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Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 1 MAGAZINE DE MATHEMATIQUES Profs : ÉQUI

Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 1 MAGAZINE DE MATHEMATIQUES Profs : ÉQUIPE ACADEMIQUE MATHEMATIQUES (28 juin 1875 à Beauvais - 26 juillet 1941 à Paris) est un mathématicien français. Il est reconnu pour sa théorie d'intégration publiée initialement dans sa dissertation Intégrale, longueur, aire à l'Université de Nancy en 1902. Il fut l'un des grands mathématiciens français de la première moitié du vingtième siècle. (allemand, 1826-1866) Ce très grand mathématicien, élève de Gauss à Göttingen de Jacobi à Königsberg et de Dirichlet à Berlin, fut professeur en la célèbre université de Göttingen, succédant à ce dernier en 1859 (Dirichlet avait lui-même succédé à Gauss quatre ans plus tôt). Riemann mourut prématurément, atteint de tuberculose à Selesca (lac Majeur, Italie) où il se soignai. Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 2 RESUME DU COURS Le but de l’intégration est de calculer la surface délimitée entre la courbe et l’axe des abscisses. Le domaine associé : Nous appellerons domaine associé à une fonction f positive sur  a;b , le domaine délimité par la courbef , l’axe des abscisses, et les droites d’équations : x=a et x=b (  a b ). Ce domaine est l’ensemble des points M( x; y) du plan tels que :   a x b et 0  y f ( x ). Unité d’aire : le plan étant muni d’un repère orthogonal (O, I, J), l’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle bâti à partir des points O, I K et J. Si l’on a : OI=1cm et OJ=2cm alors l’unité d’aire est égale à 12=6 cm². Définition 1 : Soit une fonction continue (ou continue par intervalle) positive sur l’intervalle  a;b . On appelle intégrale de a à b de la fonction f, l’aire du domaine associé à f sur l’intervalle   a;b exprimé en u.a, le nombre noté :  b a f ( x )dx . Remarque :   b a f ( x )dx se lit : « somme ou intégrale de a à b de f(x) dx »  a et b sont les bornes de l’intégrale.  La variable ‘’ x ‘’ est une variable muette, c’est-à-dire qu’elle n’est plus présente lorsque le calcul est effectué. Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 3  La variable x peut être remplacé par : t, u, ou toute autre lettre à l’exception de a et b.  Le symbole dx n’a pas de signification sinon on rappelle la démarche des concepteurs du XVIIe siècle (Leibniz). Il signifiait à l’époque une quantité infinitésimale (largeur des rectangles). Exemple : Calculer l’intégrale suivante : 1 1 1    x²dx Le demi cercle de centre O et de rayon 1 a pour équation : 1   x² y² . On en déduit alors que le demi-cercle de centre O et de rayon 1 pour 0  y a pour équation 1   y x² . On en déduit que l’intégrale est l’aire du demi-cercle de rayon 1 soit 2 . Conclusion : 1 1 1 2      x²dx . Définition 2 : Soit une fonction continue (ou continue par intervalle) sur l’intervalle   a;b .  Si f est négative sur  a;b , on a alors   b a f ( x )dx A  Si f a une signe quelconque sur   a;b . 1 2 3 4 5        b a f ( x )dx A A A A A ... Propriété 1: Soit f une fonction continue sur un intervalle I alors : 1°) Pour tout a I  on a : 0   a a f ( x )dx 2°) Pour tous a, b et c de I tels que   a b c , on a :      c b c b a b f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 4 Remarque : Ces deux propriétés résultent directement de la définition de l’intégrale en termes d’aire. Définition 3 : Soit f une fonction continue sur   a;b , alors :    a b b a f ( x )dx f ( x )dx A partir de cette définition, on en déduit le théorème (admis) suivant : Théorème 1 : Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, contenant a,b et c, alors :      c b c a a b f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx Remarque :  Si une fonction est paire, alors d’après la relation de Chasles, on a : 0 0        a a a a f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx 0 0 0 2       a a a f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx  Si une fonction est impaire, alors d’après la relation de Chasles, on a : 0 0        a a a a f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx 0 0 0      a a f ( x )dx f ( x )dx Théorème 2 : Linéarité de l’intégrale Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant a et b, alors pour tous les réels α et β, on a :       b b b a a a ( f g)( x )dx f ( x )dx g( x )dx Exemple : soit une fonction f continue sur   0 1 , définie par : 5 3   f ( x ) x² x. 1 0 5 3      b b a a f ( x )dx x²dx xdx . Or on a vu par avec la quadrature de la parabole que : 1 0 1 3  x²dx Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 5 Quand à la deuxième intégrale, il s’agit de l’aire d’un triangle rectangle de côté 1 donc : 1 0 1 2  xdx On en déduit alors que : 1 0 1 1 1 5 3 3 2 6    f ( x )dx u.a. Théorème 3 : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle   a;b  (a b). 1°) Positivité : Si 0  f sur   a;b alors : 0   b a f ( x )dx 2°) Intégration d’une inégalité : Si  f g sur   a;b alors :    b b a a f ( x )dx g( x )dx 3°) Inégalité de la moyenne :    x a;b ,   m f ( x ) M alors      b a m(b a) f ( x )dx M(b a) Exemple : Encadrement de l’intégrale suivante : 9 0 1 1  dx. x On encadre la fonction sur   0 9 , : 0 9 0 3 1 1 4 1 1 9 4 1           x x x dx x On applique ensuite l’inégalité de la moyenne : 9 0 1 1 9 0 1 9 0 4 1       ( ) dx ( ) x Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 6 9 0 9 1 9 4 1     dx x Théorème 4 : Soit une fonction f continue sur un intervalle  a;b . Il existe alors un réel    c a;b tel que : 1   b a f (c) f ( x )dx b a On pose alors : =f(c) qui est appelée valeur moyenne de fonction. Théorème 7 : soit f une fonction continue sur un intervalle I. soit un réel  a I . La fonction F définie sur I par :  x a F( x ) f (t )dt est alors l’unique primitive de f sur l qui s’annule en a. Règles d’intégration : Du fait des règles de deriviation et de la linéarisation de l’intégrale, on en déduit les règle suivantes en reprenant comme constante d’intégration k=0 : Primitive de la somme       (u v) u v Primitive du produit par un scalaire    (ku) k u Primitive de u’u’’ 1 1     n n u u'u n Primitive de u' u n≠1 1 1 1       n n u' u (n )u Primitive u' u 2   u' u u 1°) Calcul à partir d’une primitive Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 7 Théorème 8 : f est une fonction uploads/Litterature/ magazine-integrale-enonce.pdf