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UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À CHICOUTIMI THÈSE PRÉSENTÉE À L'UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À CH

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À CHICOUTIMI THÈSE PRÉSENTÉE À L'UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À CHICOUTIMI COMME EXIGENCE PARTIELLE AU DOCTORAT EN INGÉNIERIE PAR SÉBASTIEN PERRON RÉSOLUTION NUMÉRIQUE D'ÉCOULEMENTS 3 DIMENSIONS AVEC UNE NOUVELLE MÉTHODE DE VOLUMES FINIS POUR MAILLAGES NON STRUCTURÉS 15 Novembre 2001 bibliothèque Paul-Emile-Bouletj UIUQAC Mise en garde/Advice Afin de rendre accessible au plus grand nombre le résultat des travaux de recherche menés par ses étudiants gradués et dans l'esprit des règles qui régissent le dépôt et la diffusion des mémoires et thèses produits dans cette Institution, l'Université du Québec à Chicoutimi (UQAC) est fière de rendre accessible une version complète et gratuite de cette œuvre. Motivated by a desire to make the results of its graduate students' research accessible to all, and in accordance with the rules governing the acceptation and diffusion of dissertations and theses in this Institution, the Université du Québec à Chicoutimi (UQAC) is proud to make a complete version of this work available at no cost to the reader. L'auteur conserve néanmoins la propriété du droit d'auteur qui protège ce mémoire ou cette thèse. Ni le mémoire ou la thèse ni des extraits substantiels de ceux-ci ne peuvent être imprimés ou autrement reproduits sans son autorisation. The author retains ownership of the copyright of this dissertation or thesis. Neither the dissertation or thesis, nor substantial extracts from it, may be printed or otherwise reproduced without the author's permission. Résumé L'objectif de cette thèse de doctorat est de développer un nouveau schéma numérique de résolution des équations 3D de Navier-Stokes. Les écoulements considérés sont incom- pressibles et les propriétés physiques telle la viscosité peuvent être variables. De plus, des quantités scalaires telle l'enthalpie ou une fraction volumique peuvent être transportées par l'écoulement. Ce schéma est basé sur une discrétisation spatiale de type volumes finis clas- sique (une seule inconnue par volume de contrôle) qui permet l'utilisation de maillages non structurés. Les équations du modèle mathématique sont découplées et une méthode de pro- jection de type pas de temps fractionnaire est utilisée pour calculer un champ de vitesse satisfaisant l'équation de conservation de la masse. La pression et la vélocité sont couplées à l'aide d'une ré-interpolation de la vélocité sur les faces des volumes de contrôle, l'utilisation d'un maillage décalé ("staggered grid") n'est donc pas nécessaire. On présente une revue détaillée du modèle mathématique décrivant les écoulements thermiques et le modèle de turbulence k — e de Launder et Spalding. De plus, on fait un rappel de quelques algorithmes de résolution numérique des systèmes d'équations linéaires et des concepts fondamentaux qui leur sont associés. On discute d'une librairie d'objets et de programmes utilitaires qui ont été développés pour encourager l'utilisation et le développement du schéma par d'autres chercheurs. Des résultats numériques obtenus avec le schéma sont présentés : écoulement entre deux plans parallèles, écoulement engendré par le déplacement d'une paroi, écoulement de Boussinesq dans une cavité carrée, écoulement turbulent au-dessus d'une marche, écoule- ments autour d'un disque et d'un cylindre et écoulement thermique dans une conduite cylin- drique. Remerciements Je tiens à remercier M. Sylvain Boivin, mon directeur, pour m'avoir si bien dirigé. De plus, sa patience et son aide lors de mes démarches pour l'obtention d'un emploi ont été grandement appréciées. Je remercie également M. Guy Simard du G.R.I.P.S pour ses précieux conseils et de m'avoir donné la chance d'établir mes premiers contacts avec l'industrie. Je tiens aussi à souligner l'aide que m'a apporté M. Jean-Marc Hérard d'Électricité de France dans mon travail de recherche. Finalement, je remercie M. Vinko Potocnik du CRDA pour m'avoir fait confiance et ainsi permis d'acquérir de l'expérience avec l'industrie privée. Table des matières Remerciements i Résumé ii Nomenclature ix Introduction 1 1 Modèle mathématique, écoulement laminaire 11 1.1 Notions fondamentales 11 1.2 Conservation de la masse 14 1.3 Conservation de la quantité de mouvement 16 1.4 Équation de conservation de l'énergie 22 1.5 Modèle complet 25 1.6 Nombres sans dimension 26 2 Modèle mathématique, écoulement turbulent 31 2.1 Modélisation de la turbulence 32 3 Définitions et résultats essentiels sur les méthodes de volumes finis classiques 41 3.1 Discrétisation temporelle 44 3.2 Discrétisation spatiale 45 3.3 Résolution de l'équation de conservation de la masse, méthodes de projection 56 IV 4 Une nouvelle méthode de volumes finis pour des maillages non structurés 62 4.1 Discrétisation temporelle 63 4.2 Discrétisation spatiale 64 4.3 Approximation discrète sur les interfaces 68 4.4 Calcul des flux d'interface 69 4.5 Opérateur d'approximation du gradient Grad((j)) 70 4.6 Équations discrètes, opérateur de convection-diffusion CD (• ••) 72 4.7 Projection 73 4.8 Discrétisation des lois de paroi pour les écoulements turbulents 76 4.9 Algorithme de résolution 80 4.10 Remarques et résultats théoriques 80 5 Résolution numérique des systèmes d'équations linéaires 83 5.1 Caractérisation de la matrice des coefficients et détermination des valeurs propres 84 5.2 Méthodes directes de résolution des équations linéaires 87 5.3 Méthodes itératives de résolution numérique des systèmes d'équations linéaires 92 5.4 Conditionnement 97 5.5 Résultats comparatifs et choix de l'algorithme de résolution 102 6 Mise-en-oeuvre 105 6.1 Langage de programmation et programmation orientée objet 105 6.2 Description des objets et de la librairie 106 6.3 Programmes pour le pré et le post-traitement 116 6.4 Installation et disponibilité 117 7 Résultats numériques 118 7.1 Écoulement entre deux plans parallèles 119 7.2 Écoulement engendré par le déplacement d'une paroi 122 7.3 Convection naturelle dans une cavité carrée 127 7.4 Écoulement turbulent au-dessus d'une marche 131 7.5 Écoulement autour d'un cylindre 136 7.6 Écoulement thermique 3D dans un cylindre 146 8 Extension de la méthode aux écoulements avec densité variable 153 8.1 Discrétisation temporelle 154 8.2 Calcul de la densité d'interface 155 8.3 Projection 155 8.4 Choix de l'algorithme de résolution des équations linéaires 157 8.5 Respect du principe du maximum 158 Conclusion 159 Table des figures 3.1 Volume de contrôle pour un maillage Voronoï 48 3.2 Extrapolation du gradient de pression 58 3.3 Illustration du problème de l'échiquier pour la vitesse 59 3.4 Maillage décalé structuré 60 3.5 Élément d'un maillage non structuré "décalé" 60 4.1 Position des I.D.O.s 64 4.2 Configurations des I.D.O.s 65 4.3 Illustration du passage des éléments géométriques aux volumes de contrôle . 67 4.4 Problème d'interpolation à l'interface 68 4.5 Algorithme de calcul de la vitesse de frottement 78 4.6 Volume de contrôle chevauchant deux milieux hétérogènes 82 5.1 Algorithme de Gauss 87 5.2 Factorisation LU, décomposition de Crout 89 5.3 Factorisation de Choleski 91 5.4 Algorithme du Gradient conjugué 94 5.5 Algorithme Orthomin2 95 5.6 Algorithme d'Arnoldi 96 5.7 Algorithme GMRES 97 6.1 Format AMDBA d'un maillage 114 6.2 Diagramme de relation entre les classes 115 7.1 Géométrie, écoulement entre deux plans parallèles 118 Vil 7.2 Convergence, écoulement entre deux plans parallèles 119 7.3 Vitesse horizontale v, écoulement entre deux plans parallèles 121 7.4 Pression, écoulement entre deux plans parallèles 122 7.5 Coupes, écoulement engendré par le déplacement d'une paroi 124 7.6 Vélocité, écoulement engendré par le déplacement d'une paroi 125 7.7 Pression, écoulement engendré par le déplacement d'une paroi 126 7.8 Convergence, écoulement engendré par le déplacement d'une paroi 126 7.9 Convergence, convection naturelle dans une cavité carrée 129 7.10 Vélocité, convection naturelle dans une cavité carrée 130 7.11 Pression, convection naturelle dans une cavité carrée 130 7.12 Température, convection naturelle dans une cavité carrée 131 7.13 Géométrie, écoulement turbulent au-dessus d'une marche 131 7.14 Profils de vitesse, écoulement au-dessus d'une marche 134 7.15 Convergence, écoulement au-dessus d'une marche 135 7.16 Géométrie, écoulement 2D autour d'un cylindre 136 7.17 Coupes du maillage, écoulement 2D permanent autour d'un cylindre 138 7.18 Convergence, écoulement permanent 2D autour d'un cylindre 140 7.19 Géométrie, écoulement 3D autour d'un cylindre 142 7.20 Convergence, écoulement 3D permanent autour d'un cylindre 145 7.21 Vitesse transversale, écoulement thermique 3D dans un cylindre 149 7.22 Profil de vitesse à la sortie, écoulement thermique 3D dans un cylindre . . . . 149 7.23 Profil de température, écoulement thermique 3D dans un cylindre 150 7.24 Gradient de pression, écoulement thermique 3D dans un cylindre 151 7.25 Convergence, écoulement thermique 3D dans un cylindre 152 Liste des tableaux 3.1 Schémas convectifs 53 5.1 Temps de résolution pour différents algorithmes de résolution, problème de l'écoulement 3D thermique dans une conduite 103 7.1 Résultats comparatifs, écoulement engendré par le déplacement d'une paroi . 124 7.2 Résultats comparatifs, convection naturelle dans une cavité carrée 128 7.3 Coefficients, écoulement 2D permanent autour d'un cylindre 140 7.4 Coefficients, écoulement 2D périodique autour d'un cylindre 142 7.5 Coefficients et statistiques, écoulement 3D permanent autour d'un cylindre . . 146 Nomenclature dS dV D cp cv e £K c-ext £int F F I h hc hr k m(..-) M n P P Caractères usuels : Élément de surface : Élément de volume : Longueur de référence : Chaleur massique à pression constante : Chaleur massique à volume constant • Énergie interne par unité de masse Ensemble des interfaces du volume K : Ensemble des interfaces sur le bord du domaine Ensemble des interfaces à l'intérieur du domaine Vecteur des flux par unité de surface Flux total Vecteur des uploads/Litterature/ 12770629.pdf