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UNIVERSITE MOHAMED V – AGDAL Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et So

UNIVERSITE MOHAMED V – AGDAL Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales Filière des Sciences Economiques et Gestion Semestre : IV Sections : A, B, C et D Module : Méthodes Quantitatives III Matière : ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATIONS Session : printemps été 2013 Responsable de la matière : Adil ELMARHOUM Plus de Cours à Télécharger Gratuitement sur : www.coursdefsjes.com Echantillonnage et estimations Adil ELMARHOUM 2 RAPPELS STATISTIQUES Echantillonnage et estimations Adil ELMARHOUM 3 NOTION DE VARIABLES ALEATOIRES I. DEFINITION Une variable aléatoire X est une variable associée à une expérience ou à un groupe d'expériences aléatoires et servant à caractériser le résultat de cette expérience ou de ce groupe d'expériences. On distingue les variables aléatoires discontinues ou discrètes et les variables aléatoires continues. II. VARIABLE ALEATOIRE DISCONTINUE 2.1. Définition Une variable aléatoire est discrète si elle varie de façon discontinue, la variable ne peut prendre que des valeurs entières. Exemple :  Soit X la variable aléatoire qui caractérise le résultat de l'expérience aléatoire "jet d'un dé homogène". X est une variable aléatoire discrète, elle peut prendre les valeurs entières 1, 2, 3, 4, 5, et 6.  Soit X la variable aléatoire qui caractérise le nombre de garçons dans une famille de quatre enfants. X est une variable aléatoire discrète, elle peut prendre les valeurs entières 0, 1, 2, 3, et 4. 2.2. Distribution de probabilité À chacune des valeurs x que peut prendre une variable aléatoire X, correspond une probabilité p(x), c'est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x : p(x) = p(X = x) L’ensemble des valeurs admissibles x et des probabilités correspondantes p(x) constitue une distribution de probabilité discontinue. La relation entre x et p(x) est appelée loi de probabilité. Pour toutes les distributions de probabilités dont les valeurs x correspondent à des événements complémentaires, le total des probabilités est égal à 1. 1 ) (   x p Echantillonnage et estimations Adil ELMARHOUM 4 La distribution cumulée des probabilités est appelée fonction de répartition : F (x) = p (X  x) =  x x p ) ( 0  F(x)  1 Exemple : Soit X la variable aléatoire qui caractérise le résultat de l'expérience aléatoire "jet d'un dé homogène". X est une variable aléatoire discrète, elle peut prendre les valeurs entières 1, 2, 3, 4, 5, et 6 avec la probabilité constante 1/6. Distribution de probabilité de X x p(x) F(x) 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 Total 1 III. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE Une variable aléatoire est continue si elle prend n'importe quelle valeur réelle appartenant à un intervalle donné. Exemple : Le poids est une variable aléatoire continue. La taille est une variable aléatoire continue. Un intervalle continu contient une infinité de valeurs. La probabilité d'obtenir exactement un résultat donné est généralement nulle, bien que ce résultat ne soit pas strictement impossible. 0 ) (  x X p La notion de distribution de probabilité n'a donc plus de sens dans le cas continu. Par contre la fonction de répartition conserve toute sa signification. Echantillonnage et estimations Adil ELMARHOUM 5 Pour une variable aléatoire continue, on calcule la probabilité d'observer une valeur comprise dans un intervalle donné [x ; x+x]. p(x  X  x+x) = p(X  x+x) - p(X  x) = F(x+x) - F(x) Cette probabilité tend vers p(x) quand x tend vers 0. ) ( ) ( ) ( lim lim 0 0 x F x x F x x X x p x x             ) ( ) ( ' ) ( ) ( lim lim 0 0 x f x F dx dF x F x x F x x F x x               La fonction f(x), dérivée de la fonction de répartition F(x), est appelée fonction de densité de probabilité. L'ensemble des valeurs admissibles pour une variable aléatoire continue et la fonction de densité de probabilité correspondante définissent une distribution de probabilité théorique continue. Le produit f(x)dx est appelé élément de probabilité, c'est l'équivalent de la probabilité p(x) pour une variable aléatoire discontinue. Pour une variable aléatoire continue, le cumul de la fonction de densité de probabilité est égal à 1 : 1 ) (      dx x f F(x) =    x dx x f ) ( P(a  X  b) = F(b) - F(a) =  b a dx x f ) ( Exemple : Soit une variable aléatoire continue X définie par la fonction de densité de probabilité :       sinon 0 1 x 0 si ) ( k x f Echantillonnage et estimations Adil ELMARHOUM 6 Pour déterminer la constante k, il faut : 1 ) (      dx x f 1 1 1 ] 1 0 1 0       k x k dx k       sinon 0 1 x 0 si 1 ) (x f On en déduit par intégration la fonction de répartition F(x) : Si x < 0 : F(x) = 0 0 ) ( 0         dx dx x f x Si 0  x  1 : F(x) = x dx dx dx x f x x             0 0 1 0 ) ( Si x > 1 : F(x) = 1 0 1 0 ) ( 1 1 0 0                x x dx dx dx dx x f           1 x si 1 1 x 0 si x 0 x si 0 ) (x F Echantillonnage et estimations Adil ELMARHOUM 7 CARACTERISTIQUES D'UNE VARIABLE ALEATOIRE I. ESPERANCE MATHEMATIQUE 1.1. Définition On appelle espérance mathématique la valeur moyenne de la variable, elle remplace la moyenne arithmétique dans le cas d'une variable statistique. Cas discret :    ) ( ) ( x p x X E Cas continu :       dx x f x X E ) ( ) ( Exemple :  Soit X la variable aléatoire qui caractérise le nombre de garçons dans une famille de quatre enfants. Distribution de probabilité de X x p(x) F(x) 0 1 2 3 4 0,0625 0,2500 0,3750 0,2500 0,0625 0,0625 0,3125 0,6875 0,9375 1 Total 1 0625 , 0 4 25 , 0 3 375 , 0 2 25 , 0 1 0625 , 0 0 ) ( ) (             x p x X E 2 ) (  X E Dans une famille de quatre enfants on doit s'attendre à avoir deux garçons. Exemple : Soit une variable aléatoire continue X définie par la fonction de densité de probabilité :       sinon 0 1 x 0 si 1 ) (x f 2 1 ) ( ] 2 ² 1 0 1 0     x dx x X E Echantillonnage et estimations Adil ELMARHOUM 8 1.2. Propriétés  L'espérance d'une fonction d'une variable X est : Cas discret :    ) ( ) ( )) ( ( x p x g X g E Cas continu :       dx x f x g X g E ) ( ) ( )) ( ( Exemple : Cas discret :    ) ( ² ²) ( x p x X E Cas continu :       dx x f x X E ) ( ² ²) (  L'espérance d'une constante est la constante : E(a) = a  L'espérance d'une transformation linéaire est la transformation linéaire de l'espérance : b X aE b ax E x p b x xp a b ax E x bp x axp x p b ax b ax E                  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  L'espérance d'une somme est la somme des espérances : E(X + Y) = E(X) + E(Y)  L'espérance d'une différence est la différence des espérances : E(X - Y) = E(X) - E(Y)  L'espérance d'un produit est le produit des espérances si les variables sont indépendantes : E(X  Y) = E(X)  E(Y) II. VARIANCE ET ECART-TYPE 2.1. Définition Comme pour la moyenne, la variance d'une variable aléatoire conserve la même définition que la variance d'une variable statistique. C'est l'espérance mathématique des carrés des uploads/Litterature/ cours-echantillonnage-et-estimation-s3 2 .pdf