Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Sell
Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Selloum 1 Exercice 1 1. Montrer que ! lim 0 n n n n . 2. Montrer que, pour tout nombre réel , lim 0 n n n n . Exercice 2 Étudier la suite n u définie par : 2 1 n n k n u n k Exercice 3 Montrer que pour tout , la suite * n n u définie par 2 1 n n k kx u n converge vers 2 x . Exercice 4 Soient n u et n v deux suites réelles telles que 2 2 0 n n n n u u v v Démontrer que les suites n u et n v convergent vers0 . Exercice 5 Déterminer la limite de la suite n u définie par 1 0 n n k n u k . Exercice 6 Soit n u . Montrer que n u converge si et seulement si, elle est stationnaire. Exercice 7 Montrer que si n u l alors 1 ( ) 0 n n u u .La réciproque est-elle vraie ? Exercice 8 (Le critère d’Alembert) Soit n n u une suite de réels strictement positifs .On suppose que n 1 n u l u . 1. Montrer que si 1 l alors 0 n u . 2. Montrer que si 1 l alors n u . 3. Montrer que dans le cas où 1 l on ne peut rien dire. Exercice 9 ( Le critère de Cauchy) Soit n n u une suite de réels strictement positifs .On suppose que n n u l . 1. Montrer que si 1 l alors 0 n u . 2. Montrer que si 1 l alors n u . 3. Montrer que dans le cas où 1 l on ne peut rien dire. Exercice 10 On pose 1 3 5 · · · 2 1 2 4 6 · · · 2 n n u n 1. Exprimer un à l’aide de factoriels. 2. Montrer que la suite n u converge. 3. On pose 2 1 n n v n u Montrer que la suite n v converge. En déduire la limite de la suite n u . Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Selloum 2 4. Simplifier 2 2 1 1 n k k et comparer ce produit à 2 n u . 5. En déduire que la limitel de la suite n v est strictement positive. Exercice 11 Montrer que les suites réelles (tan )n u n , (sin )n v n et (cos )n w n sont divergentes. Exercice 12 Étudier, sans utiliser la fonction ln , les suites 1 ( ) n n u où * et 1 ( ) n n v n . Exercice 13 Soit 0,2 a .Montrer, sans utiliser la fonction ln , que la suite du terme général 1 n n a u n converge. Exercice 14 Soit 1 n n u de réels positifs telle que 1 2 1 1, n n n u u n Montrer que 1 n n u est convergente. Exercice 15(Irrationalité du nombre de Neper) Soient 0 1 1 et ! . ! n n n n k a b a k n n . 1. Montrer que n a et n b sont strictement monotones et adjacentes. On admet que leur limite commune est e . On désire montrer que e , pour cela on raisonne par l’absurde en supposant p e q avec * , . p q 2. Montrer que q q a e b puis obtenir une absurdité. Exercice 176 Montrer que les suites n u et n v définies par 2 0 1 1 et n n n n k u v u k n Convergent vers la même limite. Exercice 17 Soient , , , o o u v p q tels que 0 0 0 v u et0 q p . Pour tout n , on pose 1 1 et n n n n n n pu qv qu pv u v p q p q Montrer que les suites n u et n v ainsi définies sont adjacentes. Exercice 18 Montre que les suites n u et n v définies sur par : 1 0 0 1 2 0, 0 , n n n n n n u v u u v v u v sont adjacentes. Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Selloum 3 Exercice 19 Soit n u une suite réelle telle que * , , 0 m n m n m n u mn Montrer que 0 n u . Exercice 20 Etudier la suite n u définie par 0 2 1 , 1 n n n u n u u n Exercice 21 Soit n u une suite complexe telle que 2 2 1 , n n u u et 3n u convergent. Montrer que n u converge. Exercice 22 Soit n u une suite complexe telle que 2 2 1 , n n u u et 2 n u convergent. Montrer que n u converge. Exercice 23 (Théorème de Cesàro) Soient l et n u une suite telle que n u l . Montrer que 1 2 . n u u u l n Exercice 24 Soit 1 n n u une suite numérique qui converge vers une limitel non nulle. On suppose que 0 n u pour tout 1 n . Soit 1 n n v la suite définie par la relation : 1 1 1 . n n n n n v u u u Montrer que 1 n n v est convergente, et calculer sa limite. Exercice 25 (suite de Fibonacci) Soit n u la suite définie par 0 1 0, 1 u u et pour tout 2 1 , n n n n u u u . Déterminer le terme générale de . n u Exercice 26 Déterminer 1 u pour que la suite n u définie par 0 2 1 1 , n n n u n u u u soit à termes positifs. Exercice 27 Soit n n o u une suite numérique . Montrer que si 1 0 n n u u alors 0 n u n . Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Selloum 4 Exercice 28 Pour * n on note n P la fonction polynomiale définie par : 2 , 1 n n x P x x x x . 1. Montrer que l’équation 0 n P x admet une unique solution 0,1 . n x 2. Calculer 1 n n P x et montrer que la suite n x converge. On note l sa limite. 3. Calculer lim n n n x et en déduire la valeur del . Exercice 29 Soient n et n E l’équation tan x x n d’inconnue / 2 , / 2 . x 1. Montrer que l’équation n E admet une unique solution notée n x . 2. Montrer que la suite n x converge et déterminer sa limite. Exercice 30 Soit zn une suite complexe telle que 1 1 , ( 2 3 ) n n n n z z z Montrer que zn converge et exprimer sa limite en fonction de 0 z . Exercice 31 Étudier la suite uploads/Geographie/ td5-suites-numeriques.pdf
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- Publié le Oct 01, 2022
- Catégorie Geography / Geogra...
- Langue French
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