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MATH´ EMATIQUES EN MPSI Probl` emes d’approfondissement R´ emy Nicolai Editions

MATH´ EMATIQUES EN MPSI Probl` emes d’approfondissement R´ emy Nicolai Editions www.inlibroveritas.net Immeuble ACCET 4, place de la Pergola 95021 Cergy-Pontoise Ce livre est publié sous la licence libre Creative Commons-BY-SA http ://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fr BY : Paternité. Vous devez citer le nom de l’auteur original. SA : Partage des Conditions Initiales à l’Identique. Si vous modifiez, transformez ou adaptez cette création, vous n’avez le droit de distribuer la création qui en résulte que sous un contrat identique à celui-ci. En outre, à chaque réutilisation ou distribution, vous devez faire apparaître clai- rement aux autres les conditions contractuelles de mise à disposition de cette cr´eation. Chacune de ces conditions peut être levée si vous obtenez l’autorisation du titu- laire des droits. In Libro Veritas, 2009, ISBN : 978-2-35922-002-5 Dépôt légal : premier semestre 2009 Liste des probl` emes Liste des probl` emes 3 ´ Enonc´ es. 7 Pb 1 : Exemples de produits inﬁnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Pb 2 : Int´ egrales et formes lin´ eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Pb 3 : Rotations, angles d’Euler, quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Pb 4 : Transformation de Legendre : continuit´ e, d´ erivablit´ e, borne sup´ erieure. . . . . . 15 Pb 5 : Irrationnalit´ e de e. G´ en´ eralisation de la formule du binˆ ome avec un ´ el´ ement nilpotent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Pb 6 : Nombres complexes et fonctions usuelles : autour de la formule de Machin. . . . 20 Pb 7 : Des suites de moyennes d´ eﬁnies par r´ ecurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Pb 8 : Plans m´ ediateur, bissecteur et hauteur d’un triangle dans l’espace. . . . . . . . 24 Pb 9 : Disque elliptique comme union de cercles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Pb 10 : Ensembles : th´ eor` eme de Sperner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Pb 11 : Famille de suites d´ eﬁnie par r´ ecurrence, points ﬁxes stables et instables. . . . . 31 Pb 12 : Un probl` eme d’analyse ”` a la Cauchy” sur un ensemble de r´ eels d´ eﬁni ` a partir d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Pb 13 : Inversibles dans un anneau quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Pb 14 : Familles de sous-espaces de mˆ eme dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Pb 15 : Approximation par convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Pb 16 : Calcul de la somme des inverses des carr´ es par la m´ ethode des coeﬃcients de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Pb 17 : Un exercice avec des sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Pb 18 : Lemme de Hochschild (par dualit´ e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Pb 19 : Fonctions ` a d´ eriv´ ees born´ ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Pb 20 : Familles de vecteurs et de reﬂexions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Pb 21 : Borne inf´ erieure d’un ensemble de nombres r´ eels. Densit´ e de Schnirelmann. . . 47 Pb 22 : Rang et matrices extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Pb 23 : Sommets d’une courbe param´ etr´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Pb 24 : Suite implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Corrig´ es. 57 Pb 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Pb 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Pb 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Pb 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Pb 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Pb 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Pb 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Pb 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Pb 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Pb 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Pb 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ mathematiques-en-mpsi-problemes-dapprofondissement.pdf