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TS DS 5 Page 4 G. COSTANTINI TS DEVOIR SURVEILLÉ 5 : CORRIGÉ 2003/2004 Exercice 1 (6 points) QCM sur les QCM Pour chaque question, une et une seule des 4 propositions P1, P2, P3 et P4 est exacte. Barème par question : réponse correcte cochée : 1 point, absence de réponse : 0 point, autres cas : −0,5 point. On complétera, ci-dessous, la grille de réponse qui est à rendre avec la copie. Si le total des points est négatif, la note de cet exercice est ramenée à 0. Un QCM comporte 6 questions. Pour chaque question, 4 propositions sont données et une seule est exacte. Un élève coche une proposition au hasard pour chacune des 6 questions. Soit l'épreuve qui consiste à cocher, au hasard, une question comportant 4 propositions. Notons S l'événement "la réponse cochée est correcte" (Succès). Notons p = P(S) = 1 4 . L'élève répète n = 6 fois l'expérience de manière indépendante. Notons X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus (X prend ses valeurs dans l'ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}). Dans ces conditions, on peut affirmer que X suit la loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 1 4 . On a donc, pour tout entier k compris entre 0 et 6 : P(X = k) = 6 k    1 4 k       6 3 4 k −       Ceci va permettre de répondre aux questions n°1 à 5 : 1. La probabilité qu'il obtienne les 6 réponses correctes est égale à : P(X = 6) = 6 1 4       Réponse correcte : P2 2. La probabilité qu'il obtienne 6 réponses incorrectes est égale à : P(X = 0) = 6 3 4       0,178 à 10−3 près Réponse correcte : P4 3. La probabilité qu'il obtienne, sur l'ensemble du QCM, exactement deux réponses correctes (et donc 4 incorrectes) est égale à : P(X = 2) = 6 2       2 1 4       4 3 4       0,297 à 10−3 près Réponse correcte : P1 4. La probabilité qu'il obtienne, sur l'ensemble du QCM, au moins une réponse correcte est égale à : P(X  1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 6 3 4       0,822 à 10−3 près Réponse correcte : P1 5. L'espérance de X est égale à : E(X) = np = 6 × 1 4 = 1,5 Réponse correcte : P2 TS DS 5 Page 5 G. COSTANTINI 6. On note Y la variable aléatoire correspondant à la note obtenue par cet élève. Déterminons la loi de probabilité de Y : D'où : E(Y) = 0 × α + 30 3 1 4       3 3 4       + 45 4 1 4       2 3 4       + 27 5 1 4       3 4 + 6 1 4       E(Y) = 1297 4096  0,32 à 10−2 près Réponse correcte : P1 Grille de réponses au QCM. Valeurs de X 0 ou 1 ou 2 3 4 5 6 Valeurs de Y 0 1,5 3 4,5 6 Probabilités α 20 3 3 1 3 4 4             15 4 2 1 3 4 4             6 5 1 1 3 4 4             6 1 4       Valeur approchée α 0,1318 0,0330 0,0044 0,0002 (Inutile de calculer α car il n'influencera pas l'espérance) n° question Proposition P1 P2 P3 P4 Points obtenus (Ne pas compléter cette colonne) 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X Total Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0. TS DS 5 Page 6 G. COSTANTINI Exercice 2 (6 points) Le téléphone arabe 1. D'après la formule des probabilités totales appliquée à la partition A2 ∪ 2 A , on a : p3 = P(A3) = 2 3 2 ( ) ( ) A P A P A + 2 3 2 ( ) ( ) A P A P A = 0,8 × 0,8 + 0,2 × 0,2 = 0,68 2. D'après la formule des probabilités totales appliquée à la partition An ∪ 1 n A + , on a : pn+1 = P(An) = 1 ( ) ( ) n A n n P A P A + + 1 ( ) ( ) n n n A P A P A + = 0,8pn + 0,2(1 − pn) = 0,6pn + 0,2 3. Soit ω la solution de l'équation : ω = 0,6ω + 0,2 ( ) 2 3 A P A = 0,8 2 3 ( ) A P A = 0,2 ( ) 2 3 A P A = 0,2 3 A 3 A 2 A A1 A3 A3 A2 2 3 ( ) A P A = 0,8 1 − p2 = 0,2 p2 = 0,8 ( ) 1 n A n P A + = 0,8 1 ( ) n A n P A + = 0,2 ( ) 1 n A n P A + = 0,2 1 n A + 1 n A + n A An+1 An+1 An 1 ( ) n A n P A + = 0,8 1 − pn pn TS DS 5 Page 7 G. COSTANTINI On a : ω = 1 2 En retranchant, membre à membre les deux égalités suivantes : 1 0,6 0,2 0,6 0,2 n n p p + = +  ω = ω +  On obtient : pn+1 − ω = 0,6(pn − ω) La suite (un) définie par un = pn − ω est donc géométrique de raison q = 0,6 d'où, pour tout n ∈ * : un = 0,6n−1u1 pn − 0,5 = 0,6n−1(p1 − 0,5) Et comme p1 = 1 : pn = 0,5 × 0,6n−1 + 0,5 4. Il s'agit de calculer p10 : p10 = 0,5 × 0,69 + 0,5 = 0,505 5. Puisque la suite (un) est géométrique de raison q = 0,6 ∈ ]−1, 1[, elle converge vers 0. En conséquence, la suite (pn) converge vers 0,5. Remarque : on peut généraliser cet exercice et montrer que cette limite ne dépend pas de la probabilité de transmettre fidèlement l'information ou non. Quelle qu'elle soit, un individu situé assez loin dans la chaîne aura environ une chance sur deux de recevoir l'information exacte. Exercice 3 (5 points) Avec des cartes 1. Le nombre de façons de choisir 5 cartes parmi 12 est : 12 5       Le nombre de façons de choisir k rois (k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}) parmi 4 est : 4 k       Le nombre de façons de choisir 5 − k autres cartes (non rois) parmi les 8 restantes est : 8 5 k     −   On a donc : P(X = k) = 4 8 5 12 5 k k       −          pour tout k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} À l'aide de la calculatrice, on obtient : D'où les réponses aux questions posées : a. P(X = 2) = 42 99  0,4242 à 10−4 près b. P(X  1) = 1 − P(X = 0) = 92 99  0,9292 à 10−4 près c. Calcul de l'espérance mathématique de X : X 0 1 2 3 4 Total Probabilités 99 7 99 35 99 42 99 14 99 1 1 TS DS 5 Page 8 G. COSTANTINI E(X) = i i ix p = 99 165 = 3 5 En moyenne, le nombre de rois obtenus, par cette méthode de tirage, est 3 5 (  1,67). 2. Soit l'expérience : "on tire, au hasard et avec remise, une carte de l'enveloppe et on regarde si c'est un roi" Cette expérience aléatoire possède deux issues : obtenir un roi (Succès) ou non (Echec). C'est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre p = P(Succès) = 12 4 = 1 3 . On répète, de manière indépendante, n = 5 fois cette épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire Y (nombre de rois obtenus) représente le nombre de succès obtenus (0 Y 5) uploads/Geographie/ tsds5-proba-pp4-10.pdf

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