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C Ch ha ap pi it tr re e 1 18 8 P Pr ro ob ba ab bi il li it té és s 1 19 93 3

C Ch ha ap pi it tr re e 1 18 8 P Pr ro ob ba ab bi il li it té és s 1 19 93 3 Probabilités CHAPIT RE 18  Faire savoir L’essentiel du chapitre I. Dénombrement (Rappel) 1. Produit cartésien d’ensembles finis Définition E et F sont deux ensembles finis et non vides. Le produit cartésien de E par F, noté E  F, est l’ensemble des couples (x ; y) formés d’un élément x de E suivi d’un élément y de F. Théorème Si E et F sont des ensembles finis tels que CardE = n et CardF = p, alors E  F est un ensemble fini et Card(E  F) = np. 2. p-liste- arrangement- permutation a) p-liste Définition Soit E un ensemble fini et n son cardinal, soit p un entier naturel non nul. Une p-liste d’éléments de E est un p-uplet (a1 ; a2 ; … ;ap) constitué d’éléments de E. l’ensemble des p-listes d’éléments de E se note Ep. Théorème E est un ensemble fini tel que CardE = n. Pour tout naturel p  1, on a : Card Ep = np. b) Arrangement- permutation Définition n et p sont des naturels tels que 1  p  n et F est un ensemble a n éléments. Un arrangement de p éléments de F est un p-uplet d’éléments deux a deux distincts de F. Théorème Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble a n éléments, avec 1  p  n, est : n(n – 1)…(n – p + 1). On note ce nombre p n A , soit p n A = n(n – 1)…(n – p + 1). c) Permutation Définition 1 n est un naturel non nul et F est un ensemble tel que cardF = n. une permutation des éléments de F est un arrangement de n éléments de F. D’après le théorème précédent, le nombre de permutation est : n n A = n(n – 1)…(n – n + 1) = n(n – 1)…  2  1. C Ch ha ap pi it tr re e 1 18 8 P Pr ro ob ba ab bi il li it té és s 1 19 94 4 Définition 2 n est un naturel non nul, on désigne par n! ( qui se lit factorielle n ) le nombre défini par :  n! = n(n – 1)… 2  1 ; pour tout n  0 ;  et 0! = 1 Théorème Le nombre de permutation de n éléments est n!. d) Autre écriture de p n A La notation ‘’factorielle’’ permet d’écrire d’une autre façon le nombre p n A , On a p n A = n(n – 1)…(n – p + 1), Multiplions et divisons simultanément ce produit de facteurs par (n – p)… 2  1, il vient p n A =       n n 1 ... n p 1 n p ... 2 1 n p ... 2 1!          , d’où p n A =   n! n p !  . 3. Parties à p éléments d’un ensemble à n éléments ( p  n) Théorème Le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments, avec p  n, est p n A p! , on note ce nombre p n C , on a donc ; p n C = p n A p! =   n! n p !p!  Définition Une partie a p éléments d’un ensemble F à n éléments (p  n s’appelle une combinaison de p des n éléments de F. 4. Propriétés des p n C a) pour tout naturel n : 0 n n n C 1 et C 1   b) pour tout naturel n  1 : 1 n C n  c) pour tout naturel n et p tels que p  n on a : n p p n n C C  d) pour tout naturel n et p tels que 1  p  n-1 : on a : p p 1 p n n 1 n 1 C C C      la propriété (d) va permettre de calculer rapidement de proche en proche les p n C sans utiliser   n! n p !p!  sur le tableau qui suit , appelé triangle de pascal, à l’intersection de la ligne ‘’n’’ et de la colonne ‘’p’’ on lit le naturel p n C . On le complète en commençant à remplir la colonne ‘’p = 0’’ à l’aide des chiffres 1 ( car 0 n C 1  ) et la diagonale à l’aide des chiffres 1 ( car n n C 1 ). On le complète ensuite en utilisant à chaque fois la propriété ( d ). C Ch ha ap pi it tr re e 1 18 8 P Pr ro ob ba ab bi il li it té és s 1 19 95 5 Triangle de Pascale p n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 5. Le binôme de Newton Pour tous complexes a et b , et pour tout naturel n  1 (a + b)n = n p n p p 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n n n n n p 0 C a b C a C a b ... C ab C b            Cette égalité est appelée formule du binôme de Newton.  Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2n. II. Probabilité 1. Vocabulaire a) Expérience aléatoire, univers Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir avec certitude quel en sera le résultat, avant de l’effectuer. L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers. Exemple Lancer un dé à six faces numérotées de 1 à 6 est une expérience aléatoire. L’univers de cette expérience est  =  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 . b) Evénement Un événement est une partie de l’univers. Exemple Dans l’exemple précédent A =  1 ; 3 ; 5 est un événement. A est l’événement ‘’obtenir un nombre impair’’ B =  6 est un événement élémentaire.   est l’événement impossible  l’univers  est l’événement certain C Ch ha ap pi it tr re e 1 18 8 P Pr ro ob ba ab bi il li it té és s 1 19 96 6 c) Si A et B sont deux événements :  A  B est l’événement ‘’ A et B’’  A  B est l’événement ‘’ A ou B’’ d) Si A  B =  , on dit que A et B sont incompatibles ( disjoints) e) A est l’événement contraire de A On a : A  A =  ; A  A =  , où  est l’univers lié à l’expérience. 2) Notion de probabilité Considérons une expérience aléatoire d’univers. La probabilité d’un événement A est un nombre, compris entre 0 et 1, mesurant les ‘’chances’’ que cet événement a de se produire ; c’est la somme des probabilités des événements élémentaires inclus dans A. On note ce nombre souvent P(A). Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit que l’hypothèse d’équiprobabilité est satisfaite. On a alors, pour tout événement A : P(A) = cardA card. Exemple On jette un dé a six faces numérotés de 1 à 6, non truqué. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : ‘’ avoir un nombre pair’’ ; B ‘’avoir un multiple de 3’’ ; C ’’avoir un nombre supérieur a 2’’ Solution L’univers de cette épreuve est  =  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 .  A =  2 ; 4 ; 6 ; P(A) = cardA card = 3 1 6 2   B =  3 ; 6 ; P(B) = cardB 2 1 card 6 3     C =  3 ; 4 ; 5 ; 6 ; P(C) = cardC card = 4 2 6 3  . 3) Propriétés Considérons une expérience aléatoire d’univers   Pour tout événement A on a : 0  P(A)  1  La probabilité de l’événement certain est 1 ; celle de l’événement impossible est 0 : P() = 1 ; P() = 0.  Si uploads/Litterature/ chap-18.pdf