Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Geometric algebrique line introduction Cette page est laissée intentionnellemen

Geometric algebrique line introduction Cette page est laissée intentionnellement en blanc. Daniel Perrin IUFM de Versailles Universite Paris-Sud, Orsay Geometrie algebrique Une introduction S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences/CNRS EDITIONS © 2001, EDP Sciences, 7 avenue du Hoggar, BP 112, PA de Courtaboeuf, 91944LesUlisCedexA. CNRS EDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. lre edition : © 1995 InterEditions - CNRS EDITIONS Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous precedes reserves pour tous pays. Toute reproduction ou representation integrate ou partielle, par quelque precede que ce soit, des pages publiees dans le present ouvrage, faite sans 1'autorisation de 1'editeur est illicite et constitue une contrefagon. Seules sont autorisees, d'une part, les reproductions strictement reservees a 1'usage prive du copiste et non destinees a une utilisation collective, et d'autre part, les courtes citations justifiees par le caractere scientifique ou d'information de 1'oeuvre dans laquelle elles sont incorporees (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriete intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent etre realisees avec 1'accord de 1'editeur. S'adresser au : Centre frangais d'exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tel. (1) 43.26.95.35. ISBN 2-86883-374-8 ISBN 2-271-05271-8 Table des matieres Avant-propos ix Notations xi Introduction 1 0 La geometric algebrique 1 1 Quelques objets 1 2 Quelques problemes 4 I Ensembles algebriques affines 9 1 Ensembles algebriques affines, topologie de Zariski . . . 9 2 Ideal d'un ensemble algebrique affine 12 3 Irreductibilite 14 4 Le Nullstellensatz (ou theoreme des zeros de Hilbert) . . 16 5 Un premier pas vers Bezout 21 6 Les morphismes : une premiere approche 22 Exercices 27 II Ensembles algebriques projectifs 29 0 Motivation 29 1 L'espace projectif 29 2 Homographies 31 3 Lien affine projectif 31 4 Ensembles algebriques projectifs 34 5 Ideal d'un ensemble algebrique projectif 36 6 Un anneau gradue associe a un ensemble algebrique projectif 37 vi Table des matieres 7 Appendice : anneaux gradues 38 Exercices 40 III Faisceaux et varietes 43 0 Motivations 43 1 La notion de faisceau 44 2 Le faisceau structural d'un ensemble algebrique affine . . 47 3 Les varietes affines 50 4 Les varietes algebriques 52 5 Anneaux locaux 55 6 Faisceaux de modules 56 7 Faisceaux de modules sur une variete algebrique affine . 59 8 Les varietes projectives 61 9 Faisceaux de modules sur les varietes algebriques projectives 66 10 Deux suites exactes importantes 70 11 Exemples de morphismes 71 Exercices A 74 Exercices B 78 IV Dimension 82 0 Introduction 82 1 Definition topologique, lien avec 1'algebre 82 2 Dimension et nombre d'equations 86 3 Morphismes et dimension 91 4 Annexe : morphismesfinis 98 Exercices 99 V Espaces tangents, points singuliers 103 0 Introduction 103 1 Espaces tangents 104 2 Points singuliers 108 3 Anneaux locaux reguliers Ill 4 Le cas des courbes 112 Exercices 115 VI Le theoreme de Bezout 119 0 Introduction 119 1 Multiplicites d'intersection 119 2 Le theoreme de Bezout 124 Exercices 130 Table des matieres vii VII Cohomologie des faisceaux 134 0 Introduction 134 1 Un peu d'algebre homologique 136 2 La cohomologie de Cech 138 3 Theoremes d'annulation 144 4 La cohomologie des faisceaux Op» (d] 145 Exercices 151 VIII Genre arithmetique des courbes, theoreme de Riemann- Roch, forme faible 154 0 Introduction : la caracteristique d'Euler-Poincare . . . . 154 1 Degre et genre d'une courbe projective, Riemann-Roch 1 155 2 Diviseurs sur une courbe, Riemann-Roch 2 163 Exercices 173 IX Applications rationnelles, genre geometrique, courbes unicursales 176 0 Introduction 176 1 Applications rationnelles 176 2 Le cas des courbes 179 3 Normalisation : la voie algebrique 183 4 Eclatements affines 187 5 Eclatements globaux 194 6 Appendice : retour sur les demonstrations precedentes . 202 X Liaison des courbes gauches 204 0 Introduction 204 1 Ideaux et resolutions 205 2 Courbes ACM 212 3 Liaison des courbes gauches 221 Exercices 230 Memento d'algebre 232 1 Anneaux 232 2 Produits tensoriels 238 3 Bases de transcendance 241 4 Quelques exercices d'algebre 242 Appendice. Les schemas 244 0 Introduction 244 1 Schemas affines 245 viii TaWe des matieres 2 Schemas 245 3 Ce que cela change de travailler avec des schemas . . . . 246 4 Ce que cela apporte de travailler avec des schemas . . . 247 5 Un Bertini schematique 248 Recueil de problemes 250 Probleme I 250 Probleme II 252 Probleme III 254 Probleme IV 256 Probleme V 258 Probleme VI 259 Probleme VII 262 Probleme VIII 266 Probleme IX 269 Partiel, decembre 1991 272 Examen, Janvier 1992 274 Examen, juin 1992 278 Examen, Janvier 1993 280 Examen, juin 1993 284 Examen, fevrier 1994 287 References bibliographiques 293 Index terminologique 295 Index des notations 300 Avant-propos Get ouvrage a pour base un cours fondamental de troisieme cycle donne en 1991-92, 1992-93 et 1993-94 a 1'Universite Paris Sud (Orsay). Le cours comportait une cinquantaine d'heures a raison de 3/4 de cours et de 1/4 d'exercices. II s'adressait a des etudiants n'ayant jamais aborde la geometric algebrique. Vu le temps imparti, il ne peut s'agir, evidemment, que d'une introduction a une partie de ce domaine. Le choix opere ici est celui de la geometric projective sur un corps algebriquement clos, traitee par des voies exclusivement algebriques. Les principes didactiques de ce cours ont etc les suivants : 1) Partir de problemes dont la formulation est simple, mais dont la so- lution est non triviale (theoreme de Bezout sur 1'intersection des courbes planes, courbes unicursales). En 1993-1994 le chapitre sur les courbes unicursales a ete remplace par celui sur la liaison des courbes gauches. 2) Introduire a cette occasion les outils fondamentaux de la geometric algebrique : dimension, singularites, faisceaux, varietes, cohomologie. En ce qui concerne les schemas, on a choisi de ne pas en developper le for- malismesauf dans le cas fini (pour parler de multiplicites d'intersection). Un petit resume est donne en appendice. On en retient surtout 1'usage des elements nilpotents. 3) Limiter au maximum la part de I'algebre commutative en admettant un certain nombre de resultats (ou en se contentant de les montrer dans des cas particuliers) lorsque leur demonstration n'est pas essentielle pour leur utilisation. Les resultats fondamentaux utilises sont rassembles dans un memento avec des references. Certains sont proposes en exercices ou en problemes. x Avant-propos 4) Ne pas craindre d'admettre certains resultats du corpus lui-meme, lorsque leur sens n'est pas altere par 1'absence de demonstration. C'est le cas par exemple pour 1'unicite de la cohomologie ou pour certains points techniques du chapitre IX. Plus generalement, on a essay e de mettre 1'accent sur la comprehension des phenomenes plus que sur la technique. 5) Pour chaque sujet aborde, fournir un certain nombre d'exercices et de problemes. Les textes donnes aux differents examens ont ete annexes a 1'ensemble. II est clair que sur un tel sujet on peut difficilement pretendre a 1'ori- ginalite. Ce travail s'est done largement inspire des ouvrages existants et notamment des livres d'Hartshorne [H], Fulton [F], Mumford [M] et Shafarevitch [Sh]. Je remercie Mireille Martin-Deschamps pour sa lecture attentive et ses remarques. Je remercie aussi les auditeurs de ce cours qui m'ont signale quelques erreurs et propose des ameliorations, et notamment Abdelkader Belkilani, Nicusor Dan, Leopoldo Kulesz, Vincent Lafforgue et Thomas Peteul. Enfin, je suis heureux de remercier Claude Sabbah d'avoir accueilli cet ouvrage dans la collection Savoirs Actuels et de m'avoir prete son concours pour la mise au point du texte defmitif. Notations On designe par N (resp. Z, Q, R, C) 1'ensemble des entiers > 0 (resp. des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres reels, des nombres complexes). On note F9 le corps fini a q elements. On note | E \ le cardinal d'un ensemble E. On note [x] la partie entiere d'un nombre reel. La notation ( n) designe le coefficient binomial : \pj ° On convient que ce coefficient est nul pour n < p. Si / : G —» H est un homomorphisme de groupes abeliens (ou de modules, ou d'espaces vectoriels) on note Ker/ (resp. Im/, resp. Coker/) son noyau (resp. son image, resp. son conoyau). On rappelle que 1'on a, par definition, Coker / = H/Im f . Une suite exacte de groupes abeliens (ou de modules, ou d'espaces vectoriels) : consiste en la donnee de deux homomorphismes u,v verifiant : a) u injectif b) v surjectif c) Imw = Keru. On se reportera au memento d'algebre pour des definitions et nota- tions complementaires. Dans les exercices et les problemes, le signe f indique une question difficile. Cette page est laissée intentionnellement en blanc. Introduction 0. La geometrie algebrique La geometrie algebrique est 1'etude des varietes algebriques : toutes celles qui sont definies comme ensembles des zeros d'un ou plusieurs polynomes. On peut en faire remonter 1'origine a Descartes et de nom- breux mathematiciens s'y sont illustres : Abel, Riemann, Poincare, M. Noether, 1'ecole italienne avec Severi, plus recemment Weil, Zariski et Chevalley. Elle a subi dans uploads/Industriel/ 7-geometrie-algebrique-une-introduction-daniel-perrin.pdf