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Digitized by the Internet Archive in 2011 with funding from University of Toronto iittpV/www.archive.org/detaiis/iestapesdeiaphOObrun LES ÉTAPES L4 PHILOSOPHIE MATHÉMATIOUE A LA MÊME LIBRAIRIE DU MÊME AUTEUR BIBLIOTHÈQUE DE PHILOSOPHIE CONTEMPORAINE La Modalité du Jugement; 1 vol. in-S" ^^ fr. Spinoza; 2' édition. 1 vol. in-8" 3 fr. 1 Introduction à la Vie de l'Esprit; 2« édit. 1 vol. in-16 2 fr. 5 L'Idéalisme contemporain; 1 vol. in-16 2 fr. 5 ir/9-ll. - Coulommiers. Imp. Paul BRODARD. - 6-12. LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIOUE PAR LEON BRUNSCHVICG Docteur es lettres. Professeur de philosophie au lycée Ilenri-IV. PARIS LIBRAIRIE FÉLIX ALCAN i08, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, 108 1912 Tous droits de traduction et de reproduction réservés. AVANT-PROPOS Les difficultés que la philosophie rencontre aujourd'hui sont liées, pour une bonne part, au problème de la vérité. Elles s'expliquent sans doute par ce fait que les idées long- temps professées sur les méthodes et sur les résultats de la science sont devenues hors d'usage à mesure que le contact s est fait plus étroit entre savants et philosophes. La rupture ili' l'équilibre traditionnel a pris la gravité d'une crise, du jour où elle s'est manifestée dans les mathématiques dont l'huma- nité avait tiré le type de la certitude inébranlable. Il y a vingt-cinq ans, lorsque Jules Tannery publiait la magistrale Introduction à la théorie des fonctions d'une varia- '/ih, il semblait que, pour rendre compte des mathématiques modernes, il suffisait de faire appel à la notion claire et dis- tincte du nombre entier. Dans les premières années du xx" siècle, une révolution s'annonce par l'entrée en scène de la logique symbolique. Le concept aristotélicien de classe (ou de fonction propositionnelle) devient la clé de voûte d'un édifice dont les vastes proportions contrastaient avec les bornes de l'arithmétisme, et qui en même temps paraissait jamprunter sa solidité aux éléments du discours pris en général. Mais, sous la pression de la contradiction qu'il y .avait à réaliser l'univers du discours, classe de la totalité des ^classes, l'édifice s'est écroulé. La logistique, subsistant sans ;nul doute à titre de technique formelle, s'avoue impuissante à justifier la mathématique en tant que maîtresse de vérité. VI AVAXT-PROPOS Dès lors, par une réaction inévitable, la philosophie mathé- matique s'est fiée et abandonnée à l'intuition, sans réussir pourtant à se frayer une voie certaine à travers la richesse et la diversité des formes de l'intuition, depuis cette forme réaliste qui, à la base de toute théorie comme à tout moment de la démonstration, exigerait une image, un donné, jusqu'à cette forme mystique, qui dispenserait, non seulement de la représentation sensible, mais encore de la preuve ration- nelle. D'aussi étranges vicissitudes ont déconcerté plus d'un esprit cultivé ; elles ont stérilisé, au point de les transformer en leçons de scepticisme, les enseignement substantiels, et profonds dont des savants hors de pair avaient pris l'initia- tive. Et si la mathématique n'a pas su conserver le sentiment de la vérité qui lui appartient, tout au moins si elle ne peut plus en produire au dehors les caractères essentiels, il est fort à craindre que les philosophes de profession n'aient plus rien à dire; ou, ce qui reviendrait au même, ils pourront tout dire, avec une chance égale de se mouvoir dans le spé- cieux et dans le probable, mais sans espoir de rencontrer la raison capable de fixer et d'imposer une solution déterminée. Dans cet état de choses, une seule ressource nous a paru demeurer : ce serait, au lieu de s'engager dans le tourbillon formé par tant de courants contraires, de considérer ce tour-_ billon pour lui-même, de rechercher les conditions de sa|| formation et de son développement. La base de la critique philosophique serait alors dans l'histoire de la pensée mathé- matique. Nos travaux antérieurs sur Spinoza et sur Pascal nous avaient déjà conduit à nous préoccuper de cet aspect de l'his- toire : les positions que l'un et l'autre penseur ont prises à l'égard de la géométrie cartésienne, nous avaient paru com mander en partie leurs conceptions respectives de la raison humaine et de l'exégèse même. Il fallait maintenant étendre le champ de ces études : si on prétend tirer de l'histoire des leçons utiles, il importe que l'on ne commence pas pai choisir celles que l'on voudrait recevoir. Pour avoir quelquç chance de voir clair dans le problème de la vérité, tel dii AVANT-PROPOS VIT moins qu'il se présente sur ce terrain privilégié de la mathématique, il était désirable que l'on put se rendre le témoignag'e de n'avoir de parti pris négligé aucun ordre de faits. Ainsi l'enquête sur la philosophie mathématique devait se prolonger à travers le cours entier de la civilisation, sans que l'on supposât au point de départ une définition d'une telle philosophie, sans que l'on préjugeât la forme normale qu'elle était destinée à recevoir. Concurremment avec les penseurs qui se sont élevés à une conception systématique de la mathématique, de son rôle dans l'ensemble du savoir humain, il convenait d'interroger les savants à qui sont dues les méthodes de découverte ou d'exposition, de faire état des procédés rudimentaires que les peuples non civilisés emploient pour les opérations les plus simples du calcul. Quelle qu'en doive être la conclusion, une telle étude a un intérêt intrinsèque. Il vaut la peine de suivre, chez ceux qui ont associé le génie du philosophe au génie du savant, l'effort tant de fois interrompu, tant de fois renoué, pour parvenir à la pleine conscience de la vérité mathématique, de faire voir sur quelles conquêtes du savoir positif se fon- daient les doctrines qui se sont disputé l'empire des esprits, comment chacune d'elles est venue à son rang, à son heure, de contribuer ainsi à mettre plus d'ordre et plus de lumière dans notre connaissance de l'humanité. Hâtons-nous d'ajou- ter que, depuis les publications de M. Moritz Cantor et de M. Zeuthen, l'histoire des mathématiques est une matière qui s'offre déjà élaborée à la réflexion du philosophe; et, pour rappeler de combien de points d'appui disposait une entre- prise comme la nôtre, il suffirait de mentionner quelques- uns de ceux qui, dans ces trente dernières années, ont refait l'accord de la science positive et de la spéculation philoso- phique : Paul du Bois-Reymond, Georg Cantor, Félix Klein, Hilbert, Henri Poincaré, Paul et Jules Tannery, Milhaud. Lechalas, Mansion, Couturat, Borel, Maximilien Winter, Pierre Boutroux. En outre, au cours de notre travail, nous avons pu recueillir le bénéfice d'études originales qui venaient éclairer certaines parties difficiles de notre recherche. Ainsi, M. Lévy-Bruhl, qui nous avait fait connaître le livre de VIII AVANT-PROPOS M. Conant relatif aux modes primitifs de numération, appor- tait, au chapitre v de son ouvrage : Les Fonctions mentales dans les sociétés inférieures, des documents d'un intérêt excep- tionnel sur les rudiments du calcul. Dans l'Étude historique et critique de M. Robin : La théorie platonicienne des Idées et des Nombres d'après Aristote, nous trouvions une analyse exhaustive des témoignages d'origine aristotélicienne par lesquels on peut avoir accès à l'enseignement de l'Ancienne Académie. Enfin nous ne saurions dire de combien d'amé- liorations importantes dans notre exposé nous sommes rede- vables aux conseils, les plus précieux que nous a3'^ons pu souhaiter, de deux savants dont les noms ont été cités plus haut : MM. Maximilien Winter et Pierre Boutroux'. Nous voudrions indiquer maintenant comment notre enquête historique nous a guidé vers les conclusions que nous avons soutenues dans les dernières pages de notre travail. Chaque fois qu'une des grandes disciplines de la mathé- matique, l'arithmétique, la géométrie, l'analyse infinitési- male, a pris définitivement conscience de soi, nous avons vu se constituer un système qui appuyait sur cette discipline une conception universelle des choses : le pythagorisme, le spinozisme, le leibnizianisme. Pour des causes que le recul du temps permet aujourd'hui de discerner, aucun n'est par- venu à fixer l'équilibre mobile de la pensée. A plus forte raison, les tentatives de l'arithmétisme ou de la logistique pour rattacher la mathématique à une forme qui exprimerait une nécessité permanente, une vérité éternelle, étaient-elles destinées à échouer. L'histoire rend compte du détour de pensée qui a ramené les philosophes vers l'ontologie de Pythagore ou d'Aristote ; mais elle explique aussi, en nous faisant assister à l'évolution des doctrines qui ont eu leur point de départ dans l'interprétation arithmétiste ou logis- i. Nous tenons à cœur d'associer, dans l'expression de notre gratitude, M. Jean Wahl, agrégé de philosophie, et M. Paul Wahl, ingénieur des ponts et chaussées, qui ont bien voulu nous seconder, de tout leur dévoùment clairvoyant, dans la correction des épreuves. AVANT-IMIOPOS rx tique des ni;illiéniati(|ue.s, pourquoi elles étaient in» aiJiihles (le répondi'c à l'intention dogmatique de leurs fondateurs. D'autre part, le dévelo|)pement de la science au xix' siècle ne permet pas ([ue, pour en justifier plus aisément les prin- cipes, on subordonne la mathématique aux études mécani- ques et ph3'siques dont elle deviendrait un simple instru- ment. La position d'un Kant ou d'un Auguste Comte reflète sans doute les caractères de la période qui, ouverte avec les successeurs de Newton, s'étend jusqu'à Lagrange et uploads/Litterature/ brunschwicg-les-e-tapes.pdf