Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Volume 9 • Été-automne 2014 Rubrique des L ’arithmétique malmenée par la géomét

Volume 9 • Été-automne 2014 Rubrique des L ’arithmétique malmenée par la géométrie Cristallographie Autresarticles • Cristaux • Jeux de lumière et d’interférence • La quête de la Licorne • L’imagerie numérique • Les entiers... ces fonctions qui s’ignorent • Virer sans déraper Rédacteur en chef André Ross Professeur de mathématiques Comité éditorial Pietro-Luciano Buono Professeur de mathématiques University of Ontario Institute of Technology France Caron Professeure de didactique des mathématiques Université de Montréal Philippe Etchécopar Professeur de mathématiques Cégep de Rimouski Christian Genest Professeur de statistique Université McGill Frédéric Gourdeau Professeur de mathématiques Université Laval Bernard R. Hodgson Professeur de mathématiques Université Laval Christiane Rousseau Professeure de mathématiques Université de Montréal Production et Iconographie Alexandra Haedrich Institut des sciences mathématiques Conception graphique Pierre Lavallée Néograf Design inc. Illustrations de scientifiques et caricatures Alain Ross Illustrations mathématiques André Ross Révision linguistique Robert Wilson Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Institut des sciences mathématiques Université du Québec à Montréal Case postale 8888, succ. Centre-ville Montréal (Québec) H3C 3P8 Canada T 514 987-3000 poste 1811 redaction@accromath.ca www.accromath.ca ISSN 1911-0189 Dans ce numéro... Encore une fois Accromath a reçu une médaille de bronze au Summit Awards. Plus de 24 pays y sont en compétition pour un total de 5000 soumissions de projets dans différentes catégories. Merci à toute l’équipe pour son dévouement et au graphiste Pierre Lavallée. Pour commémorer le centenaire de la naissance de la cristallographie aux rayons X grâce aux travaux de Max von Laue, de William Henry Bragg et de William Lawrence Bragg, 2014 a été désignée année internationale de la cristallographie par les Nations Unies. Ce choix permet également de commémorer le cinquantième anniversaire du prix Nobel décerné à la biochimiste anglaise Dorothy Hodgkin. Celle-ci a développé les techniques de cristallographie aux rayons X et a été récompensée pour ses travaux sur la cristallographie des protéines ainsi que la vitamine B12 et la pénicilline. Dans les deux premiers articles de ce numéro, nous donnons un bref aperçu du rôle joué par les mathématiques dans l’étude et la classification des cristaux. L’article Cristallographie est un résumé des grands moments de l’étude des structures cristallines et l’article Cristaux, de Christiane Rousseau, décrit comment les symétries sont utilisées pour classifier les cristaux en dimension 2 comme en dimension 3. Dans Jeux de lumière et d’interférence, Yvan Saint-Aubin décrit le rôle des phénomènes d’interférence et de diffraction dans les miroitements des ailes de papillon. Dans les deux articles suivants, La quête de la Licorne de France Caron et L’imagerie numérique de Jean Meunier, on apprend comment les mathé- matiques et l’imagerie numérique ont permis la réalisation d’une photo numérique des fils de cette tapisserie pour le Metropolitan Museum of Art de New York. Dans Les entiers... ces fonctions qui s’ignorent, Jimmy Dillies utilise la congruence et l’interpolation de Lagrange pour montrer comment les entiers peuvent être considérés comme des fonctions. Dans Virer sans déraper, Jean-Marie De Koninck et Frédéric Gourdeau nous expliquent pourquoi il est possible de quitter l’autoroute sans prendre le champ. Dans la rubrique des paradoxes, Jean-Paul Delahaye nous présente L’arithmétique malmenée par la géométrie. On découpe des triangles et des rectangles, on recolle les morceaux en modifiant leurs positions relatives et on obtient des égalités arithmétiques fausses. Bonne lecture! André Ross Éditori l 1 Vol. 9 • été – automne 2014 Volume 9 • Été-Automne 2014 16 2 Sommaire DossierCristallographie Cristallographie 2 André Ross Cristaux 4 Christiane Rousseau DossierApplications des mathématiques Jeux de lumière et d’interférence 10 Yvan Saint-Aubin La quête de la Licorne 16 France Caron L’imagerie numérique 18 Jean Meunier DossierLogique et mathématiques Les entiers ... ces fonctions qui s’ignorent 22 Jimmy Dillies DossierApplications des mathématiques Virer sans déraper 26 Jean-Marie De Koninck et Frédéric Gourdeau Rubrique des Paradoxes L’arithmétique malmenée par la géométrie 30 Jean-Paul Delahaye Solution du paradoxe précédent 31 Jean-Paul Delahaye Section problèmes 32 26 10 1. Voir Savez-vous empiler des oranges ? dans le numéro 3, hiver-printemps 2008 d’Accromath. 2 Vol. 9 • été – automne 2014 DossierCristallographie Les formes symétriques, en 2D ou en 3D, ont toujours fasciné et intrigué les hommes. Cette fascination, manifeste dans l’étude des corps réguliers de Platon**, a été utilisée par les artistes, les architectes, ... et les charlatans pour des raisons très différentes. Comment sont constitués les cristaux ? Il a fallu deux siècles pour apporter des réponses satisfaisantes. Les cristaux sont restés longtemps objets de fascination sans qu’on puisse expliquer leur structure. Johannes Kepler est le premier à s’intéresser à la question. En 1611, il publie L’Étrenne ou la neige sexangulaire (Strena, seu de nive sexangula), premier traité scientifique qui étudie les cristaux de neige. Kepler pense que l’on peut décrire leur arrangement hexagonal par un empilement optimal de sphères1. Dans Experimenta crystalli Islandici (1670), le danois Rasmus Bartholin (1625-1698) décrit la découverte de la biréfringence du spath d’Islande obser- vable à l’œil nu. Constance des angles C’est à la fin du XVIIIe siècle que débute l’étude géomé- trique des cristaux. Romé de l’Isle (1736-1790) confie à Arnould Carangeot (1742- 1806) la tâche de mesurer l’angle dièdre (un angle entre deux plans) de différents cristaux. Celui-ci conçoit un goniomètre muni d’une alidade ou réglette mobile qui permet de mesurer précisément les angles dièdres. Ces mesures permettent à Romé de l’Isle d’énoncer la première loi sur la structure des cristaux. Dans son traité de Cristal- lographie, ou description des formes propres à tous les corps du règne minéral, édité en 1772, il énonce la loi de la constance des angles : André Ross Professeur retraité Les angles entre les faces naturelles des cristaux se conservent, pour un corps donné, d’un échantillon à l’autre. Cette loi est cependant insuffisante pour décrire les diverses formes cristallines. Processus de croissance Dans l’histoire des sciences, on rencontre parfois des événements fortuits qui ouvrent de nou- velles voies à la recherche. René-Just Haüy* (1743-1822), en examinant un échantillon de calcite, échappe malencontreusement le cristal qui se brise en plusieurs morceaux. Haüy constate que tous les morceaux conservent la même forme ; il vient de découvrir le phénomène de clivage des cristaux. Pour étudier plus en détail ce phénomène, il procède, dit-on, à la multiplication des cristaux de sa collection à coups de marteau. Cette étude systé- matique lui permet de développer une théorie sur la structure des cristaux qu’il publie sept ans plus tard. Sa conclusion est que la régularité des formes extérieures d’un cristal reflète exactement l’arrangement des éléments qui le constituent. Il appelle « molécules constituantes » les unités de volume de matière qui, empilées forment le cristal, et il démontre la loi de constance des angles observée par Romé de l’Isle. Il en vient à la conclusion que les cristaux naturels sont constitués par l’empilement régulier de plusieurs molécules constituantes qui s’emboîtent parfaitement pour constituer Goniomètre pour mesurer l’angle entre deux plans d’un cristal. * Une astérisque accolée au nom d’un scientifique indique que l’on retrouve une note historique sur ce savant à l’adresse : http://www.lozedion.com/complements-dinfo/calcul-differentiel-sciences-nature/ Lorsque le nom est suivi de deux astrérisques, on retrouve également une vidéo historique sur ce savant à la même adresse. 3 Vol. 9 • été – automne 2014 Cristallographie | André Ross • Professeur retraité un solide homogène. Les molécules consti- tuantes forment des couches parallèles qui sont des couches de crois- sance. Le nombre de parallépipèdes formant chacune des couches est décroissant, les faces d’un cristal sont donc formées de minuscules gradins, et l’empilement successif lui permet d’expliquer un grand nombre de formes naturelles comme l’illustrent les étapes de croissance des deux dodécaèdres à droite. Un élève de Haüy, Gabriel Delafosse a introduit le terme « maille élémentaire » pour désigner la molécule constituante. Réseaux de Bravais À partir des sept types de prismes suscep- tibles de remplir l’espace sans laisser de vide, Auguste Bravais* (1811-1863) a identifié 32 classes de symétrie. Celles-ci sont réparties en 14 types de réseaux regroupés en 7 systèmes cristallins caractérisés par la forme de la maille élémentaire2. Pour étudier et décrire les systèmes cristallins, il est pratique de recourir à leurs axes de référence et à leurs symétries. Les axes de référence sont trois axes imaginaires paral- lèles aux faces du cristal. La direction et la longueur de ces trois axes sont en relation avec trois arêtes concourantes d’une maille élémentaire. Structure atomique La découverte des atomes au début du XXe siècle a permis de comprendre la nature des cristaux. En 1906, Willam Barlow et William Pope émettent l’hypothèse selon laquelle la forme des cristaux est définie par l’arrangement des atomes sphériques qui en sont les consti- tuants élémentaires. Cette hypothèse a été confirmée par les travaux de Max von Laue* (1879-1960). À l’époque, la nature des rayons X était mystérieuse. S’agissait-t-il d’ondes ou de matière ? Pour von Laue, si les rayons X étaient des ondes, ils devraient être diffractés par les cristaux. Ce phénomène se produit également avec la lumière, mais la longueur d’onde des rayons X est de 1000 à 10 000 fois plus courte que celle de la lumière, uploads/Ingenierie_Lourd/ accromath9-2.pdf