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1 A. APPLICATIONS DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE A. I. Étude des systèmes

1 A. APPLICATIONS DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE A. I. Étude des systèmes fermés A.I.1. Principes et définitions A.I. 1.1. • Premier principe : Pour un système macroscopiquement au repos , il existe une fonction d’état extensive U appelée énergie interne relative au système (S) telle que lors d’une transformation de ce système , sa variation est égale à la somme du travail W et du transfert thermique Q échangés avec l’extérieur Δ( U) = W + Q U = EC( microscopique d’agitation ) + Ep( potentielle microscopique ) Pour un système en mouvement par rapport à un référentiel, on peut utiliser la notion d’énergie totale : Δ E = Δ ( U + Ec (macroscopique) + Epext ) = Wautre + Q Epext = énergie potentielle d’interaction entre le système et l’extérieur ; Wautre travail des forces extérieures ne dérivant pas d’une énergie potentielle , travail électrique , transfert de rayonnement A.I. 1.2. Deuxième principe de la thermodynamique A tout système thermodynamique est associé une fonction d’état notée S , appelée entropie : - l’entropie d’un système isolé croît jusqu’à l’établissement d’un état d’équilibre .Elle est alors maximale - l’entropie est une grandeur extensive Dans une transformation quelconque d’un système (S) couplé à une source de chaleur idéale de température Te et une source de travail idéale , la variation d’entropie se met sous la forme ΔS = Séchange + Scrée avec Séchange = 2 e 1 q T δ ∫ . L’intégrale est calculée le long du chemin réellement suivi par le système au cours de l’évolution Scrée représente la création d’entropie due au caractère irréversible de l’évolution : Scr Remarques ; ée> 0 si transformation irréversible ; Scrée = 0 si transformation réversible • Source de chaleur idéale La variation d’entropie d’une source idéale de chaleur lors d’une transformation infinitésimale est donnée par dS = Q δ e/Te car on admet que les transferts d’énergie interne sont réversibles . Un thermostat de très grande capacité calorifique et dont la température reste constante peut être considérée comme une source idéale : sa variation d’entropie est alors donnée par : ΔS= Qe/Te , Qe est l’énergie thermique reçue par le thermostat. • Source de travail idéal L’entropie d’une source de travail idéal reste constante au cours d’une transformation . Il n’y a aucune dissipation d’énergie par frottement à l’intérieur du système .Son évolution est totalement irréversible . Cette démarche permet de ne tenir compte que des causes d’irréversibilité internes au système (S) en éliminant les causes d’irréversibilité externes . • Dans le cas d'un chemin irréversible pour calculer Séchange , il faut modéliser l’échange ou alors connaître comment se fait le transfert , par convection , conduction ( loi de Fourier ..) 2 A.I.1.3. Un gaz est dit parfait si les actions mécaniques exercées sur les molécules sont assimilables à des chocs , interactions infiniment brèves qui ne s’exercent qu’à l’occasion de leur contact . • Hypothèses du modèle −molécules assimilables à des points matériels −vitesse d’agitation des molécules isotrope dans toutes les directions −gaz en équilibre thermodynamique interne : les grandeurs statistiques ont la même valeur dans tout le gaz . − la vitesse des molécules n’est pas modifiée par la présence des parois −pression du gaz parfait monoatomique p= nm u²/3 u² vitesse quadratique moyenne . pV= 1/3 n* M u² avec n*= n NA/V n quantité de matière dans le volume V or ½ mu² = 3/2 kBT d’après les statistiques soit P.V = n NA kBT = n.R.T Pour un gaz parfait monaoatomique dU = 3/2 nR dT Plus généralement pour un gaz parfait son énergie interne U et son enthalpie H ne dépendent que de la température : la dépendance de CV et Cp en fonction de la température ne pouvant pas être déterminée par les principes de la thermodynamique : dU = CV(T).dT et dH= Cp(T).dT Si CV et Cp peuvent être considérés comme constantes, U - U0 = CV(T – T0) ; H–H0 = Cp(T-T0) ; Cp – CV = R ; Cp/ CV = γ dU = cV dT = T dS – pdV T dS = PdV + CVdT TdS = - Vdp +Cp dT • S(T,V) = S(T0V0) + CV ln (T/T0) +R ln (V/V0) ; • S(T,P) – S(T0,P0) = Cpln(T/T0) – R ln (P/P0)) A.I.2. Application : transformation isotherme d'un gaz parfait A.I.2.1.1 Dans l’état final il y équilibre mécanique : le piston est au repos : P1.S= P0S +M.g P1 = P0+Mg/S A.I.2.1.2. Première loi de Joule U(T) isotherme ⇒ ΔU = 0 ; W = - = - RT ∫PdV 0∫V dV = - RT0 ln (Vfinal/Vinitial) = RT0 ln (P1/P0) ΔU = W + Q = 0 ⇒ Q = - W Q = RT0 ln (P0/P1) A.I.2.1.3. ΔS = − R ln (P1/P0) entropie échangée : Se = Q/T0 = - R ln (P1/P0) donc Scréée = Si = ΔS - Se = 0 conforme au caractère réversible de la transformation. A.I.2.2 Transformation brutale irréversible A.I.2.2.1. On a toujours à l’équilibre final ΔΤ = 0 ⇒ ΔU = 0 (ne dépend pas du chemin) Selon l’hypothèse la force extérieure appliquée est F = P1.S = Pext.S W = − = − P ∫ dV Pext 1(Vfinal – Vinitial) = -RT0 +P1(P0Vinitial)/P0 = -RT0+P1RT0/P0 W= RT0( 1 0 P P -1) Q = ΔU –W = − W Q = − RT0( 1 0 P P -1) 3 A1.2.2.2 On a toujours ΔS = − R ln (P1/P0) car fonction d’état Se = Q/T0 = − R( 1 0 P P -1) D’où Scréée = ΔS - Se = R( 1 0 P P -1) – R ln ( 1 0 P P ) = R( 1 0 P P −1 – ln 1 0 P P )) ∀ x = 1 0 P P > 1 Scréée = R = (x-1) – ln x >0 car x-1 >ln x ⇒ Sréée >0 conforme au 2nd principe A.I.3. Application : étude théorique d'une machine thermique A.I.3.1 Q W système Source de travail Source de chaleur T0 Soit W , Q les grandeurs énergétiques reçues par le système fluide pendant un cycle. Alors au cours d’un cycle Δ U = W+Q = 0 Δ S=0 = Se + Scréée Se = Q/T0 ⇒ Q 0, car S ≤ créée 0 donc cela entraîne : W ≥ >0 Le système ne peut que recevoir du travail. Impossibilité du moteur monotherme. A.I.3.2. QF QC W système Source chaude TC Source froide TF Source de travail A.I.3.2.1. Au cours d’un cycle , la machine thermique est telle que : ΔU= 0 et ΔS =0 Or ΔU = W+ QF +QC = 0 ΔS = 0= QC/TC + QF/TF + Scréée ; ⇔ QC/TC + QF/TF 0 ( Inégalité de Clausius ) ≤ 4 A.I.3.2.2. Dans le cas du moteur ditherme : W 0 ⇒ Q ≤ F + QC > 0 ; − QF – TF/TC QC > 0; QC(1-TF/TC) > 0 ⇒ QC > 0 et QF < 0 La source chaude transfère un flux thermique vers le moteur alors que le moteur transfère un flux thermique vers la source froide . A.I.3.2.3. Rendement ou efficacité du moteur : η = |W| /QC = (QF+QC)/QC = 1 + QF/QC D’après l’inégalité de Clausius, QF/QC < − TF/TC η η ≤ max = 1- TF/TC A.I.4. Application : étude d'un climatiseur fonctionnant entre deux sources non idéales La température de l’une des sources varie I.4.1. L’air contenu dans le salon a une capacité thermique C ; sa variation d’énergie interne est ΔU = C(T1-T0) Elle a reçu un transfert thermique − QF de la part du climatiseur : ΔU = − QF : QF= C(T0-T1) A.I.4.2. L’air extérieur est une source de capacité infinie .C’est une source idéale . Considérons le système { air + climatiseur + salon } ΔS = 0 = ΔSair = ΔSclimatiseur + ΔSsalon : le climatiseur évolue de façon réversible ΔSair =−QC/ T0 . ΔSclimatiseur = 0 ; ΔSsalon = C . ln ( T1/T0) car dS= CdT/T ( transformation isochore) soit QC = T0C ln (T1/T0) On peut considérer le climatiseur seulement ΔSclimatiseur = 0= ΔSeC + ΔSeF car , le climatiseur fonctionne de façon réversible ΔSeC = QC/T0 ΔSeF = − C dT/T = −C ln(T 1 0 T T ∫ 1/T0) d’où QC = T0C ln (T1/T0) A.I.4.3. Δ U = 0 au cours des différents cycles donc : W = – (QF+QC) = CT0 (y−1 – ln y) avec y = T1/T0 donc W > 0 A.I.4.4. AN : P = W/Δt = 122 W raisonnable (0,5 A en 220 V). Trouver une dizaine de kilowatts ne l’est pas. A.II. Étude des systèmes ouverts en régime permanent A.II. 1. Principes et définitions A.II.1.1. La masse M(t) du fluide contenu dans (V) est indépendante du temps car le régime est permanent M(t) = M(t+dt) La masse du système fermé Σ∗ est invariante. mΣ∗(t) = mΣ∗(t+dt), soit M(t)+dme = M(t+dt)+dmS ⇒ uploads/Litterature/ a-applications-des-principes-de-la-thermodynamique-a-i-etude-des-systemes-fermes.pdf