Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

A. Chariﬁ, B. Bouikhalene, S. Kabbaj, E. Elqorachi. Tome I ANALYSE DANS R Parti

A. Chariﬁ, B. Bouikhalene, S. Kabbaj, E. Elqorachi. Tome I ANALYSE DANS R Partie COURS 1er et 2e Semestre de la 1re année (S1&S2) Facultés des Sciences, Section Mathématique CRMEF, Classes Préparatoires et Classes Integrées aux grandes écoles. Colletion : Enseignants Etudiants (EE) 2015 Tome I ANALYSE DANS R Partie COURS 1er et 2e Semestre de la 1re année (S1&S2) Facultés des Sciences, Section Mathématique CRMEF, Classes Préparatoires et Classes Integrées aux grandes écoles. Par A. Chariﬁ, B. Bouikhalene, PES, CRMEF Rabat-Salé-Kénitra PH, FP Beni Mellal S. Kabbaj, E. Elqorachi, PES, FS Kénitra PES, FS Agadir Collection : Enseignants Etudiants (EE) Version : OPEN ACCESS 2015 Tous les droits sont réservés. Dépôt légal N◦: 2010 MO 2240 ISBN : 978 9954-30-015-2 ISSN : 2028-2729 Préface Cet ouvrage issu d’un cours d’analyse professé en MP1 (Mathématique et Physique) aux universités marocaines, depuis les an- nées quatre vingt dix, est destiné aux étudiants du premier semestre de la première année (ﬁlières SMA, SMI, MIP, SMP, SMC, SVT et STU) des diﬀérentes facultés des sciences. C’est, également une réfèrence précieuse pour les étudiants en première année des classes intégrées et classes pré- paratoires, aux grandes écoles. Il pourra aussi être utile aux candidats aux concours de recrutement de personnels enseignants dans des lycées et collèges, aux étudiants du C.R.M.E.F ( Centres Régionaux des Mé- tiers de l’Education et de la Formation) et à tous ceux qui veulent se familiariser avec les méthodes mathématiques de bases en analyse telle qu’elles sont actuellement enseignées au premier cycle universitaire. L’analyse sur R est à la base de la plus part des branches Ma- thématiques à savoir – la topologie, – les suites et series, – l’integration, – l’analyse de Fourier, – les équations aux dérivées partielles etc... C’est pourquoi nous avons tenu à mettre cet ouvrage à la disposition du lecteur. Les connaissances requises pour la lecture sont celles des pro- grammes de l’enseignement secondaire. i ii Le contenu de cet ouvrage traite des concepts classiques de l’Ana- lyse mathématique qui sont étudies dans tous les livres du premier cycle universitaire ( Dieudonné Tome1, Dixmier, Collection U et etc...). C’est en faite la réforme instaurée en 2003 et le plan d’urgence mis en place en 2008 par le ministère de tutelle qui en est le ﬁl conducteur et qui en justiﬁe le plan. Ce contenu englobe deux éléments de module, – l’analyse et – la topologie de l’ensemble R des nombres réels. Outre la description des savoirs traités dans ce livre ( déﬁnitions des concepts, propositions, théorèmes, interprétations et applications ) on y trouve aussi, dans la partie exercice attaché à ce document une centaine d’exercices et problèmes dont une quarantaine corrigés. Ces exercices sont d’un degré de diﬃculté couramment rencontré dans les examens et les devoirs surveillés. Ils sont choisis pour être des situations pertinentes, non seulement pour permettre l’assimilation, des concepts, des formules et des théorèmes utilisés dans le cours, mais aussi pour permettre l’acquisition des heuristiques de bases, pour résoudre des problèmes dont les solutions utilisent des molèles, des techniques et des outiles de bases de l’analyse mathématique. Les auteurs espèrent que le présent ouvrage, malgré ses imper- fections, pourra rendre service aux étudiants et aux lecteurs. C’est pour ce but qu’il a été écrit et publié. Les auteurs. Table des matières 1 CONSTRUCTION DE R. 1 1.1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Suites dans Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Propriétés de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Structure de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Relation d’ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Valeur absolue sur R. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 TOPOLOGIE DE LA DROITE RÉELLE 21 2.1 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Point adhérent-Point d’accumulation . . . . . . . . . . . 25 2.3 Majorants et Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Adhérence et Intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 SUITES NUMÉRIQUES 39 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Opérations sur les suites convergentes . . . . . . . . . . . 42 3.4 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.7 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 FONCTIONS NUMÉRIQUES 53 4.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . 62 iii iv TABLE DES MATIÈRES 4.6 Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . 65 4.7 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.8 Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . 71 4.9 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.10 Théorème de Rolle et applications . . . . . . . . . . . . 80 4.10.1 Théorème des accroissements ﬁnis. . . . . . . . . 82 4.10.2 Règle de l’hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.11 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 DÉVELOPPEMENT LIMITÉ 91 5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . 96 5.2.1 Développement limité d’une composition . . . . . 98 5.2.2 Développement limité d’une dérivation . . . . . . 100 5.2.3 Développement limité d’une primitive . . . . . . . 101 5.2.4 Développements limités usuels. . . . . . . . . . . 102 5.3 Extension du développement limité. . . . . . . . . . . . . 102 5.3.1 Développement limité au voisinage de l’inﬁni. . . 102 5.3.2 Développement limité généralisé. . . . . . . . . . 103 5.3.3 Applications des développements limités. . . . . . 104 Chapitre 1 CONSTRUCTION DE R. Les nombres réels possèdent une place particulière dans le monde mathématique. Tant l’intuition de leur existence est ancienne (depuis Pythagore et sa preuve de l’irrationnalité de √ 2, 6ème siécle), tant est tardive leur construction rigoureuse (datant du 19ème siécle par CantorCn. et DedekindDd.). En mathématiques, il existe diﬀérentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont : . les coupures de Dedekind, . les suites de CauchyCu.. uploads/Litterature/ livre-cours-math.pdf