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9 Problèmes de lieux géométriques 37 Leçon n° Niveau Terminale S Prérequis bary

9 Problèmes de lieux géométriques 37 Leçon n° Niveau Terminale S Prérequis barycentre, produit scalaire, complexe, formules trigonométriques, relation de Chasles, detérminant Références [104], [105], [106], [107], [121], [122], [123], [124] 37.1 Déﬁnition d’introduction Déﬁnition 37.1 — Lieu géométrique. Un lieu géométrique est un ensemble de points satisfaisant certaines conditions, données par un problème de construction géométrique. Dans cette leçon, on donne des problèmes de lieux géométriques. 37.2 Médiatrice Déﬁnition 37.2 — Médiatrice. Une médiatrice M d’un segment [AB] est l’ensemble des points M tel que AM = BM : M = {M, AM = BM} ■Exemple 37.3 Soit (O, # » ı , # » ) un repère orthonormé du plan, A = (−2, 0) et B = (2, 0). L’ensemble des points M équidistants de A et de B est la médiatrice [AB], précisément l’axe (O, # » ). ■ 37.3 Le cercle Déﬁnition 37.4 — Cercle. Un cercle C de centre O de rayon r est l’ensemble des points M tel que OM = r. C = {M, OM = OR} ■Exemples 37.5 1. Soit O et A deux points. L’ensemble C = {M, OM = OA} est le cercle de centre O et de rayon [OA]. 2. Soit A et B deux points. On cherche à représenter géométriquement l’ensemble C = M, 1 2AB = AM . On introduit I le milieu de [AB]. On a ainsi 1 2AB = AI. D’où C est le cercle de centre A et de rayon [AI]. ■ 10 Leçon n°37 • Problèmes de lieux géométriques 37.4 Utilisation des barycentres ■Exemple 37.6 ABC est un triangle dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité 1 cm. 1. On va déterminer l’ensemble E1 des points M tels que # » MB + 2# » MC = 6 cm. Pour réduire la somme vectorielle, on pose G1 le barycentre de (B, 1), (C, 2) (que l’on peut construire avec # » BG1 = 2 3 # » BC). Alors, pour tout point M : # » MB + 2# » MC = (1 + 2)# » MG1 = 3# » MG1. E1 est donc l’ensemble des points M tels que 3# » MG1 = 6 cm ⇔ # » MG1 = 2 cm. On en déduit que E1 est le cercle de centre G1 et de rayon 2 cm. A B C G1 E1 2. Soit ABC un triangle. On va construire l’ensemble E2 des points M tels que : 3# » MA + # » MB = 2 # » MA + # » MC . On note — G2 le barycentre de (A, 3) et (B, 1), — G3 le barycentre de (A, 1) et (C, 1). Pour tout point M, on a alors : — 3# » MA + # » MB = (3 + 1)# » MG2 = 4# » MG2, — # » MA + # » MC = (1 + 1)# » MG3 = 2# » MG3. E2 est donc l’ensemble des points M tels que 4# » MG2 = 2 2# » MG3 ⇔∥MG2∥= ∥MG3∥. On en déduit que E2 est la médiatrice de [G2, G3]. E2 A B C G2 G3 ■ 37.5 Utilisation du produit scalaire 11 37.5 Utilisation du produit scalaire 1. On cherche tout d’abord l’ensemble des points M tels que MA2 + MB2 = k. Propriété 37.7 Soit I le milieu du segment [AB] (avec A ̸= B). Pour tout point M, on a : MA2 + MB2 = 2IM2 + AB2 2 (Théorème de la médiane). Etant donné un réel k, on en déduit que l’ensemble des points M tels que MA2 +MB2 = k est un cercle, ou un point ou l’ensemble vide. ■Exemple 37.8 Soit A et B deux points tels que AB = 2. On cherche à déterminer l’ensemble E des points M tels que MA2 + MB2 = 20. On utilise le théorème de la médiane : MA2 + MB2 = 20 ⇔2IM2 + AB2 2 = 20 ⇔2IM2 + 4 2 = 20 ⇔IM2 = 9 ⇔IM = 3 (car IM > 0). L’ensemble E est donc le cercle de centre I et de rayon 3. A B I E:{M, MA2+MB2=20} ■ 2. On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels que # » MA · # » MB = k. Pour cela, on décompose # » MA et # » MB en passant par I le milieu de [AB]. ■Exemple 37.9 Soit A et B deux points tels que AB = 4. On cherche à déterminer l’ensemble E des points M tels que # » MA · # » MB = 12. # » MA·# » MB = 12 ⇔(# » MI+# » IA)·(# » MI+# » IB) = 12. Or, # » IB = −# » IA. On a donc : (# » MI + # » IA) · (# » MI −# » IA) = 12 ⇔MI2 −IA2 = 12 ⇔MI2 −22 = 12. On en déduit que M ∈E ⇔MI2 = 16 ⇔ MI = 4. E est donc le cercle de centre I et de rayon 4 A B I E:{M, # » MA· # » MB=12} 12 Leçon n°37 • Problèmes de lieux géométriques ■ 3. On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels que # » AM · # » u = k. Pour cela, on cherche un point particulier H appartenant à l’ensemble. On a alors # » AH · # » u = k. Ainsi, # » AM · # » u = k ⇔# » AM · # » u = # » AH · # » u ⇔(# » AM −# » AH) · # » u ⇔# » HM · # » u = 0 ⇔# » HM ⊥# » u. L’ensemble est alors la droite passant par H de vecteur normal # » u. ■Exemple 37.10 Soit A et B deux points tels que AB = 3. On cherche à déterminer l’en- semble E des points M tels que # » AM · # » AB = −6. Soit H le point de la droite (AB) tel que # » AH et # » AB soient de sens contraires et tel que AH × AB = 6 ⇔AH = 6 3 = 2. Ainsi, on a bien # » AH · # » AB = −6. Dès lors : # » AM · # » AB = −6 ⇔# » AM · # » AB = # » AH · # » AB ⇔(# » AM −# » AH) · # » AB = 0 ⇔# » HM · # » AB = 0 ⇔# » HM ⊥# » AB. L’ensemble E est alors la droite perpendicu- laire à (AB) passant par H. A B H E:{M, AM·AB=−6} ■ 37.6 Utilisation des homothéties et des translations ■Exercice 37.11 On considère deux points distincts A et B. Pour tout point M du plan, soit I le milieu de [AM] et G le barycentre de (A, −1), (B, 2) et (M, 1) 1. Faire une ﬁgure. 2. Démontrer que I est l’image de M par une transformation du plan à déterminer. Démontrer que G est l’image de I par une transformation du plan à déterminer. 3. En déduire — le lieu des points I lorsque M décrit le cercle de diamètre [AB] ; — le lieu des points G lorsque M décrit le cercle de diamètre [AB] ; — le lieu des points I lorsque M décrit la droite perpendiculaire à (AB) en B ; — le lieu des points G lorsque M décrit la droite perpendiculaire à (AB) en B. ■ Dv • Solution de l’exercice 37.11 — 1. G étant le barycentre de (A, −1), (B, 2) et (M, 1), on a : −# » GA+2# » GB + # » GM = # » 0 donc 37.6 Utilisation des homothéties et des translations 13 # » AG + 2# » GB + # » GM = # » 0 et # » AM + 2# » GB = # » 0 , d’où # » BG = 1 2 # » AM. I étant le milieu de [AM], on en déduit que # » BG = # » AI. A M B I G 2. I étant le milieu de [AM], on a # » AI = 1 2 # » AM. Donc I est l’image de M par l’homothétie de centre A et de rapport 1 2. On a vu # » BG = # » AI, donc BGIA est un parallélogramme, donc # » IG = # » AB. Donc G est l’image de I par la translation de vecteur # » AB. 3. Par l’homothétie de centre A et de rapport 1 2, le point A est invariant et le point B a pour image le point K tel que # » AK = 1 2 # » AB, c’est-à-dire le milieu de [AB]. I étant l’image de M par l’homothétie de centre uploads/Geographie/ problemes-de-lieux-geometriques-37-definition-d-x27-introduction 1 .pdf