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Probabilit´ es - ´ Echantillonnage A. Fredet J.-M. Gourdon Table des mati` eres

Probabilit´ es - ´ Echantillonnage A. Fredet J.-M. Gourdon Table des mati` eres I Probabilit´ es 2 1 D´ eﬁnitions 2 2 Combinaisons, Arrangements 3 3 Probabilit´ es liant deux ´ ev´ enements 6 4 Probabilit´ es et statistiques 8 5 Variable al´ eatoire 9 6 Lois binomiales 13 7 Lois de Poisson 14 8 Lois normales 15 9 Solutions des exercices 20 II ´ Echantillonnage 30 1 ´ Echantillons 30 2 Estimation 30 3 Test d’ajustement 33 4 Comparaison d’´ echantillons 37 5 Solutions des exercices 40 III Tableur 45 1 Probabilit´ es 1 D´ EFINITIONS Premi` ere partie Probabilit´ es 1 D´ eﬁnitions La probabilit´ e a priori, subjective, d’un ´ ev` enement est un nombre qui caract´ erise la croyance que l’on a que cet ´ ev` enement sera r´ ealis´ e avec plus ou moins de certitude avant l’ex´ ecution de l’exp´ erience : l’´ ev` enement sera r´ ealis´ e (probabilit´ e 1) et l’´ ev` enement ne sera pas r´ ealis´ e (probabilit´ e 0). D´ eﬁnition 1.1 Une ´ epreuve est dite al´ eatoire si r´ ep´ et´ ee dans des conditions identiques, elle donne des r´ esultats variables. Des ´ ev` enements sont ´ equiprobables s’ils ont la mˆ eme probabilit´ e d’ˆ etre r´ ealis´ es. Dans ce cas, la proba- bilit´ e d’un ´ ev´ enement A est nombre de cas favorables nombre de cas possibles . D´ eﬁnition 1.2 L’ensemble de toutes les ´ eventualit´ es d’une exp´ erience al´ eatoire s’appelle l’univers. En g´ en´ eral, on le note Ω. Exemple 1.1 On lance un d´ e non truqu´ e ` a six faces num´ erot´ ees de 1 ` a 6 et on note le nombre ﬁgurant sur la face sup´ erieure du d´ e. Lancer ce d´ e et noter le nombre ﬁgurant sur une des faces est une exp´ erience dont on ne peut pas pr´ evoir le r´ esultat compris dans l’ensemble {1, 2, · · · , 6}. Les ´ eventualit´ es sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6 et Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si le d´ e est non truqu´ e, chaque face a la mˆ eme probabilit´ e de sortir, nous avons donc des ´ evenements ´ equiprobables. Par exemple, on peut consid´ erer l’´ ev´ enement A = obtenir un nombre pair . On a A = {2; 4; 6} et la probabilit´ e que A se produise est 3 6 = 1 2. D´ eﬁnition 1.3 Un ´ ev´ enement est dit impossible s’il ne se r´ ealise jamais. Un ´ ev´ enement est dit certain s’il se r´ ealise toujours. Un ´ ev´ enement est dit ´ el´ ementaire s’il se r´ eduit ` a une seule ´ eventualit´ e. Proposition 1.1 Soient E, E1, E2 des ´ ev´ enements. 1. p(E) ≥0 pour tout ´ ev´ enement E. 2. p(Ω) = 1 donc l’´ ev´ enement est certain 3. p(∅) = 0 donc l’´ ev´ enement est impossible 4. Si E1 ∩E2 = ∅alors E1 et E2 sont incompatibles et p(E1 ∪E2) = p(E1 ou E2) = p(E1) + p(E2), p(E1 ∩E2) = p(E1 et E2) = 0 On en d´ eduit les cons´ equences suivantes : 1. Si ¯ E est l’´ ev´ enement contraire de E alors p( ¯ E) = 1 −p(E). En eﬀet ¯ E ∪E = Ωet ¯ E ∩E = ∅donc p( ¯ E ∪E) = p( ¯ E) + p(E) = 1. 2. Pour tout ´ ev´ enement E, 0 ≤p(E) ≤1. En eﬀet, pour tout E, p(E) ≥0 et donc p( ¯ E) = 1 −p(E) ≥0 ce qui nous am` ene ` a p(E) ≤1. Exercice 1.1 On joue avec un d´ e ` a six faces non truqu´ e. On eﬀectue un lancer, et on consid` ere les deux ´ ev´ enements suivants : E1 =le nombre est 3 ou 4 et E2 =le nombre est pair. Calculer p(E1), p(E2), p(E1 ∩E2) et p(E1 ∪E2). Exercice 1.2 On joue avec deux d´ es ` a six faces non truqu´ es. On lance les deux d´ es et on eﬀectue la somme des nombres obtenus. On consid` ere les ´ ev´ enements suivants : E1 =la somme est 5, E2 =la somme est 7 et E3 =la somme est paire. Calculer p(E1), p(E2), p(E3), p(E1∩E2), p(E1∩E3), p(E2∩E3) et p(E1 ∪E2), p(E1 ∪E3) et p(E2 ∪E3). 2 A. Fredet & J.-M. Gourdon Probabilit´ es 2 COMBINAISONS, ARRANGEMENTS La probabilit´ e de r´ ealisation d’un ´ ev´ enement peut ˆ etre consid´ er´ ee comme le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Le calcul d’une probabilit´ e peut donc souvent se ramener ` a un probl` eme de d´ enombrement. 2 Combinaisons, Arrangements D´ eﬁnition 2.1 Soit E un ensemble non vide de n ´ el´ ements. Une permutation de E est une liste ordonn´ ee des n ´ el´ ements de E. Exemple 2.1 Si E = {a, b, c, d, e} alors (a, b, d, c) et (a, c, d, b) sont deux permutations de E. Proposition 2.1 Le nombre de permutations d’un ensemble de n ´ el´ ements, n ≥1, est ´ egal ` a n! = n × (n −1) × (n −1) × · · · × 2 × 1 D´ eﬁnition 2.2 Une liste sans r´ ep´ etition de p ´ el´ ements de E est une liste ordonn´ ee de p ´ el´ ements de E deux ` a deux distincts Exercice 2.1 Une urne contient dix boules sur lesquelles ont ´ et´ e marqu´ ees les dix lettres de l’alphabet de A ` a J. On tire successivement quatre boules sans remise et l’on inscrit dans l’ordre les lettres port´ ees par les boules tir´ ees. Combien de mots de quatre lettres (ayant un sens ou non) peut-on former ? Exercice 2.2 Combien de mots de trois lettres peut-on former en utilisant les lettres du mot PARIS et uniquement celles-l` a ? Proposition 2.2 Si un ensemble E contient n ´ el´ ements, n ≥1, alors – il y a n × (n −1) × · · · × (n −(p −1)) = n! (n−p)! listes sans r´ ep´ etition de p ´ el´ ements. – il y a np liste avec r´ ep´ etition de p ´ el´ ements. Exercice 2.3 Lors d’une course de chevaux, il y a 8 partants. Combien de possibilit´ es y-a-t-il pour le tierc´ e ﬁnal ? Pour le quart´ e ? Exercice 2.4 Combien de nombres de 4 chiﬀres puis-je ´ ecrire en utilisant uniquement les chiﬀres 3,6,7 ? Exercice 2.5 Un facteur (employ´ e de la poste) entre dans un immeuble avec 23 lettres qu’il va d´ eposer dans les boites, au nombre de 40. Sachant qu’une boite peut ´ evidemment recevoir plusieurs lettres, de combien de fa¸ con diﬀ´ erentes les 23 lettres peuvent-elles ˆ etre d´ epos´ ees dans les 40 boites ? Nous pouvons ´ egalement chercher ` a s´ electionner k objets parmi n objets discernables, sans tenir compte de l’ordre. Ces k objets peuvent ˆ etre repr´ esent´ es par une partie ` a k ´ el´ ements d’un ensemble ` a n ´ el´ ements. D´ eﬁnition 2.3 Soit E un ensemble de n ´ el´ ements et p un entier tel que 0 ≤p ≤n. Une combinaison de p ´ el´ ements de E est un sous-ensemble de E qui contient p ´ el´ ements. Le nombre de combinaisons de p ´ el´ ements d’un ensemble de n ´ el´ ements est not´ e n p ou Cp n. Proposition 2.3 Cp n = n! (n −p)!p! = n × (n −1) × · · · × (n −p + 1) p! 3 A. Fredet & J.-M. Gourdon Probabilit´ es 2 COMBINAISONS, ARRANGEMENTS Exercice 2.6 Un facteur (employ´ e de la poste) entre dans un immeuble avec 23 lettres qu’il va d´ eposer dans les boites, au nombre de 40. En supposant qu’une boite ne peut pas recevoir plusieurs lettres, de combien de fa¸ con diﬀ´ erentes les 23 lettres peuvent-elles ˆ etre d´ epos´ ees dans les 40 boites ? Exercice 2.7 On appelle main toute combinaison de cinq cartes. Combien y a-t-il de mains de cinq cartes dans un jeu de 32 cartes ? Exercice 2.8 On appelle main toute combinaison de cinq cartes. Dans un jeu de 32 cartes, combien y a-t-il de mains de cinq cartes contenant exactement 2 coeurs ? Exercice 2.9 On appelle main toute combinaison de cinq cartes. Dans un jeu de 32 cartes, combien y a-t-il de mains de cinq cartes contenant au moins un roi ? Exercice 2.10 Lors d’un tirage du loto de 4 num´ eros avec 10 boules, combien y-a-t-il de grilles pos- sibles ? Proposition 2.4 On a Cp n = Cn−p n et Cp−1 n−1 + Cp n−1 = Cp n D´ uploads/Geographie/ probabilite-echantillonage.pdf