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Limites de suites Post-Bac-MPSI et autres On dit qu’une suite (un) converge ver

Limites de suites Post-Bac-MPSI et autres On dit qu’une suite (un) converge vers le réel ℓ(ou tend vers le réel ℓ) si : ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈N ∀n ≥n0, |un −ℓ| ≤ǫ. Déﬁnition suite convergente On dit qu’une suite (un) diverge vers +∞si : ∀A ∈R,∃n0 ∈N ∀n ≥n0, un ≥A. Déﬁnition suite divergente vers +∞ Si une suite est convergente de limite ℓalors cette limite est unique. Propriété unicité de la limite Une suite convergente est bornée. Propriété Si (un) est convergente de limite ℓet (vn) est convergente de limite ℓ′ alors la suite de terme général un + vn est convergente de limite ℓ+ℓ′ . Propriété limite d’une somme Si (un) est convergente de limite ℓet (vn) est convergente de limite ℓ′ alors la suite de terme général un × vn est convergente de limite ℓ×ℓ′ . Propriété limite d’un produit Post-Bac Limites de suites Page 1 Si lim n→+∞un = a et lim x→a f (x) = b alors (f (un)) tend vers b. Propriété Exercice 1 Difﬁculté :■■□□ Corrigé : Soit (un) et (vn) deux suites réelles convergeant vers ℓet ℓ′ avec ℓ< ℓ′ . Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn . Si (un), (vn) et (wn) sont trois suites telles que : — à partir d’un certain rang, un ≤vn ≤wn — et (un) et (wn) convergent vers la même limite ℓréelle alors (vn) est convergente de limite ℓ. Propriété Théorème d’encadrement Si (un), (vn) sont deux suites telles que : — à partir d’un certain rang, un ≤vn — et (un) diverge vers +∞ alors (vn) est divergente vers +∞. Propriété Théorème de comparaison par minoration Exercice 2 Difﬁculté :■■□□ lim n− →+∞cos( 1 n ) Exercice 3 Difﬁculté :■■□□ Montrer que cos(n) est divergente . Exercice 4 Difﬁculté : https ://youtu.be/Fqimj8qWAmo Soit (un) et (vn) deux suites réelles telles u2 n +unvn + v2 n converge vers 0. Montrer que (un) et (vn) convergent . Exercice 5 Difﬁculté : https ://youtu.be/w1xh1jN 5uc Soit (un) et (vn) deux suites réelles telles un + vn et un −vn convergent. Montrer que (un) et (vn) convergent . Exercice 6 Difﬁculté :■■□□ Interpréter : ∃ǫ > 0 ∀N ∈N ,n ≥N ⇒|un −l| < ǫ Exercice 7 Difﬁculté :■■□□ Etudier la convergence de la suite complexe (un) déﬁnie par u0 ∈C et ∀n ∈N,un+1 = 2un −un 3 Exercice 8 Difﬁculté :■■□□ Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On suppose n pun →l a Montrer que si l < 1 alors un →0 b Montrer que si l > 1 alors un →+∞ c Montrer que dans le cas l = 1, on ne peut rien conclure. Post-Bac Limites de suites Page 2 Exercice 9 Difﬁculté :■■□□ Montrer que la suite (un) d’expression un = cos(n) n’a pas de limite. (utiliser cos(2n) puis cos(3n) puis cos(n+1)). Exercice 10 Difﬁculté :■□□□ Corrigé : On considère la suite (un) déﬁnie pour n ≥1 par un = s n + r (n −1)+ q ...+ p 2+ p 1 . a Montrer que (un) diverge vers +∞. b Exprimer un+1 en fonction de un. c Montrer que un ≤n puis que un ≤ p n +2 p n −1 Exercice 11 Difﬁculté :■■□□ Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On suppose un+1 un →l a Montrer que si l < 1 alors un →0 b Montrer que si l > 1 alors un →+∞ c Montrer que dans le cas l = 1, on ne peut rien conclure. ————————————————————————————————————————————– Exercice 12 Difﬁculté :■■□□ Soit un = p n2 +n −1− p n2 −n +1 Etude de la convergence de (un). Exercice 13 Difﬁculté :■■□□ Soit un = an −bn an +bn . Etude de la convergence de (un). Exercice 14 Difﬁculté :■■□□ Déterminer lim n− →+∞ n −(−1)n n +(−1)n Exercice 15 Difﬁculté :■■□□ Déterminer lim n− →+∞ en nn Exercice 16 Difﬁculté :■■□□ Montrer que la suite (un) d’expression un = cos(n) n’a pas de limite. (utiliser cos(2n) puis cos(3n) puis cos(n+1)). 1 approfondissment Deux suites sont dites adjacentes si l’une est croissante, l’autre est décroissante et si leur différence tend vers 0 Déﬁnition Suites adjacentes Deux suites réelles (un) et (vn) sont dites adjacentes si elles vériﬁent les propriétés suivantes : • (un) est une suite croissante • (vn) est une suite décroissante • (vn −un) tend vers 0 . Déﬁnition Suites adjacentes https ://youtu.be/spcEN1dlghQ Post-Bac Limites de suites Page 3 Deux suites adjacentes convergent, et elles ont la même limite Propriété convergence des suites adjacentes Démo1 https ://youtu.be/v3ER5ba2hAY Démo2 https ://youtu.be/anPqgbKgDU8 Exercice 17 Difﬁculté : Montrer que la suite (un) de terme général un = n X k=1 (−1)k k avec n ≥1 converge. Exercice 18 Difﬁculté : Soit (un) une suite réelle convergente de limite ℓ. La suite (⌊un⌋) est-elle toujours convergente? A quelle condition est-elle convergente? Si x est un réel, la partie entière de x, notée ⌊x⌋est le plus grand entier n qui est inférieur ou égal à x. Ainsi la partie entière de x est le seul entier relatif n tel que n ≤x ≤n +1 . Déﬁnition partie entière Exercice 19 Difﬁculté : Donner l’expression du terme général de la suite (un) déﬁnie par : u0 = 1, u1 = 2 et ∀n ∈N,un+2 = 6un+1 −9un. Exercice 20 Difﬁculté :h ttps ://youtu.be/jqKkzlh5zp8 Donner l’expression du terme général de la suite (un) déﬁnie par : u0 = 0, u1 = 1 6 et ∀n ∈N,6un+2 = 5un+1 −un. Exercice 21 Difﬁculté : Donner l’expression du terme général de la suite (un) déﬁnie par : u0 = 0, u1 = 1 et ∀n ∈N,un+2 = p 2un+1 −un. Exercice 22 Difﬁculté : Donner l’expression du terme général de la suite (un) déﬁnie par : u0 = 0, u1 = 1 et ∀n ∈N,un+2 = p 2un+1 −un. Deux suites sont dites adjacentes si l’une est croissante, l’autre est décroissante et si leur différence tend vers 0 Déﬁnition Suites adjacentes Deux suites réelles (un) et (vn) sont dites adjacentes si elles vériﬁent les propriétés suivantes : • (un) est une suite croissante • (vn) est une suite décroissante • (vn −un) tend vers 0 . Déﬁnition Suites adjacentes Deux suites adjacentes convergent, et elles ont la même limite Propriété convergence des suites adjacentes Post-Bac Limites de suites Page 4 Exercice 23 Difﬁculté : Soit deux suites réelles (un) et (vn) adjacentes avec (un) croissante et (vn) décroissante. Montrer que ∀n ∈N, un ≤vn . Exercice 24 Difﬁculté : Soit deux suites réelles (un) et (vn) adjacentes . Montrer que (un) et (vn) convergent et ont la même limite . Exercice 25 Difﬁculté :h ttps ://youtu.be/8JumcncUxo8 Montrer que la suite (un) de terme général un = n X k=1 (−1)k k avec n ≥1 converge. Exercice 26 Difﬁculté :h ttps ://youtu.be/fB6N1RnB 0Q Montrer que les suites (un) de terme général un = n X k=1 1 k2 avec n ≥1 et (vn) de terme général vn = un + 1 n sont adjacentes. Exercice 27 Difﬁculté :h ttps ://youtu.be/VYnEN8L15Lw Montrer que les suites (un) de terme général un = n X k=1 1 k! et (vn) de terme général vn = un + 1 n ×n! sont adjacentes. Exercice 28 Difﬁculté : 1 Montrer que pour a et b strictment positifs, p ab ≤a +b 2 . 2 Soit les suites (un) et (vn) telles que 0 < u0 < v0 et pour tout n, un+1 = punvn et vn+1 = un + vn 2 . Montrer que (un) et (vn) sont adjacentes.en déduire leurs limites. Exercice 29 Difﬁculté : Montrer que les suites (un)n∈N∗{1} de terme général un = n Y k=2 µ 1−1 k2 ¶ et (vn) de terme général vn = µ 1−1 k ¶ un sont adjacentes. Exercice 30 Difﬁculté :h ttps ://youtu.be/uny4vGd7-Ks Soit n ∈N avec n ≥2 et ω une racine nième de l’unité. Calculer n−1 X k=0 (k +1)ωk . Exercice 31 Difﬁculté : Soit n ∈N avec n ≥2 et ω une racine nième de l’unité. Calculer n−1 X k=0 Ã n k ! ωk. Post-Bac Limites de suites Page 5 uploads/Litterature/ livret-suites.pdf