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Université Ibn Tofail Faculté d’Economie et de Gestion Probabilités 51 exemples

Université Ibn Tofail Faculté d’Economie et de Gestion Probabilités 51 exemples du cours magistral SEG(S2)-Licence fondamentale SECTION D Professeur : Ilham EL HARAOUI Notions de base en probabilités Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de monnaie 2 fois de suite et à observer la suite de piles (P) ou de faces (F) obtenues. Déterminer Ω. Ω = (ω1,ω2) tel que ωi ∈P, F { },i =1,2 { } P F P P F F P F P F P F P F Ω = (ω1,ω2,ω3) tel que ωi ∈B, D { }, i =1,2,3 { } Arbre de probabilités Si l’expérience aléatoire consistait à lancer la pièce de monnaie 3 fois : Prof. EL HARAOUI I. Exemple 1 Notions de base en probabilités Description explicite Soit lexpérience consistant à lancer une pièce de monnaie et 1 dé et à observer les côtés qu’ils présentent. Déterminer Ω d’une façon implicite et explicite. Ω = (ω1,ω2) tel que ω1 P,F { } et ω2 ∈1,2,3, 4,5,6 { } { } Ω = (P,1),(P, 2),(P,3),(P, 4),(P, 5),(P, 6) (F,1),(F, 2),(F,3),(F, 4),(F, 5),(F, 6) " # $ % & ' Description implicite Prof. EL HARAOUI I. Exemple 2 Notions de base en probabilités Ensemble fini (discret) Ω= (B,B,B),(B,B,D),(B,D,B),(B,D,D),(D,B,B),(D,B,D),(D,D,B),(D,D,D) { } Dans une chaîne de production, pour contrôler la qualité d’un lot de pièces produites par une machine, un gestionnaire prélève 3 pièces. Pour chaque pièce, il vérifie si elle est bonne (B) ou défectueuse (D). Déterminer Ω. Ω = Rouge,noir { } Dans un jeu de cartes… Ω = RR,RN,10R,10N { } Le niveau de détail à choisir pour déterminer l’univers des possibles est lié au problème à résoudre. Dans le 1er cas on s’intéresse aux couleurs. Prof. EL HARAOUI I. Exemple 3.1 Exemple 3.2 Notions de base en probabilités Ensemble infini dénombrable (discret) On tire au hasard des pièces dans un lot et on observe le nombre de tirages nécessaires pour obtenir pour la première fois une pièce défectueuse. { } ),... , , , ( ), , , ( ), , ( , D B B B D B B D B D Ω = 1 , 2,3, 4,... { } On suppose que : 1. Le lot contient au moins une pièce défectueuse ; 2. Les tirages s’effectuent avec remise. On observe depuis l’ouverture d’un magasin le nombre de clients (homme) qui entre jusqu’au moment où la première cliente y entre. On suppose que : 1. Il y ait au moins un client par jour qui entre dans le magasin. Ω = 0,1,2,3, 4,... { } Prof. EL HARAOUI I. Exemple 4 Exemple 5 Notions de base en probabilités Ensemble infini non dénombrable (continu) On observe durant une journée le temps écoulé en minutes, depuis l’ouverture d’un magasin jusqu’au moment où le premier client y entre. Déterminer Ω. Ω = ω tel que ω ∈0,480 [ ] { } On suppose que : 1. Il y ait au moins un client par jour qui entre dans le magasin ; 2. Le magasin est ouvert pendant 8 heures. Prof. EL HARAOUI I. Exemple 6 Notions de base en probabilités Un gestionnaire contrôle la qualité d’un lot de pièces produites par une machine X. Il prélève 2 pièces de ce lot et pour chacune il note si elle est bonne (B) ou défectueuse (D). Représentez l’événement A tel que A : obtenir au moins 1 bonne pièce. A : obtenir au moins 1 bonne pièce. Ω = (B,B),(B,D),(D,B),(D,D) { } A = (B,B),(B,D),(D,B) { } Prof. EL HARAOUI I. Exemple 7 Ω ={(O,O,O),(O,O,N),(O,N,O),(O,N,N), (N,O,O), (N,O,N), (N,N,O), (N,N,N)} Notions de base en probabilités Un gestionnaire contrôle la qualité de la peinture des voitures dans une ligne de production X pendant une semaine. Il sélectionne 3 voitures et pour chacune il note s’il existe un problème d’égratignures (s’il existe (O) sinon (N)). Représentez l’événement A, tel que A est l’événement « obtenir au moins 2 voitures sans aucune égratignure ». A : obtenir au moins 2 voitures sans aucune égratignure. A = (O, N, N),(N,O, N),(N, N,O),(N, N, N) { } Prof. EL HARAOUI I. Exemple 8 Les catégories des événements en probabilités Evénement A : n’obtenir aucune pièce défectueuse Evénement B : obtenir exactement une pièce défectueuse Evénement C : obtenir au plus une pièce défectueuse. A = {(B,B,B)} B = {(B,B,D), (B,D,B),(D,B,B)} C= {(B,B,B), (B,B,D),(B,D,B,), (D,B,B)} A et B sont incompatibles A un événement simple B et C : des événements composés Ω ={(B,B,B),(B,B,D),(B,D,B),(B,D,D), (D,B,B), (D,B,D), (D,D,B), (D,D,D)} A implique C B implique C Dans une chaîne de production, pour contrôler la qualité d’un lot de pièces produites par une machine, un gestionnaire prélève 3 pièces. Pour chaque pièce il vérifie si elle est bonne (B) ou défectueuse(D). Déterminer Ω. Prof. EL HARAOUI I. Exemple 9 La probabilité d’un événement A = {2, 4, 6} = {2} U {4} U {6}. Soit un univers des possibles Ω associé à une expérience aléatoire consistant à lancer un dé une fois. Sous l’hypothèse de l’équiprobabilité, on assigne à chacun des 6 résultats une probabilité de 1/6. P(A) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 3/6 = 1/2 Soit l’événement A = obtenir un nombre pair après le lancement du dé. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prof. EL HARAOUI I. Exemple 10 La probabilité d’un événement On dispose des cinq cartes ci-dessous et on tire une carte au hasard parmi les cinq. A = Obtenir une reine. C = Obtenir un 10. B = Obtenir une reine noire. NB: Dans notre exemple A et C sont deux événements complémentaires. P(A) = 3/5. P(B) = 1/5. P(C) = 2/5. Prof. EL HARAOUI I. Exemple 11 La probabilité d’un événement On lance 2 dés on veut savoir la probabilité d’obtenir l’événement A « la somme de 10 ». Ω = {2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10,11,12}. Nombre de cas possibles : 36 cas. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 + P(A) = P(obtenir la somme de 10) = 3/36 = 1/12 Prof. EL HARAOUI I. P(A) = P(obtenir la somme de 6) = 5/36 Exemple 12 Axiome 2 Analyse combinatoire Principes fondamentaux Soit l’expérience consistant à lancer une pièce de monnaie et 1 dé et à observer les côtés qu’ils présentent. Quel est le nombre total d’événements élémentaires associés à cette expérience ? Ω = (P,1),(P,2),(P,3),(P,4),(P,5),(P,6) (F,1),(F,2),(F,3),(F,4),(F,5),(F,6) " # $ % & ' Dans ce cas : 2 × 6 = 12 Le nombre total d’événements élémentaires associés à une expérience est de n1 × n2 Prof. EL HARAOUI I. Exemple 13 Principe de multiplication Analyse combinatoire Principes fondamentaux Combien peut-on former de nombres de 4 chiffres différents qui ne contiennent pas le chiffre 9 ? 2 688 chiffres différents N°2 N°3 N°4 N°1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Sans N°1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Sans N°1 et N°2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Sans N°1, N°2 et N°3 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 8 × × × Prof. EL HARAOUI I. Exemple 14 Analyse combinatoire Principes fondamentaux Nombre de plaques possibles (En admettant un numéro de 00000) Combien de plaques d’immatriculation peut-on émettre au Maroc ? ? ? 88 Prof. EL HARAOUI I. Exemple 15 246 400 000 Si on commence par 1 246 397 536 Permutation Quel est le nombre de possibilités de ranger dans une bibliothèque les livres de gestion, de marketing et d’économie, sachant que les livres de chaque discipline doivent être placés ensemble ? On dispose de 6 livres de gestion, 2 livres de marketing et 4 livres d’économie. Gestion Mkt Economie 6!×2! ×4! ×3! Prof. EL HARAOUI I. Exemple 16 Principes fondamentaux Dans une université, 2 postes de responsabilité doivent être attribués. 6 personnes ont posé leur candidature. Pour occuper le poste D, il y a 6 candidats possibles. Pour le poste VD, il reste 5 candidats possibles. Il existe 6 × 5 = 30 façons différentes d’attribuer les 2 postes de responsabilité. 6x5 = 6! 4! = 6! (6 −2)! = 30 6! (6 −2)! = A6 2 De combien de façons différentes peut-on attribuer ces 2 postes à Arrangement de 2 parmi 6. Prof. EL HARAOUI I. Exemple 17 Arrangement Dans une entreprise on dispose de 13 femmes et 11 hommes « executives». On veut former un comité exécutif de 3 membres pour remplir les postes de président, de vice-président et de secrétaire. De combien de façons peut-on former ce comité ? 1. Si on ne dispose d’aucune contrainte ? A24 3 = 24! (24−3)! = 24×23×22×21! 21! =12144 2. Si les postes de président et de secrétaire doivent être occupés par une femme et le poste de vice-président par un homme? A13 2 ×A11 uploads/Industriel/cours-de-probabilites-exemples.pdf