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HAL Id: tel-01421117 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01421117 Submitted on 21 Dec 2016 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Des conditions de conception d’une ingénierie relative à la définition de la notion de limite Thomas Lecorre To cite this version: Thomas Lecorre. Des conditions de conception d’une ingénierie relative à la définition de la notion de limite : Élaboration d’un cadre basé sur un modèle de rationalité pour l’accès aux objets mathéma- tiques complexes. Education. Université Grenoble Alpes, 2016. Français. <tel-01421117> 1 THÈSE Pour obtenir le grade de DOCTEUR DE LA COMMUNAUTÉ UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES Spécialité : Mathématiques, sciences et technologies de l’in- formation, informatique Arrêté ministériel : 25 mai 2016 Présentée par Thomas LECORRE Thèse dirigée par Sylvain GRAVIER et codirigée par Isabelle BLOCH préparée au sein du Laboratoire Institut Fourier dans l'École Doctorale MSTII Des conditions de conception d’une ingénierie relative à la défini- tion de la notion de limite Elaboration d’un cadre basé sur un modèle de ra- tionalité pour l’accès aux objets mathématiques complexes. Thèse soutenue publiquement le 25 octobre 2016, devant le jury composé de : Mme Isabelle BLOCH Professeure émérite, Université de Bordeaux, Co-directrice M Sylvain GRAVIER Directeur de Recherche CNRS Université Grenoble Alpes, Direc- teur de thèse M Christian MERCAT Professeur des universités Université Claude Bernard, Rapporteur Mme Cécile OUVRIER-BUFFET Professeur des universités, Université de Reims, Rapporteur M Marc ROGALSKI Professeur émérite, Université Paris Diderot, Président de jury M Charles TOROSSIAN Inspecteur Général de l’Education Nationale, Université Paris Di- derot, Membre 2 3 Mots clefs : rationalité, limite, ingénierie, définition, Théorie des situations, débat scientifique Résumé : Cette étude cherche à déterminer des conditions d’accès des élèves de fin de secondaire au sens et à aux nécessités de savoirs complexes. L’étude de ces conditions, au sein de la théorie des situations didactique, conduit à développer un cadre pour l’élaboration d’ingénieries qui les modélise. Ce cadre se fonde sur deux principes interdépendants. Le premier principe vise à maintenir l’adidacticité des situations dans le cas des savoirs complexes de fin de secondaire et début de supérieur, et conduit à une adaptation de la théorie des situations. Le second principe vise à faire de la non contradiction le mode d’appréhension adidactique de l’activité mathéma- tique et va conduire à l’élaboration d’un modèle de rationalités. Le cas de la construction des concepts de l’analyse, et de leur formalisation constitue alors en même temps un support à cette étude et un cas d’application paradigmatique de ce cadre. Ainsi, une ingénierie de la limite comprenant une succession des trois situations didactiques (nombres, quantificateur et limite) est développée et expérimentée. Les résultats tendent à montrer que les élèves commencent à s’approprier le formalisme de la limite et que leur type de questionnement a évolué dans le sens d’une prise en charge beaucoup plus importante du niveau théorique en jeu dans leur activité. Keywords: rationality, limit, didactical design, definition, theory of didactical situations, sci- entific debates Summary: This study aims to establish the conditions that permit to students to achieve the raison d’être of complex knowledge. We deploy the Theory of Didactic Situations and go forward to develop a theoretical frame for the conception of didactical engineering which aims those conditions. This frame is based on two intertwined principles: 1) keep on the adidactic dimension of the situations that involve complex knowledge; 2) students’ activities should avoid contradiction between what they may think and the reality they are attempting to figure out. Those principles shape the design of our theoretical construct of rationalities. This construct is used to design a didactical engineering on the formal definition of limit. The results illustrate the potent of this construct, particularly in showing the evolution of students’ thinking towards the theoretical level. 4 5 Remerciements : Quand j’ai repris mes études en débutant par un Master de Didactique, il y a six ans, je n’imaginais pas que je commençais une aventure aussi intense, riche émotionnellement et intellectuellement, aussi riche de rencontres, d’échanges stimulants, tant sur le plan personnel que sur le plan professionnel…Ce fut, à ce titre, une véritable aventure, mais aussi l’apprentissage d’un nouveau métier. Je tiens d’abord à remercier sincèrement tous ceux qui n’ont pas cru en mon projet, car ils m’ont donné l’obligation d’aller chercher le meilleur de moi-même. Je remercie également tous ceux qui ont cru en mon projet, leur soutien a été une aide précieuse. Je souhaite remercier ceux qui m’ont accompagné dans cette formation : Sylvain Gravier, mon directeur de thèse qui a su me guider avec ses conseils avisés et me désorienter avec ses questions qui ébranlaient parfois mes certitudes. Isabelle Bloch, ma directrice de thèse avec laquelle j’ai beaucoup partagé, qui par son exigence de ri- gueur, m’a amenée à être beaucoup plus exigeant moi-même, et qui a su détendre les moments difficiles de ses traits d’humour fameux. Ses connaissances profondes et étendues ont été des aides précieuses. Je souhaite remercier les membres du jury, d’avoir accepté d’étudier mon travail de près : Cécile Ouvrier-Buffet, rapporteur, qui a su me conseiller pour des améliorations significatives du docu- ment final et au-delà, avec bienveillance et pertinence. Christian Mercat, rapporteur, qui a pointé des aspects importants qui m’aideront pour mes futures pu- blications. Marc Rogalski qui a su manifester son intérêt assez tôt pour mon travail de recherche. Charles Torossian qui, lors d’une discussion au sujet de ma carrière, m’a décidé d’entamer cette thèse. Je souhaite remercier toute la communauté didactique dans son ensemble pour l’accueil qu’elle réserve aux nouveaux venus, y compris en cours de formation. Lors des écoles d’été par exemple, j’ai particu- lièrement apprécié de me sentir immédiatement membre de la communauté. Je remercie Marc Legrand, qui a guidé mes premiers pas dans la didactique il y a quinze ans déjà, avec lequel ces quinze années de collaboration à l’IREM furent passionnantes tant sur le plan humain que celui de la didactique et m’ont donné envie de poursuivre en tant qu’enseignant-chercheur. Je souhaite remercier mes proches qui ont supporté de me voir beaucoup plus à mon bureau qu’à leur côtés… Je souhaite remercier mes parents qui m’ont donné une éducation peu conventionnelle qui ne me pré- disposait pas à l’académisme, mais plutôt à chercher et regarder autrement, ce que je crois être une qualité de nombreux chercheurs que j’ai rencontrés. Je remercie particulièrement mon père, qui m’a donné ces derniers mois des conditions de travail idéales pour achever une thèse, c’est-à-dire la possi- bilité de vivre en ermite sans se soucier du reste. Enfin j’ai une pensée pour tous ceux qui, devenus amis, m’ont accompagné durant ces quelques années, et avec qui les échanges furent intenses et passionnants, et ont rendus ce parcours si plaisant, Imène, Marc, Christian, et d’autres… Merci à tous pour ce chemin en votre compagnie, chemin qui ne fait que commencer… 6 7 Table des matières Introduction et problématique .................................................................................................. 13 PREMIERE PARTIE ............................................................................................................... 25 LA NOTION DE LIMITE : PROBLEMATIQUE DE FORMALISATION ET ETUDES DIDACTIQUES ....................................................................................................................... 25 Chapitre 1 - Définition de la limite : Formalisation et exigence cognitive .............................. 27 I Edification de la définition formelle : enjeux épistémologiques ........................................ 27 I.1 Brève histoire de la limite ............................................................................................ 27 I.2 Formalisme de la notion actuelle de limite .................................................................. 30 I.3 Eléments de conception de définition en mathématiques ............................................ 36 II Difficultés de conceptualisation de la définition de limite ............................................... 41 II.1 Les difficultés liées à la notion de limite .................................................................... 41 II.2 Les difficultés liées à la notion de nombre ................................................................. 46 II.3 Les difficultés liées à l’interprétation de la double quantification ............................. 54 II.4 La perception de la nécessité de définir ..................................................................... 70 III Conclusion ....................................................................................................................... 73 Chapitre 2 – Des ingénieries de la limite : Définition et nécessité de définition ? .................. 77 I Le rôle de la définition formelle dans les ingénieries existantes ........................................ 77 I.1 Des ingénieries didactiques paradigmatiques .............................................................. 77 I.2 Réinterroger les ingénieries à travers obstacle et conflit ............................................. 83 I.3 Un questionnement du rôle de la rationalité dans la TSD ........................................... 89 II Nécessité de la définition formelle : Un retour sur le concept de rationalité .................... 91 II.1 La notion de rationalité dans quelques disciplines scientifiques ................................ 91 II.2 Etudes didactiques existantes sur la rationalité .......................................................... 96 II.3 Modèles de savoir et de constitution du savoir ........................................................ 128 III Conclusions ................................................................................................................... 137 Chapitre 3 – Un modèle des rationalités émanant d’un besoin de la TSD ............................. 141 I Outils de la TSD ............................................................................................................... 141 I.1 Synthèse des principales constructions de la TSD .................................................... 141 I.2 Modèle d'analyse des raisonnements de Bloch et Gibel ............................................ 144 I.3 Première problématisation et étude de H1 uploads/Litterature/ 0-lecorre-2016-these-thomas-indicado-por-rogalski-marc.pdf