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15/03/2010 1 3ème Partie: Plan • Processus Stochastiques • Processus de Markov

15/03/2010 1 3ème Partie: Plan • Processus Stochastiques • Processus de Markov • Processus de comptage • Processus de Poisson • Processus de naissances pur • Les processus de naissance et de mort • Files d’attente • Gestion aléatoire des Stocks 1 Processus Stochastiques: 2 Processus Stochastiques: • Considérons une expérience aléatoire avec Ωson espace fondamental. • En associant des valeurs numériques aux éléments de cet espace, on peut définir une famille de variables aléatoires {X(t), t≥0} indexée par rapport au paramètre temps t. • Les valeurs que prend le processus s’appellent « les états » et leur ensemble S espace des états. • L’ensemble T des valeurs possibles de t s’appelle espace de temps, qui peut être discret ou continue. 3 Mohamed El Merouani Processus Stochastiques: • Dans le cas discret, on notera le temps par n et on représentera le processus par {Xn;n=0,1,2,…} • Lorsqu’on fixe t, X(t) est une variable aléatoire. • Pour avoir une description complète du processus, il est nécessaire de donner la loi conjointe des variables aléatoires de la famille {X(t); t ∊T }. • Lorsque t est continue, avoir cette loi conjointe est presque impossible. 4 Mohamed El Merouani www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan 15/03/2010 2 Processus Stochastiques: • Sous ces conditions, on suppose que le comportement du processus s’obtient en l’étudiant dans tout ensemble discret de temps et en définissant une loi conjointe dedans, c’est-à-dire, pour (t1, …, tn) avec t1<…<tn, on donne: P(X(t1)≤x1,…,X(tn)≤xn) qui prend sa forme la plus simple si les variables aléatoires sont indépendantes. • Mais, dans la majorité des cas pratiques, il existe une sorte de dépendance entre ces variables. 5 Mohamed El Merouani Processus Stochastiques: • Même si on a besoin d’une loi de probabilité conjointe citée précédemment, la plus grande partie de l’information dont on a besoin dans la pratique est tirée des fonctions de transition . • Les fonctions de transition sont des loi de probabilité conditionnelle basées sur une information tirée du processus stochastique relativement à une valeur spécifique du paramètre t. 6 Mohamed El Merouani Processus Stochastiques: • Soient t0, t1∊T telles que t0≤t1. On définit la fonction de loi de transition conditionnelle par F(x0, x1; t0, t1)=P(X(t1)≤x1/X(t0)≤x0) • Si le processus stochastique a des espaces de temps et des états discrets, les probabilités de transition seront: 7 ( ) i X j X P P m n n m ij = = = / ) , ( Mohamed El Merouani Processus Stochastiques: • Un processus stochastique {X(t), t∈T} est dit homogène dans le temps si sa fonction de loi de transition ne dépend que des différences t1-t0. • Dans ce cas, F(x0, x; t0, t0+t)=F(x0,x;0,t) ∀t0∈T. • Pour simplifier, dans l’expression précédente, on utilise la notation F(x0,x;t). • Par analogie, pour le processus discret {Xn, n=0,1,2,…} on utilise la notation . 8 ) (n ij P Mohamed El Merouani www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan 15/03/2010 3 Processus de Markov: 9 Processus de Markov: • La forme la plus simple de dépendance entre les variables aléatoires d’un processus stochastique est la Markovienne. • Soient un ensemble d’instants (t0,t1,…,tn,t) avec t0<t1<…<tn<t et t, ti ∈ T, où T est l’espace de temps. Un processus {X(t), t ∈ T} est dit de Markov si la loi de X(t) conditionnée par les valeurs X(t1),…,X(tn) ne dépend que de X(tn), c’est-à-dire, de la valeur la plus récente, P(X(t)≤x/Xn(tn)≤xn, Xn-1(tn-1)≤xn-1,…,X0(t0)≤x0)= =P(X(t)≤x/Xn(tn)≤xn )=F(xn,x;tn,t) 10 Mohamed El Merouani Processus de Markov: • Si le processus stochastique a un espace d’états et de temps discrets, alors c’est un processus de Markov si, P(Xn=j/Xn1=i1, Xn2=i2,…,Xnk=ik)= =P(Xn=j/Xnk=ik)= 11 ) , ( n n ij k P Mohamed El Merouani 12 Espace de temps Espace des états Discret Continue Discret Chaîne de Markov à temps discret Processus de Markov à temps discret Continue Chaîne de Markov à temps continue Processus de Markov à temps continue www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan 15/03/2010 4 Processus de comptage: 13 Processus de comptage: • Un processus de comptage N(t) est un effectif à la date t. • Par exemple: – N(t)=taille d’une population à la date t. – N(t)=nombre de navire qui arrivent à un port dans l’intervalle de temps [0,t] Ces processus sont des processus: • à temps continu (le temps t varie continûment, t ∈ℝ) • à espace d’états discret (un comptage n est un nombre entier), éventuellement infini. 14 Mohamed El Merouani Processus de Poisson: 15 Processus de Poisson: • Le processus de Poisson est le processus de comptage le plus élémentaire utilisé fréquemment pour modéliser les occurrences d’un événement pouvant survenir à tout instant avec une probabilité constante et indépendamment des occurrences passées. • On note N(t) le nombre d’événements survenus dans l’intervalle [0,t]. 16 Mohamed El Merouani www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan 15/03/2010 5 Processus de Poisson: • On dit qu’un processus stochastique est de Poisson s’il vérifie les hypothèses suivantes: A- le processus est sans mémoire: l’occurrence d’événements avant la date t n’influe en rien sur l’occurrence d’événements après t (donc c’est un processus de Markov) B- le processus est homogène dans le temps: la loi de probabilité de l’accroissement N(t+h)-N(t) du processus ne dépend que de h et pas de t (et donc la même que celle de N(h)). On parle parfois d’hypothèse d’homogénéité temporelle ou de stationnarité. 17 Mohamed El Merouani Processus de Poisson: • Un tel processus a une trajectoire en escalier 18 Mohamed El Merouani Processus de Poisson: • L’événement d’intérêt survient aux dates t1, t2,…,t5,t6,…à chacune de ces dates, le comptage N(t) augmente de 1: N(t)=0 si t<t1 N(t)=1 si t1≤t<t2 N(t)=k si tk≤t<tk+1 etc. 19 M Mohamed El Merouani Exemples de Processus de Poisson: • Appels téléphoniques à un standard, • Arrivée des clients à un guichet, 20 Mohamed El Merouani www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan 15/03/2010 6 Processus de Poisson: Loi de probabilité • En terme de probabilités, si on considère la probabilité qu’un événement survienne dans un intervalle d’amplitude ∆t P(N(t+∆t)-N(t)=1) en opérant un développement limité au premier ordre, et en remarquant que P(N(t)-N(t)=1)=0 on obtient P(N(t+∆t)-N(t)=1)=λ∆t+o(∆t) 21 Mohamed El Merouani Processus de Poisson: Loi de probabilité on obtient P(N(t+∆t)-N(t)=1)=λ∆t+o(∆t) où λ est appelée intensité du processus Les hypothèses A et B impliquent que λ ne dépend pas de t. la notation o(∆t) veut dire que: 22 0 ) ( 0  →  ∆ ∆ → ∆t t t o Mohamed El Merouani Processus de Poisson: Loi de probabilité • Alors N(t) est un processus de Poisson de paramètre λ, qui vérifie que chaque N(t) suit une loi de probabilité de Poisson de paramètre λt. P(N(t)=n)=e-λt(λt)n/n! • On peut démontrer alors que les intervalles du temps entre deux événements consécutifs sont des variables aléatoires i.i.d. suivant une loi exponentielle de paramètre λ. 23 Mohamed El Merouani Processus de naissances pur • Le processus de Poisson adapté au cas de la croissance d’une population pour lequel il semble raisonnable de tenir compte de la taille de la population pour modéliser la fréquence des naissances. • Il faut bien noter qu’on s’intéresse ici seulement à la naissance de nouveaux individus et non à leur mort et qu’on obtient donc une modélisation nécessairement croissante de la taille de la population. 24 Mohamed El Merouani www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan 15/03/2010 7 Les processus de naissance et de mort: • C’est le cas général dans lequel, on considère l’évolution d’une population qui connaît à la fois des naissances et des morts. 25 Mohamed El Merouani Files d’attente 26 Files d’attente: • La population de la file d'attente évolue comme un processus de saut markovien... • nous nous limitons au cas où il n'y a que des sauts vers deux valeurs voisines : – naissance ou arrivée (la population augmente de 1) – mort ou départ (la population diminue de 1) 27 Mohamed El Merouani Files d’attente: λn est le taux de naissance (ou d'arrivée) et µn le taux de mort (ou de départ). λ0 µ1 λn-1 λn µn µn+1 28 0 1 n-1 n n+1 Mohamed El Merouani www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan 15/03/2010 8 Files d’attente, exemple simple: La file M/M/1 • Les clients arrivent dans une file à un seul serveur et reçoivent chacun leur tour un service d'une certaine durée • Si un client trouve le serveur libre, il reçoit immédiatement son service, sinon il attend son tour • Les clients arrivent un par un selon un processus de Poisson = le temps séparant deux arrivées est une variable exponentielle de paramètre λ. 29 Mohamed El Merouani Files d’attente, exemple simple: La file M/M/1 • La durée du service donné à chaque client est une variable exponentielle de paramètre µ. • Ces différentes variables aléatoires sont indépendantes dans leur ensemble. • La capacité de la file d'attente est infinie et la discipline de service est PAPS (FIFO) premier arrivé - premier servi. 30 Mohamed El Merouani Définition des paramètres: • L'intervalle de temps entre deux arrivées est une loi exponentielle de paramètre λ signifie que l'inter-arrivée est de durée moyenne 1/λ et donc que uploads/Industriel/ modeles-statistiques-de-la-logistique-pdf.pdf