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Vibrations des systèmes continus 2FI-CPI/IMIA 2020/21 A ZOUINE 1 L’objectif es

Vibrations des systèmes continus 2FI-CPI/IMIA 2020/21 A ZOUINE 1 L’objectif est de passer d’un système physique 3D décrit par les équations de la M.M.C. à un modèle mathématique unidimensionnel soit : LA THEORIE DES POUTRES Introduction à la théorie des poutres 07/12/2021 2 Hypothèses sur les formes: « Poutre » La longueur de la fibre moyenne > 20x la plus grande dimension des sections droites. Le rayon de courbure de la fibre moyenne > 5x la plus grande dimension des sections droites. Pas de variation brusque de section. 07/12/2021 3 Si la fibre moyenne est rectiligne → poutre droite (G0G1 = droite) Si la fibre moyenne est plane → poutre plane (G0G1 Є plan) Si la fibre moyenne est plane et que la section droite admet ce plan comme plan de symétrie → poutre à plan moyen. Hypothèses sur les formes: « Poutre particulière » 07/12/2021 4 Hypothèses sur le matériau: Homogène: La plus grande dimension transversale doit être >10x la plus grande hétérogénéité Elastique: le matériau doit retrouver entièrement sa forme ou son volume après avoir subi un cycle de charge/décharge quelconque. Isotrope: le matériau doit présenter les mêmes propriétés dans toutes les directions. 07/12/2021 5 Hypothèse des petites perturbations (H.P.P): Les déplacements < 1/100 de la longueur de la ligne moyenne Conséquences: Petits déplacements efforts extérieurs calculés en statique. Petites déformations  domaine d’étude est le domaine élastique. 07/12/2021 6 Hypothèse de Navier Bernoulli: « Toute section droite avant déformation reste droite après déformation » Il n'y a pas de gauchissement des sections droites. 07/12/2021 7 Cadre cinématique de la théorie des poutres: 07/12/2021 8 C.L: Efforts extérieurs Cas des poutres à plan moyen: Les actions concentrées ou réparties, modélisées par des torseurs d’actions mécaniques : 07/12/2021 9 C.L: Liaisons La poutre est liée à l’environnement extérieur par différentes liaisons: 07/12/2021 10 Appui simple: Articulation: Encastrement : C.L: modélisation 07/12/2021 11 Torseur de cohésion 07/12/2021 12 Repère local de la poutre:  Coh   G N Ty Tz M t M fy M fz            N : Effort Normal sur (G,x) Ty : Effort Tranchant sur (G,y) Tz : Effort Tranchant sur (G,z) M t : Moment de Torsion sur (G,x) M fy : Moment de Flexion sur (G,y) M fz : Moment de Flexion sur (G,z) Composantes du torseur de cohésion : 07/12/2021 13 Nature des sollicitations Effort Normal Effort Tranchant Moment de Torsion Moment de Flexion Torseur de cohésion Traction (N>0) Compression (N<0) N Ty=0 Tz=0 Mt=0 Mfy=0 Mfz=0 Cisaillement simple N=0 Ty ou Tz Mt=0 Mfy=0 Mfz=0 Torsion simple N=0 Ty=0 Tz=0 Mt Mfy=0 Mfz=0 Flexion pure N=0 Ty=0 Tz=0 Mt=0 Mfy ou Mfz  Coh   G N 0 0 0 0 0            Coh   G 0 Ty Tz 0 0 0            Coh   G 0 0 0 M t 0 0            Coh   G 0 0 0 0 M fy M fz           Cas des sollicitations simples: 07/12/2021 14 xG S E1  f ² s M  n Notion de vecteur contrainte en un point Contrainte normale : projection de sur la normale extérieure . Contrainte tangentielle : projection de sur le plan de la facette ∆S. 07/12/2021 15 Relation intégrale contraintes locales- torseur de cohésion : 07/12/2021 16 Résultantes : Moment résultant : Relation intégrale contraintes locales- torseur de cohésion : 07/12/2021 17 Allongement relatif Rotation relative Cisaillement relatif Distorsion Loi de comportement: 07/12/2021 18 ES: Rigidité de section en traction GSi: Rigidité de section en cisaillement GIo: Rigidité de section en torsion EIi: Rigidité de section en flexion Cas d’un matériau élastique linéaire isotrope: Loi de comportement: 07/12/2021 19 Equations d’équilibre: Pour une poutre, les contraintes syy, szz, syz sont nulles. En intégrant ces relations d'équilibre sur une section A, l'équilibre des forces et des moments pour une section de la poutre s'écrit: 07/12/2021 20 Sommaire 07/12/2021 21 Généralités Vibrations dans les milieux élastiques 1D A ZOUINE 22 Généralités Vibrations dans les milieux élastiques 1D Pourquoi étudier ces systèmes simples ? • Ils modélisent simplement le comportement de nombreuses structures • Ils permettent de comprendre les structures plus complexes • Ils sont les constituants élémentaires des structures en éléments finis A ZOUINE 23 Généralités Différents types d’équation du mouvement A ZOUINE 24 Vibrations longitudinales Dimensions - Paramètres - Hypothèses A ZOUINE 25 Vibrations longitudinales Equation du mouvement - Equilibre Local A ZOUINE 26 Vibrations longitudinales Equation du mouvement - Equilibre Local A ZOUINE 27 Vibrations longitudinales libres Equation du mouvement = Equation des ondes longitudinales A ZOUINE 28 Vibrations longitudinales Célérité des ondes longitudinales Rappel : vitesse du son dans l’air : 343m/s, dans l’eau : 1480m/s A ZOUINE 29 Vibrations longitudinales libres Solution libres = Solutions de l’équation du mouvement lorsque f (x, t) = 0 A ZOUINE 30 Ondes progressives et stationnaires A ZOUINE 31 Les points rouges marquent les nœuds ; les points d'amplitude maximale sont les ventres L'onde stationnaire est la superposition de deux ondes progressives de sens de propagation opposés Vibrations longitudinales libres Solution libres = Solutions de l’équation du mouvement lorsque f (x, t) = 0 A ZOUINE 32 Vibrations longitudinales libres Solution stationnaire générale en modes libres A ZOUINE 33 Vibrations longitudinales libres Forme générale de la solution stationnaire en modes libres On note A ZOUINE 34 Vibrations longitudinales libres Forme générale de la solution stationnaire en modes libres A ZOUINE 35 Vibrations longitudinales libres Solutions stationnaires particulières - Conditions aux limites A ZOUINE 36 Vibrations longitudinales libres Solutions stationnaires particulières - Conditions aux limites A ZOUINE 37 Vibrations longitudinales libres Modes propres (ou naturels) A ZOUINE 38 Vibrations longitudinales libres Cas de la poutre encastrée-libre A ZOUINE 39 Vibrations longitudinales libres Cas de la poutre encastrée-libre avec nécessairement : A ZOUINE 40 Vibrations longitudinales libres Cas de la poutre encastrée-libre A ZOUINE 41 Vibrations longitudinales libres Cas de la poutre encastrée-libre A ZOUINE 42 Vibrations longitudinales libres Modes longitudinaux de la poutre encastrée-libre A ZOUINE 43 Vibrations longitudinales libres Modes longitudinaux de la poutre encastrée-libre A ZOUINE 44 Vibrations longitudinales libres Cas de la poutre encastrée aux deux bouts A ZOUINE 45 Vibrations longitudinales libres Cas de la poutre libre aux deux bouts A ZOUINE 46 A ZOUINE 47 A ZOUINE 48 Vibrations de torsion dans les arbres Equation du mouvement - Paramètres A ZOUINE 49 Vibrations de torsion dans les arbres Equation du mouvement - Paramètres On écrit l’équilibre dynamique d’une section d’épaisseur dx : A ZOUINE 50 Vibrations de torsion dans les arbres Equation du mouvement - Paramètres A ZOUINE 51 Vibrations de torsion dans les arbres Equation du mouvement - Paramètres A ZOUINE 52 Vibrations de torsion dans les arbres Equation du mouvement - Paramètres A ZOUINE 53 Vibrations de torsion dans les arbres Equation du mouvement - Paramètres Déterminer les fréquences naturelles de la fraise sachant que : l’extrémité libre de la tige de la fraise est fixée, la rigidité à la torsion de la tige est GJ et le moment d'inertie de la fraise est I0. A ZOUINE 54 A ZOUINE 55 Vibrations en flexion Vibrations en flexion A ZOUINE 56 Vibrations en flexion A ZOUINE 57 Vibrations en flexion A ZOUINE 58 Théorie de Timoshenko Vibrations en flexion A ZOUINE 59 A ZOUINE 60 Vibrations en flexion Vibrations en flexion A ZOUINE 61 Vibrations en flexion A ZOUINE 62 Vibrations en flexion A ZOUINE 63 C n’est pas une vitesse ! On note : Vibrations en flexion A ZOUINE 64 Vibrations en flexion A ZOUINE 65 Vibrations en flexion A ZOUINE 66 Vibrations en flexion A ZOUINE 67 Rappel mathématiques: A ZOUINE 68 Rappel mathématiques: A ZOUINE 69 Rappel mathématiques: A ZOUINE 70 Relations importantes : Comparaison de ch et sh: Vibrations en flexion A ZOUINE 71 Vibrations en flexion A ZOUINE 72 Vibrations en flexion A ZOUINE 73 Dépendance temporelle : Dépendance temporelle : Vibrations en flexion A ZOUINE 74 Vibrations en flexion A ZOUINE 75 Vibrations en flexion A ZOUINE 76 Vibrations en flexion A ZOUINE 77 Vibrations en flexion A ZOUINE 78 Cas courant de CL: Vibrations en flexion A ZOUINE 79 Vibrations en flexion A ZOUINE 80 d’ou les valeurs possibles de γ et des modes et pulsations propres : Vibrations en flexion A ZOUINE 81 Vibrations en flexion A ZOUINE 82 Vibrations en flexion A ZOUINE 83 Vibrations en flexion A ZOUINE 84 Vibrations en flexion A ZOUINE 85 • Pas d’expression générale exacte des modes propres • solution numérique Vibrations en flexion A ZOUINE 86 Vibrations en flexion A ZOUINE 87 Vibrations en flexion A ZOUINE 88 Vibrations en flexion A ZOUINE 89 Vibrations en flexion A ZOUINE 90 A ZOUINE 91 Vibrations en flexion A ZOUINE 92 uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-vibration-continue-cpi-imia-21-22.pdf