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HAL Id: tel-02009786 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02009786 Submitted on 6 Feb 2019 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Interpolation sur les variétés grassmanniennes et applications à la réduction de modèles en mécanique Rolando Mosquera Meza To cite this version: Rolando Mosquera Meza. Interpolation sur les variétés grassmanniennes et applications à la réduction de modèles en mécanique. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Université de La Rochelle, 2018. Français. ￿NNT : 2018LAROS008￿. ￿tel-02009786￿ UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE THÈSE pour l'obtention du Grade de Docteur de l'Université de La Rochelle École Doctorale: EUCLIDE Laboratoire: LaSIE Mention: Mécanique présentée par: Rolando MOSQUERA MEZA Interpolation sur les variétés grassmanniennes et applications à la réduction de modèles en mécanique sous la direction de Aziz Hamdouni et Abdallah El Hamidi Thèse soutenue le 26 juin 2018 devant le jury composé de: Rapporteurs : Mejdi Azaiez Professeur, INP de Bordeaux David Neron Professeur, ENS Paris Saclay Examinateurs : Joël Bensoam Directeur de recherche, IRCAM-Paris Alain Cimetiere Professeur, ISAE. ENSMA Poitiers Abdallah El Hamidi MCF-HDR, Université de La Rochelle Anthony Gravouil Professeur, INSA Lyon Jean-Pierre Raymond Professeur, Université de Touluse 3 Aziz Hamdouni Professeur, Université de La Rochelle ii À ma famille Remerciements Finalement, j'ai le plaisir d'écrire cette dernière feuille qui, à la fois, marque la n de ce premier exercice de recherche scienti que et qui me permet de dédier une pensée à toutes les personnes qui ont contribué à ce que ce travail arrive à sa n. Je remercie Messieurs les professeurs Mejdi Azaiez et David Neron d'avoir acceptés d'être les rapporteurs de ma thèse, et dont les remarques et les encoura- gements ont été particulièrement précieux pour parfaire cette étude. Je remercie également tous les membres du jury pour leur présence et leur intérêt pour mon travail. Je tiens à adresser de chaleureux remerciements à mes directeurs de thèse, Aziz Hamdouni et Abdallah El Hamidi, qui sont des sources inépuisables de connaissances, et qui ont toujours su me donner "la lumière" pour trouver la bonne direction sur ce chemin scienti que. Merci pour votre exigence, votre pa- tience, votre amitié et votre générosité. J'adresse un remerciement tout spécial à mi amigo Antoine, pour tous les échanges scienti ques et moins scienti ques partagés, qui n'ont fait que m'appor- ter joies et connaissances. Je voudrais remercier très amicalement mes collègues de bureau, le bureau 64, Antonio, Hein et Jana pour toutes les discussions et les échanges pendant ces années de doctorat, qui me laissent des souvenirs impéris- sables. Dans ce dernier paragraphe, je souhaite exprimer ma plus profonde recon- naissance à mes parents qui m'ont soutenu depuis toujours. Yo les agradesco con toda la fuerza de mi ser por haber formado un hombre de valores y de gran fuerza interior. Yo agradesco a mi hermano Jean y a mis hermanas Susanne y Mery,a pesar de que están lejos siempre los llevo en mi corazón. Quiero agradecer a mi hija Maria por todos los años que estuvo a mi lado, siempre te llevo en mi corazón mi muelitas. Je voudrais remercier aussi le der- nier petit rayon de soleil qui est arrivé dans ma vie, ma lle Clémentine-Elina. Maintenant que la thèse est nie, je te promets que c'est papa qui lira les histoires le soir. v Je tiens aussi à remercier particulièrement Amandine, qui a décidé de tra- cer, avec moi, un chemin commun et pour qui j'éprouve gratitude et admiration. Merci in niment pour tout le soutien et la joie que tu m'apportes chaque jour. Finalement, je souhaite dire un grand merci à ma belle-famille. Je vous remercie profondément pour votre amitié et votre soutien pendant toutes ces années. Encore merci à tous... Rolando Mosquera vi Introduction La plupart des simulations numériques des problèmes réels de mécanique sont souvent très coûteuses à la fois en temps de calcul et en capacité de stockage en mémoire. Par exemple, il est bien connu que le nombre de degrés de liberté dans la simulation directe des écoulements turbulents est supérieur à 107. Le temps CPU nécessaire pour simuler une seconde est de plusieurs semaines sur des ma- chines disposant d'un millier de processeurs. Ce qui explique l'engouement pour les méthodes de réduction de modèles depuis plus d'une décennie. De nos jours, la réduction de modèles est devenue très répandue dans les sciences de l'ingénieur en général et en mécanique en particulier. Une des méthodes de réduction de modèles les plus populaires est celle ba- sée sur la décomposition orthogonale aux valeurs propres, dite POD (Proper Orthogonal Decomposition). Il s'agit d'une méthode de projection, basée sur la construction d'une base optimale au sens énergétique 1 associée à une famille don- née de clichés correspondant à la solution complète du problème considéré. Les problèmes de mécanique des uides, d'interaction uide-structure, de mé- canique des structures et autres, dépendent généralement d'un ensemble de pa- ramètres donnés, par exemple le nombre de Reynolds, le nombre de Rayleigh, les constantes des matériaux, la forme géométrique des structures, que l'on notera ici par λ ∈Rp, p ⩾1. Les modèles réduits associés à ces problèmes dépendent eux aussi de ces paramètres. La question naturelle qui se pose est, pour un paramètre donné, comment construire le modèle réduit associé ? Akkari et al. [7] ont étudié le domaine de validité d'un modèle réduit dépen- dant d'un paramètre λ construit par projection de type Galerkin sur une base POD pour un paramètre xé λ0. Pour les équations aux dérivées partielles quasi- linéaires, ce domaine de validité est xé grâce à une estimation d'erreur établie par les auteurs entre la solution complète et celle du modèle réduit en fonction de la régularité de la solution et du nombre de modes gardés. Des résultats similaires ont été obtenus pour les équations de Navier-Stokes [5] et pour les équations de Burgers [6]. Des travaux numériques sur la sensibilité paramétrique pour les pro- blèmes d'interaction uide-structure ont été réalisés dans [49]. 1. On donnera un sens précis à cette notion dans le chapitre I vii Une façon de construire des modèles réduits évoluant en fonction du para- mètre λ se fait via la méthode des bases réduites (RB) basées sur les solutions complètes obtenues pour une famille nie λ1, · · · , λN de N valeurs du paramètre λ. Pour les détails de cette méthode, on peut consulter [32,58]. Une autre alternative pour construire des modèles réduits évoluant en fonction d'un paramètre est l'utilisation de la méthode de Décomposition Propre Générali- sée (PGD). Cette méthode permet de chercher une approximation de la solution d'une EDP d'une façon progressive et sous la forme de somme de produits de fonctions à variables séparées, tout en considérant les paramètres comme variable de la solution [1214]. D'une part, en mécanique des uides, ces méthodes sont en réalité coûteuses lorsqu'on s'intéresse à l'évolution paramétrique. D'autre part, quand la valeur cible du paramètre ne fait pas partie des valeurs considérées dans la PGD, il faut recourir à une méthode d'interpolation [50]. Or l'interpolation en PGD est une notion qui pose des vraies di cultés théoriques pour l'instant. En s'appuyant sur de nombreuses applications en mécanique des uides, on peut a rmer qu'actuellement, la méthode de réduction la plus e cace, y compris pour l'évolution paramétrique est la méthode POD. Aussi, nous nous intéressons dans cette thèse à l'évolution paramétrique de la POD. Deux approches se présentent : 1. La première approche consiste à interpoler directement le modèle réduit. Dans le cas linéaire, on dispose d'un cadre théorique clair permettant de donner un sens à l'interpolation du modèle réduit (ou champ de vecteurs associé au système dynamique réduit). Par contre, dans le cas non linéaire les choses restent moins évidentes et le cadre théorique est à construire. Cette approche ne sera pas abordée dans cette thèse. 2. La deuxième approche consiste à interpoler la base POD pour une valeur du paramètre λ à partir des bases POD obtenues pour les valeurs λ1, · · · , λN du paramètre. Ensuite, on construit le modèle réduit par projection Galerkin sur la base POD interpolée. Cette approche qui fait l'objet de cette thèse a le mérite d'avoir un cadre mathématique bien clair. Comme cela a déjà été remarqué par Amsallem et Farhat [9], ce qui est im- portant pour l'interpolation des bases POD, ce n'est pas la base elle-même mais le sous-espace vectoriel qu'elle engendre. Or, l'ensemble des sous-espaces vecto- riels d'une dimension xée m d'un espace vectoriel de dimension n > m a la structure d'une variété diérentielle, dénommée la variété de Grassmann. Il s'agit d'une variété qui possède une structure mathématique riche. En eet, la variété de uploads/Litterature/ interpolation-sur-les-varietes-grassmanniennes-et-applications-a-la-reduction-de-modeles-en-mecanique.pdf

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