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!Mathématiques Mouveinent brownien et calcul d'Itô avec exercices corrigés Léon

!Mathématiques Mouveinent brownien et calcul d'Itô avec exercices corrigés Léonard Gallardo J Mouvement brownien et calcul d'itô cours et exercices corrigés Mouvement brownien et calcul d'Itô cours et exercices corrigés Léonard Gallardo Hermann ~ éditeurs www.edition-hermann.fr Isbn 978 27056 6797 9 © 2008, Hermann éditeurs, 6 rue de la Sorbonne 75005 Paris Toute reproduction ou représentation de cet ouvrage, intégrale ou partielle, serait illicite sans l'autorisation de l'éditeur et constituerait une contrefaçon. Les cas strictement limité à usage privé ou de citation sont régis par la loi du 11 mars 1957. Remerciements Mes amis Emmanuel Lesigne et Marc Yor m'ont été d'un grand sou- tien dans l'élaboration finale de ce texte. Le premier qui a eu la patience d'éplucher et de corriger le premier polycopié de ce cours à peine sorti de l'état d'ébauche et le second qui par ses nombreuses remarques et sugges- tions m'a permis d'améliorer, d'éclairer et de simplifier certains énoncés et démonstrations du manuscrit initial. Je les remercie de tout coeur pour l'intérêt qu'ils ont porté à ce travail. Table des matières Remerciements iii 1 Introduction aux processus stochastiques 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . 1 3 3 1.1.2 Lois de dimension finie d'un processus 4 1.1.3 Équivalence de deux processus stochastiques 5 1.1.4 Continuité et mesurabilité des processus . . . 6 1.1.5 Continuité des trajectoires, critère de Kolmogorov 8 1.1.6 Construction d'un processus stochastique 11 1.2 Les processus gaussiens . . . . . . 16 1.2.1 Lois gaussiennes, rappels . . . . 16 1.2.2 Processus gaussiens . . . . . . 18 1.3 Notion de temps d'arrêt d'un processus 22 1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Rappels sur l'espérance conditionnelle . . . 24 1.4.2 Rappels sur les martingales à temps discret 27 1.4.3 Martingales à temps continu . . . . 30 1.5 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.1 Tribus sur un espace de trajectoires . . . . 34 1.5.2 Démonstration du grand théorème de Kolmogorov 38 1.5.3 Considérations sur les lois, l'indépendance des pro- cessus, etc... . . . . 41 1.5.4 Notes et exercices . . 44 V vi Mouvement Brownien et calcul d'Itô 2 Le mouvement brownien 2.1 Généralités ..... 49 50 2.1.1 Les accroissements du mouvement brownien 50 2.1.2 Caractère gaussien du mouvement brownien . 53 2.1.3 Construction du mouvement brownien . 55 2.1.4 Continuité des trajectoires browniennes 58 2.1.5 La mesure de Wiener sur C([O, oo[, IR) . 59 2.1.6 Invariances du mouvement brownien 60 2.1. 7 Mouvement brownien multidimensionnel 61 2.2 Régularité des trajectoires browniennes . . . . . 2.2.1 Variation quadratique des trajectoires . . 62 62 2.2.2 Non différentiabilité des trajectoires browniennes 64 2.3 Renaissance du mouvement brownien après un temps d'arrêt 66 2.3.1 L'accroissement du mouvement brownien à partir d'un temps d'arrêt . . . . . . . . 66 2.3.2 Loi du temps d'atteinte d'un point . . . . . . . . . 68 2.4 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4.1 La caractérisation de P. Lévy du mouvement brow- nien .................... ·. . . . . 71 2.4.2 La construction de Wiener du mouvement brownien 75 2.4.3 Le principe de symétrie d'André 77 2.4.4 Notes et exercices . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 Le mouvement brownien comme processus de Markov 87 3.1 Notions sur les processus de Markov . . . . . . . . . 89 3.1.1 Noyaux de transition et propriété de Markov 89 3.1.2 Lois de dimension finie d'un processus de Markov 91 3.2 Probabilités de transition du mouvement brownien .................... . 3.2.1 Le semi-groupe du mouvement brownien 3.2.2 La propriété de Markov forte ...... . 93 93 95 3.3 Propriétés analytiques du semi-groupe brownien . 96 3.3. l Générateur infinitésimal d'un semi-groupe de Feller 96 3.3.2 La résolvante du mouvement brownien 101 3.4 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Table des matières vii 3.4.1 Famille des lois de probabilité d'un processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.4.2 Processus de Markov canonique . . . . . . . . . . 109 3.4.2.1 Construction du processus canonique . . l 09 3.4.2.2 Les opérateurs de décalage sur ET et la propriété de Markov . . . . . . . . . . . 110 3.4.2.3 Décalage par un temps d'arrêt et propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . 111 3.4.3 Processus de Markov-Feller et propriété de martin- gale ....... . 3.4.4 Notes et exercices ..... . 112 113 4 Construction de l'intégrale stochastique 117 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . 117 4.2 Intégrale stochastique des processus élémentaires 118 4.3 Les processus intégrands . . . . 121 4.3.l Aspects hilbertiens de l'intégrale stochastique. 122 4.3.2 Extension de l'intégrale stochastique à la classe A2 126 4.3.3 Résultats complémentaires sur l'intégrale stochas- tique . . . . . . . 129 4.4 L'intégrale stochastique comme processus . . . . . . 131 4.4.1 La martingale intégrale stochastique . . . . . 131 4.4.2 Applications : Inégalités maximales pour le proces- sus intégrale stochastique . . . . . . . . . 136 4.5 Annexe . . . . . . . . . . . 138 4.5. l Approximation d'un processus de A 2 par des pro- cessus élémentaires . . . . . 138 4.5.2 Approximation d'un processus de M 2 par des pro- cessus élémentaires de carré intégrable . . . 143 4.5.3 Intégrale jusqu'à un temps d'arrêt : démonstration du lemme 4.4. l 145 4.5.4 Notes et exercices. . . 146 5 Notions sur le calcul stochastique d'Itô 151 5. l Introduction . . . . . . 151 5.2 Processus d'Itô et notion de différentielle stochastique 152 5.2. l Notion de processus d'Itô . . . . . 152 viii Mouvement Brownien et calcul d'Itô 5.2.2 Différentielle stochastique d'un produit ou formule d'intégration par parties . . . . . 155 5.3 La formule d'Itô. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.3.1 Motivation heuristique à la formule d'Itô 158 5.3.2 Démonstration de la formule d'Itô. . . . 159 5.4 Equations différentielles stochastiques . . . . . . 162 5.4.l Un théorème d'existence et d'unicité pour les EDS 163 5.4.2 Signification heuristique d'une EDS . . . . . . 168 5.4.3 Caractère markovien de la solution d'une EDS 169 5.4.4 Notion de processus de diffusion . . . . . . . 172 5.5 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.5.1 Représentation des martingales browniennes 176 5.5.2 Les équations de Kolmogorov . . . . 181 5.5.3 Exponentielle stochastique . . . . . . 184 5.5.4 Changement de mesure de probabilité 187 5.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.6. l La formule de Black, Scholes et Merton 190 5.6.2 Notes et exercices . 195 6 Solutions des exercices 6.1 chapitre l 203 203 206 213 219 223 6.2 chapitre 2 6.3 chapitre 3 6.4 chapitre 4 6.5 chapitre 5 Index 231 Bibliographie 235 Introduction Ce texte reprend avec quelques compléments les notes d'un cours se- mestriel sur le mouvement brownien et le calcul d'Itô que j'ai donné en Master 2 entre 2004 et 2007 à l'Université de Tours. Il s'adresse à un large public souhaitant une initiation à l'outil moderne du calcul stochastique. Les méthodes du calcul stochastique, maintenant utilisées avec succès dans des domaines aussi variés que la physique, l'économie, les assurances, la finance, etc ... , prennent une place de plus en plus importante dans les cursus de mathématiques appliquées. On peut aborder leur étude, après une bonne initiation au calcul des probabilités, avec certains objectifs qui peuvent induire différentes stratégies pédagogiques : Par exemple, dans la perspective de fournir des outils mathématiques à l'ingénieur, on peut présenter les résultats essentiels de manière relative- ment heuristique, en privilégiant l'acquisition de certaines techniques et en admettant les démonstrations les plus délicates. Une difficulté uploads/Industriel/ mouvement-brownien-et-calcul-d-x27-ito-cours-et-exercices-corriges-2008-editions-hermann.pdf