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DE L’USAGE DES TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES À LA NOTION D’INVARIANT: LA CONTRIB

DE L’USAGE DES TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES À LA NOTION D’INVARIANT: LA CONTRIBUTION D’AL-SIJZI ¯ PASCAL CROZET Centre d’histoire des sciences et des philosophies arabes et médiévales, CNRS – Université Paris-Diderot – UMR 7219, 5 rue Thomas Mann, Bâtiment Condorcet, Case 7093, 75205 Paris Cedex 13 Email: crozet@paris7.jussieu.fr Abstract. Between 9th and 11th centuries, the geometrical transformations gave to the mathematicians a method more and more fertile, leading them to modify their modes of apprehension of the geometrical figures. This article aims to highlight al-Sijzı ¯’s contribution to this change by setting two tasks: first, to precisely under- stand what al-Sijzı ¯ means by transformation (he is one of the first to recognize explicitly a method in their use); and secondly, to give an account of his research on geometrical invariants, obtained by a variation of some elements of a figure. The use of transformations and the search for invariants seem to be the two faces of the same tendency, that to break with an Euclidean manner to consider the figures in a way isolated and static for better exploiting the common properties which can link them. The article is completed by the edition and the translation of a small treatise devoted to invariants. Résumé. En offrant une méthode de plus en plus féconde, les transformations géométriques conduisent les mathématiciens, entre les IXe et XIe siècles, à modifier leurs modes d’appréhension des figures géométriques. Le présent article voudrait mettre en évidence la contribution d’al-Sijzı ¯ à cette mutation en se fixant deux tâches: en premier lieu, comprendre précisément ce qu’al-Sijzı ¯ entend par transformation (il est l’un des premiers à y reconnaître explicitement une méthode); et en second lieu, rendre compte de ses recherches sur les invariants géométriques, obtenus en faisant varier certains éléments d’une figure. L’usage des transformations et la recherche d’invariants apparaissent comme les deux volets d’une même tendance, celle de rompre avec une manière euclidienne de considérer les figures de façon isolée et statique pour mieux exploiter les propriétés communes qui peuvent les unir. L’article s’achève par l’édition et la traduction d’un petit traité consacré à la mise en évidence d’invariants. L’utilisation de plus en plus fréquente des transformations – homothéties, affinités orthogonales ou similitudes – constitue sans aucun doute l’un des faits les plus marquants de l’histoire de la géométrie entre les IXe et XIe siècles. Parce qu’une telle utilisation s’est étendue à des chapitres de plus en plus nombreux, parce qu’elle Arabic Sciences and Philosophy, vol. 20 (2010) pp. 53–91 doi:10.1017/S0957423909990087 © 2010 Cambridge University Press http:/www.cambridge.org/core/terms. http://dx.doi.org/10.1017/S0957423909990087 Downloaded from http:/www.cambridge.org/core. IP address: 37.98.74.32, on 14 Dec 2016 at 08:31:16, subject to the Cambridge Core terms of use, available at incitait à s’intéresser aux relations entre les figures plus qu’à les considérer isolément, parce qu’elle interrogeait dès lors la légitimité du recours au mouvement et, par là, faisait surgir la question des fondements, elle a pu conduire en effet à infléchir la nature même de l’objet de la discipline. Roshdi Rashed a brossé ailleurs les grandes lignes de cette évolution qui, partant de l’œuvre des Banu ¯ Mu ¯sa ¯ en passant par celles de Tha ¯bit ibn Qurra, de son petit-fils Ibra ¯hı ¯m ibn Sina ¯n et de bien d’autres, aboutit notamment à la remise en ordre d’Ibn al-Haytham dans ses traités sur les Connus et sur le Lieu.1 De cette histoire, le moment qui correspond à la contribution d’al-Sijzı ¯, à la fin du Xe siècle, est l’un des plus importants. On ne trouve certes rien dans cette œuvre qui invite à repenser les fondements de la géométrie: contrairement à son successeur Ibn al-Haytham, al-Sijzı ¯ ne cherche pas, du moins explicitement, à dépasser le cadre légué par Euclide. Pourtant, deux points par- ticulièrement remarquables suffisent à distinguer les écrits d’al-Sijzı ¯ de ceux de ses prédécesseurs: en premier lieu, le fait qu’on y trouve le premier texte connu où non seulement les transformations sont désignées par un terme générique, mais encore où l’on reconnaît explicitement dans leur usage une méthode (t .arı ¯q); et en second lieu, la recherche auquel il se livre explicitement pour dégager des inva- riants géométriques en faisant varier certains éléments d’une figure. C’est à expliciter le premier point et à mettre en évidence le second que nous voudrions nous consacrer ici. I. LES TRANSFORMATIONS COMME MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE C’est d’une façon pour le moins succincte qu’al-Sijzı ¯ introduit le mot transformation (naql).2 Dans son traité intitulé Pour aplanir les voies en vue de déterminer les propositions géométriques,3 où il entreprend 1 Roshdi Rashed, Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. IV: Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques (Londres, 2002), pp. 1–11. L’ouvrage comprend en outre l’édition critique, la traduction et un com- mentaire détaillé des traités d’Ibn al-Haytham relatifs aux transformations et aux mé- thodes géométriques. 2 Il faut noter qu’al-Sijzı ¯ n’est pas le premier à utiliser ce terme dans un contexte géométrique: un siècle avant lui, Tha ¯bit ibn Qurra utilisait le mot naql pour désigner d’abord un déplacement pour superposer deux figures, puis pour signifier le déplacement d’une grandeur par mouvement continu (voir Rashed, Les mathématiques infinitésimales, IV, 696, n. 14). Comme nous allons le voir, le sens en est ici infléchi puisqu’il désigne aussi des transformations plus générales comme des similitudes. 3 Traité édité, traduit et commenté par Roshdi Rashed, Les mathématiques infinitésimales, IV, 690–735 et 766–825. Nous nous référerons à cette édition dans ce qui suit. Ce texte important avait déjà fait l’objet de deux publications: une édition provisoire par Ah . mad Sa‘ı ¯da ¯n (Rasa ¯’il Ibn Sina ¯n [Koweit, 1983], pp. 339–72) et une reprise de cette même édition agrémentée de traductions et de commentaires par Jan Hogendijk [Al-Sijzı ¯’s Treatise on Geometrical Problem Solving, translated and annotated by Jan P. Hogendijk, with the Arabic text and a Persian translation by Mohammad Bagheri (Téhéran, 1996)]. 54 PASCAL CROZET http:/www.cambridge.org/core/terms. http://dx.doi.org/10.1017/S0957423909990087 Downloaded from http:/www.cambridge.org/core. IP address: 37.98.74.32, on 14 Dec 2016 at 08:31:16, subject to the Cambridge Core terms of use, available at d’une façon générale de présenter l’ensemble des méthodes dont dispose le géomètre, il écrit en effet simplement: Peut-être apparaîtra-t-il au chercheur une méthode grâce à laquelle il lui sera facile de déterminer de nombreuses propositions difficiles, qui soit la transformation (naql) que nous allons expliquer et dont nous donnerons des exemples.4 Que recouvre alors une telle méthode et, au-delà, quel sens donner au mot transformation dès lors que l’on entend rendre compte par ce biais de la pratique mathématique de l’époque?Al-Sijzı ¯ ne donnant en réalité aucune explication générale, nous sommes donc conduit à revenir de façon détaillée tant sur les exemples qu’il fournit lui-même dans ce traité que sur d’autres résolutions situées ailleurs dans ses écrits. 1. Premier exemple Notre premier exemple est précisément celui sur lequel s’appuie le mathématicien pour illustrer sa méthode.5 Il est ainsi introduit: Comment trouver deux droites proportionnelles à deux droites données dont l’une est tangente à un cercle donné et l’autre rencontre le cercle, et telle que si on la mène dans le cercle, elle passe par son centre? Supposons la figure construite selon la voie de l’analyse afin de chercher ses lemmes; exemple: supposons le rapport, le rapport de A à B et le cercle, le cercle CD, et les deux droites GE et GC dans le rapport de A à B – ce sont celles que nous cherchons; comme si la figure était construite et trouvée et comme si nous avions sa construction d’après ce que nous avons exposé, à savoir que si on mène GC dans le cercle jusqu’à D, CD sera un diamètre de celui-ci. Les seules données du problème sont donc le cercle et le rapport de A à B. Al-Sijzı ¯ remarque qu’on ne connaît ni l’angle en G ni l’arc EC. Si l’on nomme H le centre du cercle, on connaît par contre l’angle GEH, égal à un droit. Pour déterminer l’angle en G, il suffit donc de connaître la forme du triangle rectangle GEH. Le problème pourrait donc être posé de façon légèrement différente: EH étant connue, comment trouver le triangle rectangle GEH, sachant que le rapport de GE, l’un des côtés de l’angle droit, à l’hypoténuse diminuée de EH, l’autre côté de l’angle droit, soit égal à un rapport donné. Toutefois, puisque l’on cherche à déterminer en premier lieu la forme du triangle GEH, l’usage de la transformation permet de se ramener à un pro- blème plus simple. En effet, ne chercher que la forme du triangle permet de s’abstraire des dimensions de la figure d’origine en consi- dérant une figure semblable; dès lors, on va pouvoir changer les données de départ: si, plutôt que se donner le côté à soustraire de l’hypoténuse, on se donne l’autre côté de l’angle droit, le problème est effectivement plus aisé à résoudre. C’est bien ce que propose al-Sijzı ¯, 4 Rashed, Les mathématiques infinitésimales, IV, 770. 5 Ibid., pp. 774–82. DE L’USAGE DES TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES 55 http:/www.cambridge.org/core/terms. http://dx.doi.org/10.1017/S0957423909990087 Downloaded from http:/www.cambridge.org/core. IP uploads/Geographie/ pascal-crozet-sijzi.pdf