e r´ edig´ ee par Quentin Bouvy sur base du cours et des transparents 08-09 Les titulaires du cours lui sont tr` es reconnaissants pour ce travail fait avec beaucoup de soin. Toutefois, il est pos- sible que quelques petites inexactitudes soient encore pr´ esentes et cette partie devra encore ˆ etre largement retravaill´ ee. Les sections sur le transfert de masse et le transfert de chaleur ne correspon- dent pas totalement ` a l’expos´ e du cours et n´ ecessiteront aussi une certaine indulgence de la part des ´ etudiants. Nous esp´ erons vous fournir une version mise ` a jour au fur ` a mesure de la remise ` a jour des notes. La version 2010-11 a b´ en´ eﬁci´ e d’une relecture attentive des ´ etudiants suivants: Allan Barrea, Vincent Bertrand, Thibaud Husson, Micha¨ el Malotaux, Urbain Vaes et Nicolas Van Der Noot. Les titulaires en proﬁtent donc pour exprimer ici leur ´ eternelle reconnaissance : le texte est maintenant un peu plus lisible et compr´ ehensible, du moins nous l’esp´ erons. Le secret d’ennuyer est de vouloir tout dire -Voltaire- Avant-propos Les ph´ enom` enes de transfert interviennent dans un grand nombre de domaines d’applica- tion de l’ing´ enieur. Il est donc essentiel d’en introduire la mod´ elisation math´ ematique. Il s’agit du transfert de quantit´ e de mouvement (´ ecoulements visqueux), du transfert d’´ energie (conduction thermique, convection et radiation) ainsi que du transfert de masse. En g´ en´ eral, le milieu dans lequel les ph´ enom` enes de transfert sont d´ ecrits est suppos´ e ˆ etre continu. Il s’agit de l’hypoth` ese de milieux continus. En n´ egligeant presque compl` etement une interpr´ etation au niveau mol´ eculaire des ph´ enom` enes de transferts, cette d´ emarche permet de r´ epondre ` a la plupart des probl` emes pratiques pos´ es ` a l’ing´ enieur. Aﬁn d’avoir une compr´ ehension compl` ete des ph´ enom` enes ´ etudi´ es, il est ´ evidemment opportun d’avoir une compr´ ehension aux deux ´ echelles. Pourquoi eﬀectue-t-on l’hypoth` ese des milieux continus au lieu d’eﬀectuer un calcul de dynamique mol´ eculaire ? Pour un syst` eme avec un petit nombre d’´ el´ ements, nous pouvons eﬀectuer des pr´ edictions en utilisant les lois de la dynamique classique. Mais, cela n’est plus possible pour un syst` eme avec un tr` es grand nombre d’´ el´ ements... A titre d’exemple, il suﬃt d’observer qu’un litre d’air contient approximativement 1023 mol´ ecules, tandis qu’un ordinateur fait actuellement 1010 op´ erations par seconde. En d’autres mots, il faut 1013 secondes ou approximativement 100000 ann´ ees juste pour r´ ef´ erencer chaque mol´ ecule ! Il est donc totalement impossible de pr´ edire le comportement de l’air dans la plupart des situations usuelles par la dynamique mol´ eculaire. C’est pourquoi, nous utilisons la m´ ecanique des milieux continus. L’hypoth` ese fondamentale de la m´ ecanique des milieux continus est que le comporte- ment de la plupart des gaz, solides et liquides (qui ne sont pas continus !) est virtuellement exactement le mˆ eme si on supposait qu’ils ´ etaient une mat´ eriau parfaitement continus. L’observation exp´ erimentale supporte cette hypoth` ese, du moins pour l’air, l’eau, les m´ etaux... Les quantit´ es physiques telles que la masse et la quantit´ e de mouvement as- soci´ ees avec les mol´ ecules contenues dans un volume donn´ e peuvent ˆ etre vues comme ´ etant r´ eparties uniform´ ement sur le volume au lieu d’ˆ etre concentr´ ees sur chaque mol´ ecule. La densit´ e obtenue comme une moyenne... A titre d’illustration, nous allons expliquer et d´ ecrire l’hypoth` ese de m´ ecanique de milieux continus dans un monde uni-dimensionnel. Le syst` eme de coordonn´ ee spatiales se r´ eduit donc simplement ` a l’axe ex. Dans ce monde uni-dimensionnel, nous avons des mol´ ecules. Supposons donc que nous souhaitons mesurer la densit´ e d’un mat´ eriau ` a un point x et ` a un instant t. Dans cette optique, nous consid´ erons un intervalle de longueur L centr´ e en i x et nous mesurons la quantit´ e de masse ML(t) pr´ esente dans cet intervalle. La densit´ e en ce point x et ` a un instant t est alors simplement d´ eﬁnie par : ρ(L, x, t) = ML(t) L . Evidemment, le r´ esultat obtenu est diﬀ´ erent pour chaque longueur L d’intervalle et pour chaque position x et instant t. En d’autres mots, pour une position donn´ ee et un instant donn´ e, la densit´ e est une fonction de la longueur L. Exp´ erimentalement, on observe en g´ en´ eral une comportement semblable ` a celui illustr´ e sur la Figure 1. Essentiellement constant Fluctuations mol´ eculaires Non uniformit´ e macroscopique Figure 1: Allure sch´ ematique de la moyenne de la densit´ e ρ(L, x, t) en fonction de la longueur de l’intervalle de r´ ef´ erence L ` a une position donn´ ee x et ` a un instant ﬁx´ e t. On peut alors imaginer de d´ eﬁnir la densit´ e du milieu continu en x et t comme la valeur de la moyenne de ρ(L, x, t) dans la zone centrale de la Figure 1 et de prolonger cette valeur constante pour les tailles d’intervalles tendant vers z´ ero. En d’autres mots, on supprime la partie gauche du graphe en extrapolant la valeur constante de la zone centrale, dans la partie o` u on observe normalement les ﬂuctuations mol´ eculaires. Notons qu’` a une dimension, la densit´ e aura les dimensions de masse par longueur. Dans le cas tridimensionnel, nous aurons ´ evidemment des unit´ es de masse par volume. D’une certaine mani` ere, il y a une sorte de principe d’incertitude ici. Pour calculer la densit´ e, nous eﬀectuons une moyenne sur une certaine longueur L : ce qui introduit une certaine incertitude sur la valeur fournie... Pour r´ eduire cette incertitude, il faudrait diminuer la ii longueur L. Par contre, si nous diminuons trop cette longueur, nous allons avoir une incertitude due aux ﬂuctuations mol´ eculaires. Donc, plus on souhaite r´ eduire l’erreur due au processus de moyenne, plus on introduit une incertitude due aux ﬂuctuations mol´ eculaires. En m´ ecanique de milieux continus, un point mat´ eriel est donc physiquement un vol- ume ´ el´ ementaire suﬃsamment grand aﬁn de lisser toutes les ﬂuctuations mol´ eculaires et suﬃsamment petit aﬁn d’ˆ etre n´ egligeable par rapport aux variations macroscopiques. La validit´ e de l’hypoth` ese de m´ ecanique des milieux continus est directement li´ ee ` a la s´ eparation des ´ echelles entre les ﬂuctuations mol´ eculaires et les variations macroscopiques. En g´ en´ eral, on observe une s´ eparation des ´ echelles d’un facteur 1015 dans les milieux solides, liquides et gazeux pour les applications usuelles de l’ing´ enieur. Cette proc´ edure de moyenne peut ˆ etre eﬀectu´ ee pour toutes les quantit´ es physiques que l’on souhaite conserver. A chaque point de l’espace et du temps, on pourra ainsi assigner une densit´ e de masse ρ(x, t), une densit´ e de quantit´ e de mouvement p(x, t) ou une densit´ e d’´ energie interne massique U(x, t). Si nous supposons que les ﬂuctuations al´ eatoires de la position et de la masse des mol´ ecules ne sont pas corr´ el´ ees avec les ﬂuctuations al´ eatoires de vitesses de celles-ci, on peut ´ ecrire simplement que : p(x, t) = ρ(x, t) v(x, t). (1) En d’autres mots, nous allons prendre l’´ equation (1) comme la mani` ere d’obtenir un champ moyen de vitesses pour le milieu continu. La vitesse du milieu continu est donc d´ eﬁnie comme le rapport de la quantit´ e de mouvement et de la densit´ e par le processus que nous venons de d´ ecrire. L’´ equation de continuit´ e... De mani` ere g´ en´ erale en physique, il existe un principe universel que la mati` ere ne peut ˆ etre ni cr´ ee, ni d´ etruite. Dans la m´ ecanique des milieux continus, ce principe per- met l’obtention de l’´ equation de continuit´ e : uploads/Geographie/ mecanique-des-fluides-et-transferts.pdf