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PROCESSUS STOCHASTIQUES Mme Zainab BELALIA zainab.belalia@gmail.com Ecole Moham

PROCESSUS STOCHASTIQUES Mme Zainab BELALIA zainab.belalia@gmail.com Ecole Mohammadia d’Ingénieurs Université Mohammed-V Rabat, Maroc Semestre Automne 2020 Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Plan de cours 1 Introduction au processus stochastiques 2 Processus de Markov 3 Processus de Poisson 4 Processus de naissance et de mort 5 Étude des ﬁles d’attente 2/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités 1 Introduction au processus stochastiques Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités 2 Processus de Markov 3 Processus de Poisson 4 Processus de naissance et de mort 5 Étude des ﬁles d’attente 3/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Représentation de phénomènes empiriques Il existe de nombreuses situations où le résultat aléatoire d’une épreuve est, non pas un nombre, mais une fonction d’un paramètre réel. Exemples : 1) Processus de ramiﬁcation : utilisé pour suivre l’évolution de certaines populations animales ou cellulaires, ou bien d’un nom chez les humains ; 2) Signal télégraphique : Ce processus, utilisé en théorie de la communication, rend compte de l’état d’occupation d’une ligne ; 3) Files d’attentes : ces processus sont utilisés en recherche opérationnelle ; Des clients se présentent à des guichets à des temps aléatoires, pour y recevoir des services de durée aléatoire (ex : banque, magasin, péage d’autoroute...). 4/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Représentation de phénomènes empiriques - suite (1) 4) Fiabilité : La théorie de la ﬁabilité a pour objectif d’étudier l’aptitude de dispositifs techniques (machines, équipements,...), à accomplir une fonction requise, dans des conditions données, durant un temps donné ; Prévoir la ﬁabilité d’un système est essentielle pour des problèmes de sécurité (systèmes de freinage, systèmes nucléaires, systèmes informatiques...) ; La quasi-impossibilité de réparer certains matériels (satellites), les problèmes économiques (coûts des défaillances, gestion du personnel de maintenance, maintenance des stocks des pièces de rechange...) rendent nécessaire la connaissance de la ﬁabilité des systèmes utilisés. 5/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Représentation de phénomènes empiriques - suite (2) Les défaillances se produisent de façon aléatoire => Utilisation des probabilités pour étudier des problèmes de ﬁabilité ; Déﬁnition de ﬁabilité d’un dispositif : sa probabilité de fonctionner correctement pendant une durée donnée, ou, ce qui est équivalent, la probabilité qu’aucune défaillance ne se produise pendant cette durée. 6/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Déﬁnition : Processus stochastiques (ou aléatoires) La théorie des processus aléatoires concerne l’étude mathématique de phénomènes physiques, biologiques ou économiques évoluant dans le temps, et dont l’évolution est de caractère aléatoire, c’est-à-dire non prévisible avec certitude. Pour déﬁnir un processus stochastique, il faut : Un espace temps ; Un espace des états ; Une famille de variables aléatoires (Xt)t∈T. 7/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Processus stochastiques (ou aléatoires) Un espace temps : T = N : le processus est dit discret ; on regarde ce qu’il se passe à chaque unité de temps, ou bien on fait une suite d’opérations et on regarde ce qu’il se passe à chaque opération (ex : lancer d’une pièce) ; T = R+ : le processus est dit continu : le système évolue dans le temps à partir d’un instant t0 que l’on prend pour origine des temps (t = 0). 8/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Processus stochastiques (ou aléatoires) Un espace des états (E) : Discret : c’est-à-dire dénombrable. Il sera souvent pratique d’identiﬁer E avec une partie de N ou de Z ; Continu : par exemple E = R. 9/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Processus stochastiques (ou aléatoires) Une famille de variables aléatoires, (Xt)t∈T : Ces variables aléatoires sont toutes déﬁnies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P) et à valeurs dans l’espace des états E. A chaque instant t ∈T, on associe une valeur aléatoire décrite par une variable aléatoire à valeurs dans E. 10/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Rappels de probabilités : généralités Déﬁnition générale d’une probabilité : Une probabilité sur l’espace (Ω, A) est une application de A dans [0, 1], notée P , telle que P(Ω) = 1. On appelle le triplet (Ω, A, P) un espace de probabilité. Les fonctions que l’on va utilisées peuvent prendre diﬀérentes valeurs, obtenues au hasard. Pour cela, on les appelle des variables aléatoires ; Une variable aléatoire X est une application de Ωdans un ensemble E, qui à ω, associe la valeur X(ω) ∈E. Fonction de répartition de X : Soit X une v.a. à valeurs dans R. La fonction de répartition de X est la fonction : t ∈R − →P(X ≤t) ∈R. 11/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Variable aléatoire continue Une variable aléatoire est continue si, l’ensemble E déﬁni plus haut, représente l’ensemble des réels (un ensemble inﬁni non-dénombrable). Déﬁnition : Une v.a. X est dite continue si sa fonction de répartition F est une fonction continue. Dans ce cas, la Fonction de répartition de X est déﬁnie par : Fx(x) = Z x ∞ fX(u)du. (1) 12/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Variable aléatoire continue (suite 1) Le moment centré d’ordre k de X, E[X k], est déﬁni par : E[X k] = Z Ω xkf (x)dx, (2) où f (x) est la densité de probabilité de X. Densité de probabilité de X : Soit X une v.a. continue. S’il existe une fonction f de R dans R+ telle que ∀a < b ∈R, P(a ≤X ≤b) = Z b a f (x)dx, (3) alors cette fonction f s’appelle la densité de probabilité de X. Espérance : moment d’ordre 1 Variance : V (X) = σ2 x = E{(X −E[X])2} = E(X 2) −E(X)2 (4) 13/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Variable aléatoire continue (suite 2) Fonction génératrice d’une variable aléatoire GX(t) = E[etX] = Z R etxfX(x)dx. (5) En utilisant le développement en série de l’exponentielle, nous avons : GX(t) = E[etx] = ∞ X k=0 E(X k)tk k! (6) 14/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Variable aléatoire continue non négative Transformée de Laplace : un cas particulier de la fonction génératrice : Soit f une fonction qui prend ses valeurs dans R+. La transformée de Laplace de f est déﬁnie par : f (t) − →L(f (t)) = Z ∞ 0 f (t)e−ptdt = ˜ f (p) (7) 15/46 Belalia PROCESSUS STOCHASTIQUES Introduction au processus stochastiques Processus de Markov Processus de Poisson Processus de naissance et de mort Étude des ﬁles d’attente Pourquoi l’étude des processus stochastiques ? Déﬁnition Rappels de probabilités Variable aléatoire discrète Une variable aléatoire est discrète si, l’ensemble E déﬁni plus haut, représente un ensemble ﬁni dénombrable. Le moment centré d’ordre k est déﬁni par : E[X k] = X xk∈X xkPX(xk) (8) L’espérance mathématique est appelée le moment d’ordre k = 1 La variance (ou moment d’ordre 2), est déﬁnie par : V (X) = σ2 x = E{(X −E[X])2}. Fonction de répartition : uploads/Industriel/ processus-stochastiques.pdf