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CONSTITUTION DES OBJETS ET FONCTION SEMANTIQUE DES DIAGRAMMES Un exemple pris d

CONSTITUTION DES OBJETS ET FONCTION SEMANTIQUE DES DIAGRAMMES Un exemple pris de la théorie des triangles du premier livre des Éléments Davide Crippa1 M 2 LOPHISS, PARIS 7 Directeur: Prof. Jean Jacques Szczeciniarz (unv. Paris 7) 1 Je voudrais aussi remercier pour l'aide, les suggestions et les commentaires: Jeans Jacques Szczeciniarz, Jean Mosconi, Marco Panza, Fabio Acerbi, Charles Alunni, Andrew Arana, Jessica Carter, Mic Detlefsen, Robin Hartshorne, Danielle Macbeth, Ken Manders, Ken Saito. 1 TABLE DES MATIERES Aperçu général du problème p.3 Le role philosophique d'un appel aux objets. p. 12 Aperçu du premier livre des Eléments p. 29 Le role des définitions p. 46 La construction des figures p. 65 Figures et diagrammes p. 85 Conclusion p. 104 Bibliographie p. 110 2 APERCU GENERAL DU PROBLEME A une analyse historique sommaire mais en principe correcte, cette oeuvre « capitale » des mathématiques grecques du IV siècle, que nous connaissons sous l'appellatif d' « Éléments d'Euclide », parait constituer un de premiers témoignages d'un effort visant à cohérer dans un corpus ordonné de propositions liées logiquement l'une à l'autre un ensemble des résultats et de problèmes acquis dans la recherche mathématiques des trois siècles précédents. Cependant, on ne sait rien d'assuré sur l'histoire des Éléments durant la période hellénistique ni sur Euclide lui – même2. En plus, le fait que la désignation même des Éléments comme un ouvrage composé en 13 livres soit tardive, remontant à Jean Philophonus et à Marinus3, suggère à plusieurs que l'existence d'une édition hellénistique, dont la structure serait pareille à celle que que nous connaissons aujourd'hui, n'est guère plus qu'une hypothèse, quoique vraisemblable. La diffusion de ce texte en Europe et en Orient depuis l'antiquité jusqu'au XX siècle (malgré les éditions critiques imprimées en Europe soient seulement cinq4) et son rôle centrale en plusieurs milieux culturels a naturellement donné lieu à de nombreuses lectures, interprétations et réactivations au sein de pratiques à chaque fois différentes5. Malgré tout, les nombreuses altérations subies pendant ce long 2 Nous ignorons si les Anciens disposaient d'informations plus étendues et détaillées sur la biographie d'Euclide. Proclus, qui néanmoins écrit à une époque tardive, mentionne Euclide en dernier dans son compte rendu sur l'origine et le développement de la géométrie (Proclus, Commentaire au livre I, 64 – 68): “not long after these men came Euclid, who brought together the Elements, systematizing many of the theorems of Eudoxus, perfecting many of those of Theetetus, and putting in irrefutable demonstrative form propositions that had been rather lossely established by his predecessors.” (Morrow ed., 68.). Ensuite Proclus spécifie que Euclide vit au temps de Ptolémée premier, mais avant Archimède et Eratosthène (qui étaient contemporaines). Euclide est donc placé entre les mathématiciens de l'Académie (la mort de Platon, son fondateur, est située à peu près vers 347/346) et les débuts d'Archimède, 267/257. M. Caveing propose, tenu compte de la suite de mathématiciens interposées par Proclus entre Eudoxe de Cnide et Euclide, de situer l'oeuvre de ce dernier dans les premiers décénnies du troisième siècle a.c. 3 Caveing, Introduction à Euclide, Les Éléments, vol 1, édité par B. Vitrac 4 A savoir, si on excepte des traductions et abréviations: Grynaeus (basel, 1533); Gegory (Oxford, 1703); Peyrard (Paris 1814 -1818); August (berlin, 1826 – 1829); Heiberg (leipzig, 1883 – 1888). Voir K. Saito, A preliminary study in the critical assessment of diagrams in Greek mathematical works, SCIAMVS, Vol. 7 (2006), 81 -144. 5 « Les Eléments d’Euclide sont incontestablement le texte mathématique grec ancien dont la tradition indirecte est la plus riche et ceci n’est pas sans rapport avec le succès du traité durant une longue période, qui va de l’Antiquité tardive à la fin du XVIe siècle, succès qui s’exprime dans les différentes langues des cultures anciennes et médiévales: grec, latin, arabe, syriaque, persan, arménien, hébreu. ... Ainsi, les ´ Eléments font partie des premiers textes mathématiques traduits en arabe au début du IXe siècle, puis, à partir du milieu du XIIe siècle, d’arabe en latin, voire directement du grec en latin ». vitrac B., Rommevaux S., Djebbar A., remarques sur l'histoire du texte des Eléments d'Euclide, Arch. Hist. Exact 3 processus de transmission, copie et circulation du texte « n'ont eu que peu d'effet, du moins sur le plan mathématique car elles n'ont introduit aucun nouvel objet mathématique, aucune théorie ou méthode que ne s'y trouvait pas. Elles ont respecté la structure logique globale du traité, y compris dans ses particularités les plus fortes (...) même quand cela ne correspondait plus aux attentes des utilisateurs... »6. Au contraire, celles - ci ont eu comme conséquence essentielle celle de: ...faire émerger l'idée d'un texte euclidien passablement indépendant de son auteur quant à la littéralité, texte que nous ne confondons pas avec ses différentes réalisations matérielles (...) mais qui est censé rester fidèle, quant à l'esprit, au modèle déductif euclidien (...) Cela est bien vrai pour "tous les textes géométriques hellénistiques, parce que ceux-ci, de par leur forme, prétendent échapper à toute forme de subjectivité7. Avant de continuer dans cette direction, un caveat s'impose. Jusqu'à présent, et en prenant occasion du passage de Bernard Vitrac, nous nous sommes adressés aux Éléments comme si cette oeuvre constituait un seul objet. Certainement, le fait que les treize livres soient transmis comme un texte unitaire constitue une évidence éloquente en faveur de cette thèse. Encore plus parlante est le privilège soit historique que épistémologique, dont les élément ont joui au cours de l'histoire, en tant que maintient de point de référence pour un idéal philosophique d' apodicticité et de point de référence jusqu'à la fin du XIX siècle pour la recherche mathématique ou pour l'enseignement8. Ensuite, si on regarde le traité dans ses grandes lignes, son contenu se présente comme il suit: les quatre premiers livres sont consacrés à la géométrie plane sans recours à la notion de proportion; le livre V contient la théorie des proportions entre les grandeurs, qui est appliquée à la géométrie plane au livre VI. Ensuite, aux livre VII, VIII, IX qui sont couramment dits « arithmétiques », leurs auteur y traite quelques éléments de théorie des nombres9, à savoir, théorie des rapports et des Sci. 55 (2001) 221–295, p. 222. 6 Vitrac B., Rommevaux S., Djebbar A., A Propos des Démonstrations Alternatives et Autres Substitutions de Preuves Dans les Éléments d’Euclide , Arch. Hist. Exact Sci. 59 (2004) 1–44. p. 2. 7 ivi. 8 Déjà Proclus, dans son commentaire, souligne la valeur pédagogique de l'ouvrage. En parlant d'Euclide, le commentateur précise: « we should especially admire him for the work on the elements of geometry because of its arrangement and the choice of theorems and problems that are worked out for the instruction of beginners... ». Proclus, Morrow ed. 69.A son avis, les éléments constituent le tremplin pour acquérir la connaissance de divers domaines de la science: « If we start from the elements, we shall be able to understand the other parts of this science; without the elements we cannot grasp its complexity, and the learning of the rest will be beyond us ». Ibid., 71. 9 Comme le note M. Caveing: « il faut préciser à ce sujet que le mot nombre désigne en grec les entiers naturels positifs égaux ou supérieurs à 2....1 est appelé l'unité, et n'est pas un « nombre ». Il n' y a pas de concept de zéro, de nombre négatif, de nombre rationnel, ni de nombre irrationnel.. ». Dans Caveing , Commentaire aux Éléments, ed. Vitrac, p. 19. 4 proportions entre nombres entiers. Le livre X, qui présuppose les acquis de la géométrie plane, de la théorie des proportions et des livres arithmétiques, porte sur l'étude des lignes commensurables ou incommensurables entre elles, ainsi que des lignes irrationnelles et des aires rectangulaires ou carrées correspondantes10. Enfin, dans les derniers livres Euclide revient à la géométrie, en traitant, au livre XI, la généralisation à la troisième dimension des résultats présents dans les livres I et IV, les livres XII présente ces résultats qui peuvent être légitimés par les livres V et X et qui demandent l'application de la « méthode d'exhaustion », première forme d'intégration, nécessaire pour déterminer la mesure des solides comme la sphère, la pyramide et le cône. Le dernier livre, finalement, est consacré à la construction des cinq polyèdre réguliers dans la sphère. Cette présentation schématique suffit à mettre en évidence les liens structurales et logiques entre les différents livres, et à justifier par cela un traitement unitaire de l'ensemble de 13 livres qui constituent l'actuelle édition des Éléments. Et c'est en envisageant l'unité du traité que Proclus avance l'hypothèse que l' enchaînement des treize livres se déploie selon deux objectifs: d'une part, celui de fournir une introduction à la science « comme un tout », de l'autre celui de introduire la géométrie des polyèdres réguliers, en plein esprit platonicien: Looking at its subject matter, we assert that the whole of the geometer's discourse is obviously concerned with the cosmic figures. It starts from the simple figures and ends with the complexities involved in uploads/Litterature/ euclide-diagrammes 1 .pdf