Fiche : comment évaluer l’incertitude d’une mesure expérimentale ? La notion d’

Fiche : comment évaluer l’incertitude d’une mesure expérimentale ? La notion d’erreur Lors de la mesure d’une grandeur physique, l’erreur est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie. La valeur vraie est en général inconnue (puisqu’on la cherche. . .). On distingue deux types d’erreur : – L’erreur aléatoire : c’est le fait qu’en mesurant un grand nombre de fois une grandeur physique, on n’obtient jamais exactement la même valeur. Une étude statistique permet d’identifier la présence d’erreurs aléatoires. Exemple : vous mesurez une masse m=9,1 g, quelques instants plus tard vous mesurez m=9,0g, l’instant d’après m=9,3 g... – L’erreur systématique : c’est la composante de l’erreur qui ne varie pas dans des conditions de mesures répétées. Exemple : votre balance de pesée vous indique systématiquement 10 kg de moins ( !). L’erreur totale s’écrit donc : ε = εa |{z} erreur aléatoire + εs |{z} erreur systématique Les rôles respectifs des erreurs aléatoire et systématique sont représentés par les dessins suivants : La métaphore de ce schéma est vite limitée puisque dans la réalité on ne connaît pas la valeur vraie (le coeur). C’est pour cela qu’une erreur systématique est difficile à identifier. 1 PCSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 La notion d’incertitude L’incertitude δx traduit les tentatives pour estimer l’importance de l’erreur aléatoire commise. En absence d’erreur systématique, elle définit un intervalle de largeur totale 2δx autour de la valeur mesurée qui inclut la valeur vraie avec un niveau de confiance déterminé par l’expérimentateur (jusqu’à quel niveau de confiance êtes-vous prêt à faire l’annonce de votre résultat ?. . .). L’incertitude caractérise donc la dispersion des valeurs qui peuvent être raisonnablement attribuées à la grandeur mesurée. Déterminer l’incertitude n’est pas simple a priori. En pratique on rencontre deux situations conduisant à l’évaluation de l’incertitude par deux moyens différents : • On a la possibilité de réaliser un grand nombre de fois la même mesure d’une grandeur x, δx est alors évaluée statistiquement : on parle d’évaluation d’incertitude de type A. • La grandeur mesurée ne fait l’objet que d’un seul mesurage, δx est évaluée par d’autres moyens : on parle d’évaluation d’incertitude de type B. Pour évaluer l’incertitude sur la détermination d’une grandeur obtenue par un calcul faisant intervenir des grandeurs mesurées expérimentalement (et dont les incertitudes ont été évaluées soit par type A soit par type B), on utilise la formule de propagation des erreurs (voir encadré correspondant). Une fois l’évaluation de l’incertitude faite, le résultat expérimental doit être présenté de la manière suivante : x = x ± δx où x est la meilleure estimation de la valeur vraie que vous avez voulu mesurer. Attention : le dernier chiffre significatif de la mesure x doit être cohérent avec l’incertitude δx. δx est généralement donné avec 1 voire 2 chiffres significatifs. Exemples : m = 2, 51 ± 0, 02g est correct m = 2, 51 ± 0, 1g est incorrect m = 2, 51 ± 0, 0218g est incorrect Incertitude-type et incertitude élargie Annoncer un niveau de confiance, c’est annoncer la probabilité que la valeur vraie (inconnue . . .) se trouve dans l’intervalle défini par l’incertitude de mesure. Le niveau de confiance est généralement donné en pourcentage. L’incertitude-type est l’incertitude donnée à un niveau de confiance de 68%. Ceci est valable dans le cas d’une distribution gaussienne des mesures, ce qui est généralement le cas en pratique, le calcul montre que 68% des valeurs sont comprises dans l’intervalle donné par l’écart-type de la distribution, d’où le nom. . . L’incertitude élargie est l’incertitude donnée avec un niveau de confiance de 95%. Pour une distribution gaussienne, cela correspond à deux fois la valeur de l’écart type. 2 PCSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 Propagation des incertitudes Supposons avoir évalué l’incertitude de plusieurs grandeurs physiques (x, y, . . .) et que l’on souhaite déterminer la valeur d’une autre grandeur q = f(x, y), qui dépend des valeurs de ces grandeurs, et évaluer l’incertitude δq sur sa détermination. Les erreurs de mesure commises sur x et y vont se répercuter sur q . . .Mais comment évaluer la nouvelle incertitude δq ? On utilise pour cela la formule de propagation des erreurs : δq = s (δx)2 ∂f ∂x 2 + (δy)2  ∂f ∂y 2 + . . . – Dans le cas d’une somme : q=x+y δq = q (δx)2 + (δy)2 – Dans le cas d’un produit : q = xαyβ, l’incertitude se calcule de la manière suivante : δq = q s α2(δx x )2 + β2(δy y )2 Evaluer l’incertitude de type A On cherche ici à évaluer de manière statistique l’incertitude δx sur la mesure d’une grandeur x dont les sources d’erreurs sont aléatoires. Supposons avoir réalisé une série de N mesures de x : x1, x2, . . ., xN. • La meilleure estimation de la valeur vraie est obtenue en faisant la moyenne des N mesures : x = x1 + · · · + xN N • L’incertitude-type se calcule avec la formule : δx = σ √ N où σ est l’écart type de la distribution des N mesures et se calcule suivant la formule : σ = v u u t 1 N −1 N X k=1 (xk −x)2 Il vient immédiatement que plus on réalise de mesures plus l’incertitude est réduite et donc plus l’intervalle de confiance est resséré autour de la valeur moyenne. 3 PCSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 Evaluer l’incertitude de type B En pratique, le manque de temps ou les contraintes expérimentales ne nous permettent pas toujours d’effectuer une série de mesures. Dans ce cas, il n’est pas possible d’évaluer l’incertitude de manière statistique. On estime δx à partir des spécifications des appareils de mesure et des conditions expérimentales. Citons quelques cas courants. • L’appareil est gradué L’incertitude-type de lecture est estimée à partir de la valeur d’une graduation : δx = 1 graduation √ 12 Exemple : on utilise un thermomètre gradué tous les 1˚C pour mesurer une température. L’incertitude-type de lecture de la température est δT = 1 12 ≈0, 1˚C. • Plage de valeurs [xmin, xmax] correspondant aux critères de l’expérimentateur Par exemple, une plage de positions d’une lentille sur un banc optique telle que l’image d’un objet sur un écran à une distance fixe de l’objet soit vue nette on prend : x = xmin + xmax 2 et δx = xmax −xmin 2 √ 3 La même méthode s’applique chaque fois que l’on borne l’erreur commise (une demi-graduation de part et d’autre de la valeur lue sur un vernier, épaisseur de la trace sur un écran d’oscilloscope . . .). • Le constructeur donne une indication – Le constructeur fournit l’incertitude-type. Le constructeur a évalué cette incertitude à partir d’un grand nombre de mesures par une technique éprouvée. Un pourcentage d’erreur est éventuellement donné permettant de calculer l’incertitude-type. – Le constructeur fournit la résolution. Par exemple, sur une balance on peut lire que la résolution de l’appareil est de d = 0,01g. cela signifie que l’appareil arrondi au 2ème chiffre après la virgule. La graduation d’un instrument de mesure analogique ou l’afficheur d’un appareil numérique sont des sources d’incertitudes. Si la résolution du dispositif de lecture est d, la valeur vraie peut se situer avec une égale probabilité à n’importe quel endroit de l’intervalle [xind −d 2 ; xind + d 2 ], (xind étant la valeur indiquée par l’appareil), la distribution des valeurs ne suit pas une gaussienne mais une loi de probabilité rectangulaire de largeur d dont l’écart-type expérimental vaut : δx = d 2 √ 3 – Le constructeur fournit la tolérance. L’erreur maximale tolérée (notée sur les instruments de mesure sous la forme ±a) donne les limites extrêmes de variation de l’indication obtenue d’un instrument de mesure. On appelle aussi cela la classe de l’instrument définie par un intervalle [-a ; +a]. La valeur réelle de la grandeur peut se situer avec une égale probabilité dans l’intervalle [xind −a; xind + a]. La loi de probabilité associée à ces instruments est encore une loi rectangulaire mais de largeur 2a et l’écart-type vaut : δx = a √ 3 On trouve souvent dans les notices des appareils de mesure une indication de la tolérance sous la forme t = p%lecture + n × UL, où UL est l’unité de lecture (digit), c’est-à-dire la précision du dernier chiffre affiché. 4 PCSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 uploads/Litterature/ incertitude 1 .pdf

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littérature l’incertitude valeur d’une mesure grandeur
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