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´ ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH,

´ ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT–´ ETIENNE, MINES DE NANCY, T´ EL´ ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI` ERE MP) ´ ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI` ERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2011 PREMI ` ERE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE Fili` ere MP (Dur´ ee de l’´ epreuve: 3 heures) L’usage de la calculatrice est autoris´ e Sujet mis ` a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac ¸on apparente sur la premi` ere page de la copie : PHYSIQUE I — MP. L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 6 pages. – Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e ` a le signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e amen´ e ` a prendre. – Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. Le bar` eme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie. TRANSPORTS PLAN ´ ETAIRES Ce probl` eme ´ etudie divers aspects physiques du voyage ` a l’´ echelle plan´ etaire. Il est compos´ e de deux parties ind´ ependantes, la premi` ere envisage le d´ eplacement d’un train dans un tunnel creus´ e dans la sph` ere terrestre, la seconde ´ etudie la mont´ ee d’un ascenseur le long d’un cˆ able vertical ﬁx´ e ` a l’´ equateur. Dans tout le probl` eme la Terre est assimil´ ee ` a un corps sph´ erique homog` ene de rayon rT, de centre OT et de masse volumique homog` ene μT. Pour les applications num´ eriques on prendra μT = 5,50·103kg.m−3, rT = 6,38·106m , et on utilisera 3 chiffres signiﬁcatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de la gravitation de Newton G = 6,67 · 10−11m3.kg−1.s−2. Les vecteurs sont surmont´ es d’un chapeau s’ils sont unitaires ux ou d’une ﬂ` eche dans le cas g´ en´ eral − → OP. Une quantit´ e surmont´ ee d’un point d´ esigne la d´ eriv´ ee totale par rapport au temps de cette quantit´ e ˙ θ = dθ dt . I. — Le m´ etro gravitationnel Dans toute cette partie on n´ eglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-mˆ eme et on se place dans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique que l’on supposera galil´ een. I.A. — Etude pr´ eliminaire On consid` ere un point P situ´ e ` a l’int´ erieur de la sph` ere terrestre. On note − − → OTP = − → r = r ur et − − → g(P) le champ gravitationnel cr´ e´ e par la terre en P. 1 — Justiﬁer que − − → g(P) est port´ e par ur et que son module ne d´ epend que de r, on notera donc − − → g(P) = g(r) ur. En utilisant le th´ eor` eme de Gauss gravitationnel d´ eterminer l’expression de g(r) en fonction de ω2 = 4 3πGμT et r. 2 Énoncé Mines Ponts 2011 MP épreuve I 2 — D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que la force de gravitation s’exerc ¸ant sur un point de masse m situ´ e en P d´ erive de l’´ energie potentielle Ep (r) = Ep0 + 1 2mω2r2 o` u Ep0 est une constante qui d´ epend de la r´ ef´ erence choisie et que l’on ne demande pas d’expliciter. Quelle est la dimension de ω ? I.B. — Le tunnel droit On relie deux points A et B de l’´ equateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon le sch´ ema de la ﬁgure 1 qui pr´ esente ´ egalement les notations utilis´ ees. FIG. 1 – Le tunnel droit On consid` ere un mobile ponctuel P de masse m se d´ eplac ¸ant dans le tunnel sous l’effet du champ gravitationnel terrestre. La position du mobile est rep´ er´ ee sur le segment [AB] par la coordonn´ ee x telle que − → PH = x ux o` u le vecteur unitaire ux est colin´ eaire ` a − → AB et de mˆ eme sens et H est la projection orthogonale de OT sur [AB]. On note ﬁnalement h = OTH. Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans l’axe du tunnel grˆ ace ` a un syst` eme de conﬁnement. Il n’y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec celles-ci. Un tel conﬁnement est envisageable en utilisant des parois magn´ etiques ! On suppose enﬁn qu’un vide sufﬁsament pouss´ e a ´ et´ e cr´ e´ e dans le tunnel. Sous toutes ces hypoth` eses, on consid´ erera que la seule force qui s’applique au mobile est la force de gravitation qu’exerce sur lui la terre. ` A l’instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale. 3 — D´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle (lin´ eaire) du second ordre v´ eriﬁ´ ee par x(t). En d´ eduire l’expression de x(t) en fonction de h, rT, ω et t. 4 — D´ eterminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point cette vitesse est-elle atteinte ? 5 — Exprimer la dur´ ee τ0 du trajet entre AB et calculer sa valeur num´ erique. I.C. — Projet de m´ etro Pour desservir plusieurs points sur l’´ equateur, on consid` ere un syst` eme de tunnels repr´ esent´ es sur la ﬁgure 2. Un tunnel circulaire est perc´ e ` a une distance rH du centre de la Terre dans le plan de l’´ equateur et l’on creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remont´ ee A1H1 A2H2, etc... Ces tunnels se raccordent au tunnel circulaire interne en des points H1, H2, ··· . Chaque jonction est tangentielle, c’est-` a-dire que − − − → A1H1.− − − → OTH1 = − − − → A2H2.− − − → OTH2 = ··· = 0. Les points H1, H2,... sont ´ equip´ es d’un syst` eme d’aiguillage Énoncé Mines Ponts 2011 MP épreuve I 3 FIG. 2 – Le syst` eme de tunnels assurant la continuit´ e du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre le tunnel de descente ou de remont´ ee et le tunnel circulaire. On assimile cette rame ` a un point mat´ eriel P de masse m astreint ` a circuler dans l’axe du tunnel et sans contact avec ses parois grˆ ace au syst` eme de conﬁnement. ` A l’instant t = 0, on laisse tomber une rame du point A1 et sans vitesse initiale. 6 — Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H1H2. D´ eterminer la vitesse de la rame sur cette portion, en d´ eduire que la dur´ ee τ1 du transfert de H1 vers H2 se met sous la forme τ1 = θ ω f (y) o` u y = rT/rH et f est une fonction que l’on d´ eterminera. 7 — D´ eterminer la dur´ ee totale τ du voyage de A1 vers A2 en fonction de θ, ω et y. D´ eterminer la valeur num´ erique de τ pour un voyage tel que θ = π/3 avec rH = rT/2. Comparer les caract´ eristiques de ce voyage avec son ´ equivalent ` a la surface de la terre. 8 — Avec un diam` etre moyen de 7 m, ´ evaluer la quantit´ e de d´ eblais ` a ´ evacuer pour creuser le tunnel circulaire, ainsi qu’un tunnel radial. Commenter le r´ esultat obtenu. L’une des nombreuses hypoth` eses n´ ecessaires ` a la r´ ealisation d’un tel projet est la cr´ eation et le maintien d’un vide sufﬁsant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut ˆ etre que partiel sur un tel volume et le tunnel contient de l’air de densit´ e volumique de masse ρ maintenu ` a la pression p et ` a la temp´ erature ambiante. Ce dernier point serait ` a discuter dans le cadre d’une ´ etude plus compl` ete que nous ne m` enerons pas ici. On supposera que p et ρ sont constantes dans l’enceinte du tunnel et que l’air s’y comporte comme un gaz parfait. Pour cette ´ etude on se place dans le cas du mouvement dans le tunnel circulaire. Des exp´ eriences d’a´ erodynamique montrent que le mouvement d’un solide dans un gaz au repos est soumis ` a une force de frottement, dite traˆ ın´ ee. Cette traˆ ın´ uploads/Geographie/ mine-pont-2011-corrige.pdf