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ENCG AGADIR 2019-2020 1 Probabilités et statistiques Semestre 3 La théorie des

ENCG AGADIR 2019-2020 1 Probabilités et statistiques Semestre 3 La théorie des Probabilités Pr. A. LAHFIDI Pr. A. AAZZAB Plan du chapitre Introduction Notions de base Expérience aléatoire Univers (Ω) Événements (E) Probabilité Définition Propriétés Applications Probabilité conditionnelle Définition Événements indépendants Règle de multiplication des probabilités Utilisation des diagrammes en arbre Les probabilités totales Formule de Bayes Applications ENCG AGADIR 2019-2020 2 Introduction La probabilité est calculée pour déterminer les chances de survenance d’un événement qui est le résultat d’une expérience aléatoire. Celle-ci aboutit à plusieurs résultats définis par un espace composé de plusieurs parties. ENCG AGADIR 2019-2020 3 Notions de base 1- Expérience aléatoire : On appelle une expérience (ou épreuve) aléatoire, toute expérience entrainant des résultats qui dépendent du hasard. Exemples : Expérience 1 : Lancer mainte fois une pièce de monnaie; Expérience 2 : On jette un dé équilibré à 6 faces et on lit le numéro de la face supérieure. ENCG AGADIR 2019-2020 4 Notions de base 2- Univers (Ω): On appelle univers, noté Ω, l’ensemble de tous les résultats possibles (on dit aussi de toutes les éventualités possibles) de cette expérience. Exemples Dans le cas d’un dé : Dans le cas d’une pièce de monnaie ENCG AGADIR 2019-2020 5 ,6} {1,2,3,4,5 =  Face} {Pile, =  Notions de base 2- Univers (Ω): Un univers peut être : Aux résultats identifiables et finis ; Aux résultats non identifiables et finis ; Aux résultats identifiables et infinis ; Aux résultats non identifiables et infinis. Seules les expériences aléatoires qui conduisent à des résultats finis, identifiables ou non identifiables, ont un univers pour qui il est possible de calculer le cardinal. Ces expériences sont étudiées dans le cadre de la théorie des probabilités discrètes, alors que les expériences aléatoires aux résultats infinis font l’objet de la théorie des probabilités continues. ENCG AGADIR 2019-2020 6 La théorie des probabilités discrètes { La théorie des probabilités Continues { Notions de base ENCG AGADIR 2019-2020 7 Résultats Finis Résultats Infinis Résultats Identifiables Univers aux résultats identifiables et finis Exemple : Lancer une fois (p=1) une pièce de monnaie (n=2) Card(Ω) = Ω=(P, F) P:Pile; F:Face Univers aux résultats identifiables et infinis Exemple : Lancer une pièce de monnaie (n=2) et s’arrêter lorsqu’on obtient face pour la première fois (p=?) Card(Ω) = Résultats Non identifiables Univers aux résultats non identifiables et finis Exemple : Former un comité composé de 3 membres (p=3) choisis simultanément et sans remise parmi 10 individus (n=10) La qualité à laquelle on s’intéresse auprès des individus n’est pas indiquée ; on ne peut donc pas les identifier. Univers aux résultats non identifiables et infinis Exemple : Connaître le nombre de kilobits par seconde (kb/s) utilisés mensuellement par un individu lors de ses connexions au réseau web. En théorie : 2 1 2  A ? ? 2  A   PP...PF PPF,..., PF, F, =  120 C = ) ( 3 10   Card  ?              , 0 = ) ( , 0 et Card alors kb Notions de base 3- Événements : L’événement aléatoire d’une épreuve, noté E, est un sous- ensemble ou à une partie de l’univers de cette expérience. Autrement dit, c’est l’ensemble de résultats possibles d’une expérience aléatoire. Exemples : dans le cas d’un dé : A1 est l’événement : « le numéro obtenu est impair », alors : A1={1,3,5} A2 est l’événement : « le numéro obtenu est supérieur à 3», alors : A2={4,5,6} Application: On jette un dé deux fois, déterminer l’événement B: « la somme de deux numéros est égale à 5 ». ENCG AGADIR 2019-2020 8 Notions de base 3- Événements : Remarques: Un événement A est un sous-ensemble de Ω (A ⊂Ω); Un événement élémentaire ou singleton est un sous- ensemble de l’univers, qui contient un seul élément. Tout élément ω de Ω est un singleton. Exemple: soit et A={1} , alors A est dit un événement élémentaire de Ω. Un événement est dit certain s’il est un sous-ensemble qui contient tous les événements élémentaires de l’univers d’une expérience aléatoire et qui est donc toujours réalisé. Exemple: soit et alors A est dit un événement certain (A=Ω). ENCG AGADIR 2019-2020 9 ,6} {1,2,3,4,5 =  ,6} {1,2,3,4,5 = A ,6} {1,2,3,4,5 =  Notions de base 3- Événements : Remarques: Un événement est dit impossible s’il ne peut jamais se réaliser. C’est donc le sous-ensemble de l’univers qui correspond à l’ensemble vide (Ø) . Exemple : S’attendre à avoir une face comportant le numéro 7 après le jet d’un dé est un événement incertain. ENCG AGADIR 2019-2020 10 Notions de base 3- Événements : Remarques: Dans le cas du jet d’un dé équilibré on obtient un nombre ω tel que ω∈Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}. A est l’événement : «le numéro obtenu est impair». Alors, A est réalisé si ω∈{1, 3, 5,}. B est l’événement : «la somme de deux numéros est égale à 5». On obtient un couple (ω1; ω2). Alors B est réalisé si : (ω1; ω2)∈{(1;4),(2;3),(3;2),(4;1)} ENCG AGADIR 2019-2020 11 Notions de base 3- Événements : Remarques: Événement contraire : On dit que l’événement contraire de A ≪non A ≫est réalisé si et seulement si A n’est pas réalisé : Exemple: Ω et Ø sont contraires. ENCG AGADIR 2019-2020 12 A A      Probabilités Définition Si l’on considère à priori que les éléments de l’espace échantillonnal Ω associé à un événement aléatoire A sont équiprobables (les éléments de Ω ont tous la même chance de se produire), alors on définit classiquement la probabilité de l’événement A comme étant le rapport du nombre de résultats favorables au nombre de résultats possibles. ENCG AGADIR 2019-2020 13  ) ( ) ( possibles résultats de Nombre favorables résultats de Nombre    card A card A p Probabilités A noter : Application 1: Dans une urne contenant 20 boules blanches, 15 boules noires, 15 boules rouges et 10 boules vertes on choisie de façon aléatoire une boule. Déterminer la probabilité de tirer une boule blanche ENCG AGADIR 2019-2020 14  1 0   A p   1 ) (   p certain événement p   0 ) (    p incertain événement p A événement l' de é probabilit appelé est P(A) Probabilités Application 2: On lance un dé équilibré et on note le nombre de points sur sa face supérieure. Quelle est la probabilité que la face supérieure affiche un nombre de points impair ? ENCG AGADIR 2019-2020 15 Probabilités Application 3: On lance une pièce de monnaie deux fois d’affiliée et on observe le coté qu’elle présente lorsqu’elle tombe. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le coté face? ENCG AGADIR 2019-2020 16 Probabilités Application 4: On jette deux fois un dé équilibré et on note les deux numéros obtenus. Quelle est la probabilité d’avoir une somme des deux numéros égale à 5 ? ENCG AGADIR 2019-2020 17 Probabilités Application 5: Un comité de 3 membres doit être formé au hasard dans un groupe comprenant 4 femmes et 5 hommes. Quelle est la probabilité que les femmes soient présentes dans ce comité ? ENCG AGADIR 2019-2020 18 Probabilités Propriétés ENCG AGADIR 2019-2020 19      ... ) ( ) ( , ) ( 1 , 1 2 1            n i i n A P A A A P B P A P alors B A si A P A P a on événement A    2 à 2 disjoints événements d’ famille une Pour toute   ) ( ) ( ) ( , 2 B A P B P A P B A P a on alors événements B et A si       A⋃B C’est l'événement pour lequel au moins un des événements A ou B se réalise. Probabilités Propriétés ENCG AGADIR 2019-2020 20  ) ( ... ) ( ) ( : , ,..., , ' 2 1 2 1 B A P B A P B A P B P B événement tout pour et A A A événements d complet système tout Pour n n           ) ( ) ( B \ B A P A P A P     A ∖B est l'événement pour lequel A est réalisé mais non B Application 6: Un étudiant estime à 65% ses chances de réussir son cours de mathématique, à 80% ses chances de réussir son cours d’économie et à 50% ses chances de réussir les deux matières. Calculer la probabilité : 1. Qu’il réussisse en mathématique, mais non en économie 2. Qu’il réussisse en économie, mais non en mathématique; 3. Qu’il réussisse dans au moins une des deux matières. ENCG AGADIR 2019-2020 21 Application 7: Considérons deux événements A et uploads/Litterature/ chapitre-3-la-theorie-des-probabilites-cours-etudiants.pdf