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PowerElecPro – Corrigé de Chap3_exercice 2 - 1 - Four à induction alimenté par

PowerElecPro – Corrigé de Chap3_exercice 2 - 1 - Four à induction alimenté par un onduleur autonome Corrigé. A - 1.1) Représentation de u : voir pages suivantes. ) (t A - 1.2) On nous donne la série de Fourrier de . La valeur moyenne de u est nulle. Cette série de Fourrier ne comporte pas d’harmoniques pairs car u présente une symétrie de glissement. Elle ne comporte pas de termes en cosinus car u est une fonction impaire : ) (t u ) (t ) (t ) (t four E u i s i k 2 vk 1 ik 1 k 1 k4 C L R k3 ( ) ( ) ( ) ( ) ... . . 7 sin . 7 . 4 . . 5 sin . 5 . 4 . . 3 sin . 3 . 4 . sin . . 4 ) ( + + + + = t E t E t E t E t u ω π ω π ω π ω π avec ω = 2π.f, et f = 600 Hz. La source de tension u peut être remplacée par une somme de sources de tensions alternatives sinusoïdales représentant sa série de Fourrier. L’ensemble de la charge RLC et des sources constitue un réseau linéaire auquel on peut appliquer le théorème de superposition. ) (t On en déduit : (On verra que cette série converge très rapidement) ... ) ( ) ( ) ( ) ( 5 3 1 + + + = t i t i t i t i R L i u C R L i u C R L i1 u1 C R L i3 u3 C 600Hz 1800Hz 600Hz 1800Hz Dans le montage ci-contre, les signaux sont alternatifs sinusoïdaux de fréquence 600 Hz. On peut donc utiliser le calcul en complexe : R L i1 u1 600H C A ( t E t ) . sin . . 4 ) ( 1 ω π = u , on choisit d’associer le complexe π E U . . 4 1 = (Ce choix précise la loi de passage que nous avons adoptée entre les fonctions du temps et les complexes associés. Ce choix doit être conservé durant tout le calcul) ( )( ) ( )( ) π π π ω ω . 600 . 2 . 10 . 1080 . 600 . 2 . 10 . 60 . 10 100 . 4 6 6 2 1 1 − − − − + = − + = j j C j jL R U I 095 , 1 . . 1 . 5830 095 , 1 . 0218 , 0 3 , 127 j j e e I = = − (1,095 rad = 62,7°) ( ) 095 , 1 . sin . 5830 ) ( 1 + = ⇒ t t i ω et A I eff 4123 2 5830 1 = = PowerElecPro – Corrigé de Chap3_exercice 2 - 2 - Dans le montage ci-contre, les signaux sont alternatifs sinusoïdaux de fréquence 1800 Hz. Donc : ( )( ) ( )( ) π π π ω ω . 1800 . 2 . 10 . 1080 . 1800 . 2 . 10 . 60 . 10 3 100 . 4 3 3 6 6 2 3 3 − − − − + = − + = j j C j jL R U I 555 , 1 . . 71 555 , 1 . . 597 , 0 4 , 42 3 j e j e I − = = (1,555 rad = 89,1°) A I eff 2 , 50 2 71 3 = = ⇒ (soit 1,2% de ) eff I1 R L i3 u3 1800Hz C De même on démontrerait que A I eff 16 5 = On constate que la valeur efficace des harmonique 3 et 5 est négligeable par rapport à la valeur efficace de l’harmonique 1 (harmonique fondamental). On peut donc faire l’approximation au premier harmonique et considérer : ( ) 095 , 1 . sin . 5830 ) ( + ≈ t t i ω A - 2.1) i(t), ik1(t), vk1(t) : voir page suivante. Pour la fonction des interrupteurs, on trouve (par une méthode non développée ici) le résultat suivant: R L u C a a i a a is E A – 2.2) is(t) : voir page suivante.( On peut vérifier le graphe de en utilisant la conservation de la puissance instantanée dans un convertisseur à liaison directe : ) (t is ) ( ). ( ) ( . t u t i t i E s = La puissance active fournie par la batterie E peut être obtenue de différentes façons en utilisant la conservation de la puissance active: 0 = P 0 = P moy S I E P . = ( ) 1 1 1 cos . . ϕ eff eff I U P ≈ 0 = C P 0 = L P u a a 2 . eff R I R P = i a a is E PowerElecPro – Corrigé de Chap3_exercice 2 - 3 - ¾ ( ) ( ) kW I E I E P s moy S 170 095 , 1 cos . 5830 . 2 . 100 cos . ˆ . 2 . . 1 = = = = π ϕ π ¾ ou ( ) ( ) kW I U P eff eff 170 095 , 1 cos . 4123 . 2 . 100 . 4 cos . . 1 1 1 = = ≈ π ϕ (car les harmoniques du courant « i » sont négligeables par rapport au fondamental) ¾ ou (avec l’approximation au premier harmonique) W I R P eff 169991 4123 . 01 , 0 . 2 2 = ≈ = ¾ ou ( ) W I R P eff 170019 16 2 , 50 4123 . 01 , 0 . 2 2 2 2 = + + ≈ = (avec l’approximation aux harmoniques 1 à 5) En utilisant ces différentes méthodes, on peut vérifier le résultat ou éviter des calculs compliqués. limentation directe du four (le condensateur C étant supprimé) A ; f = 600 Hz. i s + E 0 t - E u u1 k1 et k4 k2 et k3 0 I max t i u1 63° 0 I max t i k1 0 E t I max 0 t v k1 PowerElecPro – Corrigé de Chap3_exercice 2 - 4 - - 1.1) Représentation de : voir pages suivantes. 1 é, B ) (t u orsque k est ferm L ( ) dt t i d L t i R E u ) ( . ) ( . + = = Lorsque k1 est ouvert, ( ) dt t i d L t i R E u ) ( . ) ( . + = − = a constante de temps du circuit R.L est L ms s R L 6 10 . 6 10 10 . 60 3 2 6 = = = = − − − τ a demi-périodee des signaux est L ms s 83 , 0 10 . 3 , 8 600 . 2 1 3 = = − . τ << ms 83 , 0 : Sur une demi-période, on peut donc approximer le morceaux d’exponentielle de par un segment de droite. ) (t i B - 1.2) ( ) ( ) ( ) 0 0 . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎛ = R U ⎝ + moy moy moy moy moy I R dt t i d L t i R dt t i d L t i , donc 0 = moy I B - 1.3) On peut calculer en utilisant la notion d’homothétie ou le théorème de imant la courbe avec sa max I Thales (en approx tangente à l’origine): 83 , 0 . 2 6 01 , 0 100 I E + + max max max I I R = = τ A I 743 83 , 0 12 10 . 83 , 0 4 max = − = On peut également faire le calcul à partir de l’équation de sur la première demi-période : ) (t i max max ) 0 ( . ) ( . ) ( I E e E I T i E e E i t i = + ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ − − = ⇒ + ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ − = − − τ τ . 2 2 R R R R T t ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Contrairement à la première, cette seconde thode ne fait pas appel à une approximation. mé A e e R E I T 691 1 . 01 , 0 100 1 . 6 83 , 0 . 2 max = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ uploads/Histoire/ corrige-chap3-exo2.pdf