Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Exercice 1 1) l’ordre de la matrice A = est : a- 2x 3 b- 3 x 2 c- 3 x 3 2) Soit

Exercice 1 1) l’ordre de la matrice A = est : a- 2x 3 b- 3 x 2 c- 3 x 3 2) Soit la matrice A= = alors le système (S) associe à A est : a- b- c- 3) Le produit de la matrice suivant : est : a - b- c- 4) le déterminant de la matrice A= est : a- (-3). b- (-1). c-( 3) 5) l’inverse de cette matrice A = est : a- b- c- Lycée Taha Hussein Mégrine Série de Mathématique Mme Jaballah Rim 4ème éco Matrice et système linéaire ( −1 −2 3 0 1 1 2 2 −2) ( x y z) ( −2 1 3 ) −x + 4y −3z = −2 y + z = 1 2x + 2y −2z = 3 −x −2y + 3z = −2 y + z = 1 2x −2y −2z = 3 −x + 2y + 3z = 2 y + z = 1 2x + 2y + 2z = 3 ( −1 0 3 0 1 1 2 2 −2) × ( 1 0 1) ( −4 −1 4 ) ( −1 −4 −4 0 −1 1 2 2 −2) (−4 −1 4) ( −1 0 3 0 1 1 0 1 −2) 1 −3 3 3 −7 6 3 −3 5 ( −1 0 3 0 1 1 0 1 −2) 1 −3 6 6 −8 12 3 −3 4 ( −1 0 3 0 1 1 0 1 −2) ( 0 2 1 −1 4 5) MME Jaballah Exercice 2 On donne la matrice A= 1)Calculer A2 et en déduire que A2 – A = 2I3 avec I3 est la matrice identité. 2) Sans calculer le déterminant de la matrice A, prouver que A est inversible. 3) Déterminer La matrice inverse de A, qu’on notera A-1. 4) a)Calculer le déterminant de A. b) En utilisant la méthode de Cramer résoudre le système suivant : Exercice 3 On donne les matrices A = et B= 1) Vérifier que B = A + 4I3. 2) Calculer dét(A) et en déduire que A est inversible. 2 3) a) Calculer A . b) Vérifier que A2 + 5A = –4I3. c) En déduire que A(B + I3) = –4I3 et déterminer la matrice inverse de A. Exercice 4 Soient les matrices A = et C = 1) Calculer dét(A) et en déduire que A est inversible. 2) a- Déterminer B = C-2A puis AxB. b- En déduire A-1 la matrice inverse de A. 3) Une entreprise fabrique des jouets qui nécessitent pour : • Un camion: 2 kg de bois et 3heures de travail. • Un pantin: 1 kg de bois et 4 heures de travail. • Un chien à traîner : 2 kg de bois et 2 heures de travail. ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0) y + z = −1 x + z = −2 x + y = −3 ( −3 1 1 1 −3 1 0 1 −3) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1) ( 2 1 2 3 4 2 1 1 1) 6 3 −2 5 8 6 1 1 7 MME Jaballah Cette entreprise veut utiliser pendant une journée exactement 100kg de bois, 175 heures de travail et que l’on fabrique 60 objets au total. On note x, y et z respectivement le nombre de camions, pantins et chiens à traîner fabriqués. a) Traduire ces informations en un système (S) de 3 équations à 3 inconnus, y et z. b) Résoudre, alors, par un calcul matriciel , le système (S) et déduire le nombre de camions, pantins et chiens à traîner fabriqués par cette entreprise. Exercice 5 1) Si un réel et M = une matrice d’ordre 2 alors pour quel valeur de , M est-elle inversible. 2) On considère la matrice A définie par A = a- Calculer A2 - A. b- En déduire la matrice inverse de A. 3) Résoudre le système suivant (S): Exercice 6 1) On considère les matrices P = et Q = a - Calculer PxQ. b - En déduire que la matrice P est inversible et que P-1 = 2) Une usine fabrique trois modèles de carte graphique A, B et C. Pour chaque modèle, elle utilise trois types de circuits C1, C2 et C3. Le tableau ci-dessous donne le nombre de circuits nécessaires pour la fabrication de chaque modèle de cartes: En une journée , cette usine a utilisé 235 circuits de type C1 , 65 circuits de type C2 et 80 circuits de type C3 pour fabriquer des cartes graphiques des trois modèles A, B et C. α ( α 4 1 α + 3) α ( −2 1 2 3) { 3x −10y = −1 −2x + 8y = 2 5 7 9 1 2 3 2 2 3 0 −3 3 3 −3 −6 −2 4 3 0 −1 1 1 −1 −2 −2 3 4 3 1 A B C C1 5 7 9 C2 1 2 3 C3 2 2 3 MME Jaballah Déterminer le nombre de cartes graphiques pour chacun des modèles A, B et C au cours de cette journée. Exercice 7 Partie A Soit A une matrice carrée tel que (avec I la matrice unité) 1°/ a) Montrer que A est inversible et déterminer l'inverse A en fonction de A b) Exprimer alors et en fonction de A ou 2°/ Application :On donne A= a) Calculer en déduire que A est inversible et déterminer l'inverse de A b) En déduire alors (sans calcul) ; et l'inverse de Partie B On donne les matrices : ; et 1°/ Montrer que M² N + I et que 2°/ a) Verifier que : b) En déduire que M est inversible et déterminer l'inverse de la matrice M 3°/ On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la courbe représentant la fonction f définie par passe par les points a) Démontrer que les entiers a, b et c qu’on cherche vérifient le système (S): b) Ecrire sous forme matricielle le système S c) Résoudre ce système puis déterminer les entiers a, b et c A2 = −I A3 A4 I ( −3 −5 2 3 ) A2 A−1 A3 A4 A2 M = ( 1 1 1 1 −1 1 4 2 1 ) N = 5 2 3 4 3 1 10 4 6 I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1) = M3 = 20 10 11 12 2 9 42 20 21 M3 −M2 −8M = 6I M−1 f(x) = ax² + bx + c A(1,1), B(−1; −1) et C(2; 5) x + y + z = 1 x −y + z = −1 4x + 2y + z = 5 MME Jaballah Exercice 8 Partie A : On note I = la matrice identité de l’ensemble des matrices d’ordre 3. On donne la matrice M = 1) Calculer . 2) Démontrer l'égalité (E) suivante : = M + 2I. 3) Utiliser l’égalité (E) pour : a) Calculer M3 . b) Démontrer que : 4) En déduire que M est inversible et déterminer sa matrice inverse M-1 . Partie B Une entreprise fabrique trois produits X1, X2 et X 3 à partir de trois unités de production U,V et W> - La fabrication d’un produit X1 consomme une unité V et une unité W. - La fabrication d’un produit X2 consomme une unité U et une unité W. - La fabrication d’un produit X3 consomme une unité U et une unité V. Un programme de fabrication est défini par les trois valeurs : - x la quantité de produits X1 fabriquée . - y la quantité de produits X2 fabriquée. - z la quantité de produits X3 fabriquée. Sachant que l’entreprise dispose d’un stock de 5 unités U , 12 unités V et 13 unités W. On cherche à déterminer, s’il existe, un programme de fabrication qui épuise exactement le stock disponible. 2) Montrer que la situation se traduit par le système (S) : 2) Donner l' écriture matricielle de (S) 3) Résoudre l’équation matricielle obtenue . 4) Existe-il , en justifiant, un programme de fabrication qui épuise exactement le stock disponible ?. M2 M2 1 2 M(M −1) = 1 y+ z = 5 x+ z = 12 x+ y = 13 MME Jaballah Exercice 9 Partie A Une usine fabrique trois articles A, B et C. Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de quatre produits différents P1, P2, P3 et P4. La fabrication de chacun des produits nécessite trois ressources : du travail (T) ; des matières premières (M) et de l'énergie (E). Les deux tableaux suivants présentent les quantités de produits utilisés pour produire chaque article A, B ou C et les coûts des ressources, exprimés en D.T, nécessaires à la fabrication de chaque produit. 1°/ On considère les matrices suivantes a) Calculer le produit P=F×R et P ×S uploads/Litterature/ mat-rice.pdf