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Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Sell

Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Selloum 1 Exercice 1 1. Montrer que ! lim 0 n n n n   . 2. Montrer que, pour tout nombre réel , lim 0 n n n n    . Exercice 2 Étudier la suite   n u définie par : 2 1 n n k n u n k     Exercice 3 Montrer que pour tout , la suite   * n n u définie par 2 1 n n k kx u n       converge vers 2 x . Exercice 4 Soient  n u et   n v deux suites réelles telles que 2 2 0 n n n n u u v v    Démontrer que les suites  n u et  n v convergent vers0 . Exercice 5 Déterminer la limite de la suite  n u définie par 1 0 n n k n u k        . Exercice 6 Soit  n u  . Montrer que  n u converge si et seulement si, elle est stationnaire. Exercice 7 Montrer que si n u l  alors 1 ( ) 0 n n u u  .La réciproque est-elle vraie ? Exercice 8 (Le critère d’Alembert) Soit   n n u une suite de réels strictement positifs .On suppose que n 1 n u l u  . 1. Montrer que si 1 l alors 0 n u  . 2. Montrer que si 1 l  alors n u  . 3. Montrer que dans le cas où 1 l on ne peut rien dire. Exercice 9 ( Le critère de Cauchy) Soit   n n u une suite de réels strictement positifs .On suppose que n n u l . 1. Montrer que si 1 l alors 0 n u  . 2. Montrer que si 1 l  alors n u  . 3. Montrer que dans le cas où 1 l on ne peut rien dire. Exercice 10 On pose     1 3 5 · · · 2 1 2 4 6 · · · 2 n n u n       1. Exprimer un à l’aide de factoriels. 2. Montrer que la suite  n u converge. 3. On pose   2 1 n n v n u   Montrer que la suite  n v converge. En déduire la limite de la suite  n u . Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Selloum 2 4. Simplifier 2 2 1 1 n k k          et comparer ce produit à 2 n u . 5. En déduire que la limitel de la suite  n v est strictement positive. Exercice 11 Montrer que les suites réelles  (tan )n u n   ,  (sin )n v n   et  (cos )n w n   sont divergentes. Exercice 12 Étudier, sans utiliser la fonction ln , les suites 1 ( ) n n u    où *    et 1 ( ) n n v n   . Exercice 13 Soit   0,2 a .Montrer, sans utiliser la fonction ln , que la suite du terme général 1 n n a u n         converge. Exercice 14 Soit   1 n n u de réels positifs telle que 1 2 1 1, n n n u u n     Montrer que   1 n n u est convergente. Exercice 15(Irrationalité du nombre de Neper) Soient 0 1 1 et ! . ! n n n n k a b a k n n      . 1. Montrer que   n a et  n b sont strictement monotones et adjacentes. On admet que leur limite commune est e . On désire montrer que e , pour cela on raisonne par l’absurde en supposant p e q  avec * , . p q   2. Montrer que q q a e b   puis obtenir une absurdité. Exercice 176 Montrer que les suites   n u et  n v définies par 2 0 1 1 et n n n n k u v u k n      Convergent vers la même limite. Exercice 17 Soient , , , o o u v p q tels que 0 0 0 v u   et0 q p   . Pour tout n , on pose 1 1 et n n n n n n pu qv qu pv u v p q p q         Montrer que les suites   n u et  n v ainsi définies sont adjacentes. Exercice 18 Montre que les suites   n u et  n v définies sur par : 1 0 0 1 2 0, 0 , n n n n n n u v u u v v u v             sont adjacentes. Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Selloum 3 Exercice 19 Soit  n u une suite réelle telle que * , , 0 m n m n m n u mn       Montrer que 0 n u  . Exercice 20 Etudier la suite  n u définie par   0 2 1 , 1 n n n u n u u n          Exercice 21 Soit   n u une suite complexe telle que    2 2 1 , n n u u  et  3n u convergent. Montrer que  n u converge. Exercice 22 Soit   n u une suite complexe telle que    2 2 1 , n n u u  et  2 n u convergent. Montrer que   n u converge. Exercice 23 (Théorème de Cesàro) Soient l  et   n u une suite telle que n u l  . Montrer que 1 2 . n u u u l n    Exercice 24 Soit   1 n n u  une suite numérique qui converge vers une limitel non nulle. On suppose que 0 n u  pour tout 1 n . Soit  1 n n v la suite définie par la relation : 1 1 1 . n n n n n v u u u    Montrer que   1 n n v est convergente, et calculer sa limite. Exercice 25 (suite de Fibonacci) Soit   n u la suite définie par 0 1 0, 1 u u   et pour tout 2 1 , n n n n u u u      . Déterminer le terme générale de  . n u Exercice 26 Déterminer 1 u pour que la suite   n u définie par 0 2 1 1 , n n n u n u u u          soit à termes positifs. Exercice 27 Soit   n n o u une suite numérique . Montrer que si 1 0 n n u u   alors 0 n u n  . Lycée Mohamed V Beni Mellal 2021/2022 MPSI2 TD5: Suites numériques Zitouni.Selloum 4 Exercice 28 Pour * n on note n P la fonction polynomiale définie par :  2 , 1 n n x P x x x x    . 1. Montrer que l’équation  0 n P x  admet une unique solution   0,1 . n x  2. Calculer   1 n n P x  et montrer que la suite   n x converge. On note l sa limite. 3. Calculer lim n n n x  et en déduire la valeur del . Exercice 29 Soient n et   n E l’équation tan x x n   d’inconnue   / 2 , / 2 . x    1. Montrer que l’équation   n E admet une unique solution notée n x . 2. Montrer que la suite   n x converge et déterminer sa limite. Exercice 30 Soit   zn une suite complexe telle que 1 1 , ( 2 3 ) n n n n z z z     Montrer que   zn converge et exprimer sa limite en fonction de 0 z . Exercice 31 Étudier la suite  uploads/Geographie/ td5-suites-numeriques.pdf