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Mr ABIDI FARID Sérje ÿTrigonométrie Exercice 1 Dans untriangle ABC rectangle en

Mr ABIDI FARID Sérje ÿTrigonométrie Exercice 1 Dans untriangle ABC rectangle en A, on donne ABC =30° et AC = 5. 1. Calculer la distance AB. 2. a) Soit I le milieu de [BC] ;la médiatrice de [BC] rencontre en J la droite (AC). Calculer IJet JC. b) Montrer que (BJ) est parallèle à (AI). c) Calculer le périmètre du trapèze AIBJ. Exercice 2 [AB] est un diamètre du cercle de centre O de rayon 5. Soit C unpoint de ce cercle tel que COB =40° . 1. Déterminer la nature de chacun des triangles ABC ,OAC et OBC. 2. Calculer l'angle OAC . 3. Calculer la distance AC. 4. Calculer BC, ABC, ÔCB et ÔCA Exercice 3 Sur le cercle de centre O et de rayon 1, on considère deux points A et B diamétralement opposés sur (cC) et Munpoint de (c€) tel que AMB =a,où a e ]0,7i[ . On désigne par Hle projeté orthogonal de M sur la droite(AB). 1. Quelle est la nature du triangle AMB ? 2. Exprimer à l'aide de a l'angle MOB. 3. a) Calculer cosa dans le triangle AMH et dans le triangle AMB. b) En déduire que AM2 =ABx AH. , 1+cos2a 4. En déduire que cos~ a =- --. C \ H 4. 1 CO +"n/3 5. a) Montrer que cos15=———-. ÿn/ô +\fï b) Montrer que cos15°=- . Année scolaire 2008-09 fou kdk5 kt voir.tn I(lUi hl Mr ABIDI FARID Série : Trigonométrie Exercice 1 AB i— 1. On sait que cot30° =-done AB =cot30°x AC =5>/3 . AC 2. a) IMJ=180°-ÿBAC+ABcj =180°-(90°+30°) =60°. Dans le triangle 1CJ rectangle en I,on a : tan60° =ÿ d'où I J =tan60°x IC. Donc ilfaut calculer IC d'abord. Pour cela, utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A : BC2 =AB2+AC2 =(5>/3)2 +52 =75+25 = 100 d'où BC = 10 et IC = 5. Par suite : IJ=tan60°x IC=5\f3 . A présent, calculer JC : JC2 =IJ2+IC2 =(5ÿ)2 +52 =100 donc JC = 10. b) AJ = JC -AC = 5 d'où A est le milieudu segment [JC], Or I est le milieu du segment [BC], donc (BJ) est parallèle à (AI). c) CJ = CB et BCJ =60° donc le triangle BJC est équilatéral. Par conséquent, BJ = 10 et AI =— BJ= 5. Le périmètre du trapèze AIBJ est : AI + IB+ BJ+ JA = 25. Année scolaire 2008-09 Tau kdks 1*1 voir.tn ki mMHA... Mr ABIDI FARID 1. C est unpoint du cercle de diamètre [AB] donc ABC est un triangle rectangle en C. OAC est un triangle isocèle de sommet principal O. OBC est un triangle isocèle de sommet principal O. 2. D'après le théorème de l'angle au centre : OAC = BOC =20°. AC 3. On a: cos20° =-donc AC =ABxcos20° =10xcos20°-9,4. AB 4. BC2 =AB2 -AC2 —11,64 d'où BC-3,4. ABC =90°-20° = 70° ÔCB =OBC =70° et ÔCA =OAC =20° Année scolaire 2008-09 fertt! iiii votr+n +61» kl IMMHfti.r Mr ABIDI FARID 1A Sériej_Triçionométrie 1. AMB est un triangle rectangle en M car [AB] est un diamètre du cercle CE) et M est un point de ce cercle. 2. D'après le théorème de l'angle au centre : MOB=2 MAB=2a . AH AM 3. a) cosa =-dans le triangle AMH et cosa --dans le triangle AMB. AM AB AH AM b) On en déduit que : -=- d'où AM2=ABxAH. AM AB „ ÿ 2 AH2 AH2 AH 4. On a : cos a =- - =- =-. AM* AB x AH AB Année scolaire 2008-09 fertt! it ii voir.tn tsui kl IMMHfti.r Mr ABIDI FARID Sérje : Trigonométrie 1+ OH D'autre part : 1+cos2a _ OM _ OM+OH _ OA +OH _ AC 20M 20A AB , 2 1+cos2a D ou cos a =- >/3 c , 2lco 1+cos30° 1+2 2+ÿ3 A 1co V2W? 5. a) cos 15 =- =- — =-done cosl5 =-- ÿ ___ ,c0 _ 2\l2+yf3 _ a/8+473 _ ÿ6+473+2 >/(>/6 +V2) +ÿ DJ COS 1j — — — — — Année scolaire 2008-09 foil Tijks 1*1 voir.tn +61» hi IViHttt... uploads/Geographie/ trigonometrie-3-exercices-corrige.pdf