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Galilée : (1564-1642) La philosophie est écrite dans ce grand livre, l'univers,

Galilée : (1564-1642) La philosophie est écrite dans ce grand livre, l'univers, qui ne cesse pas d'être ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne comprends pas le langage et on ne connaît pas les caractères avec lesquels il est écrit. Or, la langue est celle des mathématiques, et les caractères sont triangles, cercles et d'autres figures géométriques. Si on ne les connaît pas, c'est humainement impossible d'en comprendre même pas un seul mot. Sans eux, on ne peut qu'aller à la dérive dans un labyrinthe obscur et inextricable". G. Galilei, "Il Saggiatore", Rome, 1623 Mécanique des Milieux Continus Ebauche de cours de la mécanique des milieux continus déformables pour SMP-S6 René Descartes : (1596-1650) René Descartes a écrit les principes de la philosophie en 1644, dont l’objectif est de « donner des fondements rigoureux à la philosophie». La physique cartésienne est fondée sur l’identification de la matière avec la quantité géométrique : la pesanteur et le mouvement sont ramenés à une explication mécaniste. Sa description du monde est essentiellement cinématique, le mouvement se transmettant de proche en proche par contact. Dans les Principes de la Philosophie, Descartes distingue la cause première de tous les mouvements (Dieu, auteur de la nature), des causes secondes appelées les lois de la nature, qui régissent le mouvement des parties de la matière. FSR UM5 A. Rtibi ii Roger Josef Boscovich : (1711-1787) Pour R.J. Boscovich, les corps ne sont continus qu’en apparence, en réalité, ils sont formés de points matériels isolés ; « un corps continus soit un concept intuitif, primitif, on peut toujours le penser comme un ensemble de points matériels, liés entre eux par des liens sans masse, de telle sorte que la masse totale soit la somme de la masse des tous les points, et que la forme, donc la disposition des ces points, soit garantie par le "squelette" des liens imaginaires ». A. Rtibi iii Sommaire RAPPEL MATHEMATIQUE ET NOTATION INDICIELLE .................................................... 1 1. Vecteurs..................................................................................................................................... 1 2. Convention de sommation d’Einstein ............................................................................ 1 3. Symbole de Levi-Cevita ou pseudo-tenseur ................................................................ 1 4. Tenseurs du deuxième ordre ............................................................................................ 1 5. Analyse vectorielle ................................................................................................................ 2 CHAPITRE I ......................................................................................................................................... 3 DESCRIPTION DES MILIEUX CONTINUS ................................................................................. 3 I. Introduction ............................................................................................................................. 3 II. Définitions élémentaires .................................................................................................... 3 1. Milieu continu ......................................................................................................................... 3 2. Point matériel ......................................................................................................................... 3 3. Pourquoi la mécanique des milieux continus déformables ? ............................... 3 III. Description du mouvement ............................................................................................... 3 1. Description de Lagrange ..................................................................................................... 4 2. Description d’Euler ............................................................................................................... 4 3. Dérivée particulaire .............................................................................................................. 4 4. Accélération ............................................................................................................................. 4 CHAPITRE II ....................................................................................................................................... 5 DEFORMATION D’UN MILIEU CONTINU ................................................................................ 5 I. Tenseur de déformation ..................................................................................................... 5 1. Variation des longueurs et des angles ........................................................................... 5 2. Interprétation des tenseurs de déformations ............................................................ 6 3. Décomposition polaire ........................................................................................................ 7 II. Déformations en petites perturbations ........................................................................ 8 III. Tenseur taux de déformation ........................................................................................... 8 IV. Conditions de compatibilité des déformations .......................................................... 9 CHAPITRE III ................................................................................................................................... 10 DEFINITION ET ETUDE DES CONTRAINTES...................................................................... 10 I. Généralités ............................................................................................................................ 10 1. Efforts extérieurs : ............................................................................................................. 10 2. Efforts intérieurs : .............................................................................................................. 10 II. Tenseur des contraintes : ................................................................................................ 10 1. notion de contrainte : ........................................................................................................ 10 2. Tenseur des contraintes : ................................................................................................ 11 A. Rtibi iv 3. Equations du mouvement ............................................................................................... 12 III. Représentation plane des contraintes : ..................................................................... 14 1. Cercles de Mohr. .................................................................................................................. 14 2. Critère de Tresca : .............................................................................................................. 14 3. Exemples remarquables : ................................................................................................ 15 Chapitre IV ....................................................................................................................................... 17 THEORIE DE L’ELASTICITE ....................................................................................................... 17 I. notion de loi de comportement : .................................................................................. 17 II. Problèmes d’élastostatique : .......................................................................................... 18 III. Equations générales de l’équilibre: ............................................................................. 18 1. équations aux déplacements : ....................................................................................... 18 2. Equation aux contraintes : .............................................................................................. 19 A. Rtibi 1 RAPPEL MATHEMATIQUE ET NOTATION INDICIELLE 1. Vecteurs Vecteur : ⃗ ⃗⃗⃗ Application linéaire : ⃗ ⃗⃗ ⃗ Produit matriciel : et Produit scalaire : ⃗ ⃗⃗ ⃗ il est indépendant par changement de base. Symbole de Kronecker : { 2. Convention de sommation d’Einstein Pour alléger l’écriture, au lieu d’écrire ∑ pour symboliser la sommation sur les monômes, on omet le symbole sigma et on écrit . 3. Symbole de Levi-Cevita ou pseudo-tenseur { 4. Tenseurs du deuxième ordre C’est une application bilinéaire ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗ ⃗ ) Expression ̅ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )  Symétrique si ( ̅ ̅ )  Antisymétrique si ( ̅ ̅ )  Isotrope si ( ̅ ) Partie Symétrique et antisymétrique : ( ( )) ( ( )) a. Invariants fondamentaux  ( )  ( ( ) ( ))  ( ) Dans une base de vecteurs propres dits vecteurs principaux correspondants à des valeurs principales on a : b. L’équation caractéristique du tenseur c. Tenseur orthogonal est dit orthogonal si ( ) , rotation ou réflexion. A. Rtibi 2 5. Analyse vectorielle a. Outils d’analyse Fonction scalaire Fonction vectorielle ⃗ Fonction tensorielle Divergence ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Rotationne l ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Gradient ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Laplacien ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ b. Théorème de la divergence Fonction scalaire Fonction vectorielle ⃗ Fonction tensorielle ̅ Expression générale ∫ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ∫ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ∫ ̅ Expression indicielle ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A. Rtibi 3 CHAPITRE I DESCRIPTION DES MILIEUX CONTINUS I. Introduction L’idée que l’on se fait communément sur un solide indéformable est intuitive, elle est liée à l’idée de forme. Un crayon reste un crayon quelle que soit sa position par rapport au repère du laboratoire au cours d’un mouvement éventuel. Un état de milieu déformable ne permet pas ce genre de réflexion. Il peut se caractériser intuitivement par une aptitude plus ou moins grande à la déformation. Une tige métallique peut être déformée, fléchie par exemple. Ce type de déformation est très différent de celle de l’eau d’un bassin déformée par un nageur. La limite entre les différentes aptitudes à la déformation peut paraître floue, il est nécessaire de préciser ces limites par un traitement mathématique approprié : mécanique des milieux continus déformables. II. Définitions élémentaires 1. Milieu continu On suppose que l’espace qui nous entoure est euclidien de dimension , . Soit un domaine volumique de . On dit que est rempli d’un milieu matériel continu, si on peut y définir en tout point et à chaque instant des champs de grandeurs physiques locales différentiables. Donc on fait abstraction de la discontinuité de la matière et tout élément infinitésimal peut être traité mathématiquement comme tel, sans que l’on atteigne le domaine des édifices moléculaires. 2. Point matériel Soit , il est dit point géométrique. (domaine matériel) est dit point matériel. est en mouvement et à chaque instant il coïncide avec un domaine géométrique, et ainsi un point matériel coïncide avec un point géométrique. 3. Pourquoi la mécanique des milieux continus déformables ? Pour un milieu non polarisé, on suppose connue la position du milieu si on connait la position de toutes ses particules. Si est indéformable, les vitesses des particules sont déterminées par 6 paramètres. Il s’agit d’une relation torsorielle. ⃗⃗⃗( ) ⃗⃗⃗( ) ⃗ ⃗⃗( ) ⃗ ⃗⃗( ) ⃗⃗⃗( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Cette relation perd sa légitimité pour les milieux continus déformables où la distance entre deux points varie. Donc au lieu de deux vecteurs pour décrire le mouvement, il faut un champ de vecteurs. III. Description du mouvement Considérant un domaine matériel en mouvement tel que à l’instant et à l’instant La transformation pour passer de à est une application : C’est une fonction inversible, on peut passer d’une configuration à une autre. A. Rtibi 4 1. Description de Lagrange Soit la configuration géométrique à choisit arbitrairement dite de référence. La description de Lagrange consiste à donner la position à tout instant de toutes les particules identifiées par leurs positions à ( ) Toute grandeur physique définie pour une particule, sa description de Lagrange est donnée par la fonction ( ). 2. Description d’Euler Soit un domaine géométrique fixe traversé par un milieu matériel continu en mouvement. Chaque point de est un point d’observation. En un point d’observation donné, les vitesses qu’on observe au cours du temps sont des vitesses de particules différentes mais qui passent par à des instants différents. ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ) Toute grandeur physique définie pour une particule, sa description d’Euler est donnée par la fonction ( ). 3. Dérivée particulaire On appelle dérivée particulaire d’une grandeur physique la dérivée par rapport au temps de cette grandeur quand on suit la particule dans son mouvement, - Dans la description de Lagrange ( ) - Dans la description d’Euler ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ ⃗⃗( ) ( ) ( ) , ce terme est dit dérivée propre ou dérivée eulérienne. ⃗⃗( ) , ce terme uploads/Geographie/ mmcrt.pdf