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Outils mathématiques 1 1 Éléments d’analyse vectorielle 1.1. Systèmes de coordo

Outils mathématiques 1 1 Éléments d’analyse vectorielle 1.1. Systèmes de coordonnées ∗cartésien x y z M O vecteur position : # » OM = x# » e x + y # » e y + z # » e z déplacement élémentaire : d# » ℓ= dx# » e x + dy # » e y + dz # » e z volume élémentaire : dτ = dxdydz ∗cylindriques x y z M O θ ρ z # » OM = ρ# » e ρ + z # » e z d# » ℓ= dρ# » e ρ + ρdθ# » e θ + dz # » e z dτ = ρdρdθdz        x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z ∗sphériques x y z M O ϕ θ r # » OM = r# » e r d# » ℓ= dr# » e r + rdθ# » e θ + r sin θdϕ# » e ϕ dτ = r2 sin θdrdθdϕ        x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ 2 1.2. Notions de champs Un champ est une grandeur physique déﬁnie en tout point et à tout instant dans un certain domaine de l’espace et du temps : il peut s’agir d’un champ scalaire, tel que le champ de pression ou de température dans un ﬂuide, la fonction d’onde d’une particule sans spin, d’un champ vectoriel tel que le champ électromagnétique, le champ des vitesses dans un ﬂuide en mouvement. Pour décrire le mouvement d’une particule classique il n’est pas néces- saire d’introduire la notion de champ car celle-ci ne possède que trois degrés de liberté. Par contre, si on s’intéresse à des systèmes possédant une inﬁnité de degrés de liberté, un ﬂuide par exemple, le recours aux champs s’impose. D’un point de vue mathématique un champ est une application de (x, y, z, t) ∈R4 vers un certain espace vectoriel normé et dérivable. a. Lignes de champ, tube de champ Un champ vectoriel # » A(x, y, z) se visualise au moyen de ses lignes de champ. On construit une ligne de champ en partant d’un point M0 et en se déplaçant d’une quantité ds dans la direction du champ # » A(M0) déﬁni en ce point. En répétant le processus, on décrit une ligne polygonale for- mée des points Mi déﬁnis de proche en proche par # » MiMi+1 = # » A(Mi)ds. En faisant tendre ds →0 on obtient la ligne de champ associée au champ de vecteurs # » A passant par le point M0. Par construction, en tout point d’une ligne de champ la tangente est colinéaire au champ qui existe en ce point : # » Ads = d# » ℓ où d# » ℓest le déplacement élémentaire sur la ligne de champ. le champ # » A(x, y, z) étant donné, on obtient le système diﬀérentiel du premier ordre # » Ads = d# » ℓ donnant l’équation des lignes de champ sous forme paramétrée x = x(s), y = y(s), z = z(s). On peut aussi traduire la colinéarité par # » A ∧ d# » ℓ= 0 qui conduit au système 3 dx Ax = dy Ay = dz Az donnant l’équation des lignes de champ sous forme implicite. Si le champ est donné en coordonnées sphériques, le système diﬀérentiel à intégrer devient dr Ar = rdθ Aθ = r sin θdϕ Aϕ Exemples • # » A = # » r . Les lignes de champ sont des droites passant par l’origine. • # » A = # » ω ∧# » r avec # » ω vecteur constant. En passant en cordonnées cartésiennes avec # » ω = ω # » e z, nous avons # » A =    0 0 ω   ∧    x y z   =    −ωy ωx 0    Comme Az = 0 les lignes de champ sont toutes contenues dans les plans z = Const L’équation des lignes de champ se réduisent à dx Ax = dy Ay = dx −ωy = dy ωx d’où xdx + ydy = d(x2 + y2) = 0. ce sont des cercles centrés sur l’origine. On appelle tube de champ un cylindre dont les génératrices sont des lignes de champ. b. Opérateurs diﬀérentiels Gradient Soit f(x, y, z) un champ scalaire. Connaissant f au point # » r et ses déri- vées, on déduit sa valeur au point # » r + # » h par le développement de Taylor généralisé : 4 f(# » r + # » h) = f(# » r ) + ∂f ∂xhx + ∂f ∂y hy + ∂f ∂z hz ! + 1 2 ∂2f ∂x2 h2 x + 2 ∂2f ∂x∂y hxhy + ∂2f ∂y2 h2 y + · · · ! + · · · (1) La variation de f en ce point est : δf(# » r ) = f(# » r + # » h) −f(# » r ) = ∂f ∂xhx + ∂f ∂y hy + ∂f ∂z hz ! + 1 2 ∂2f ∂x2 h2 x + 2 ∂2f ∂x∂y hxhy + ∂2f ∂y2 h2 y + · · · ! + · · · (2) Lorsque # » h devient inﬁnitésimale, on écrit # » h = d# » ℓ, la diﬀérentielle 1 de f se confond avec le terme du premier ordre dans la variation δf (termes d’ordre supérieurs négligés). d f = ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz = # » ∇f · d# » ℓ (3) où on a déﬁnit le gradient de f au point r noté # » ∇f ou # » grad f # » ∇f = ∂f ∂x # » e x + ∂f ∂y # » e y + ∂f ∂z # » e z (4) C’est un champ vectoriel. De la relation : d f = # » ∇f · d# » ℓ (5) 1. La déﬁnition de la diﬀérentielle s’écarte de celle donnée en Mathématiques où il s’agit d’application linéaire tangente. Jugée peu rigoureuse la notion d’inﬁnitésimal a été bannie des Mathématiques modernes mais elle reste très utile en Physique pour manipuler des petites quantités. 5 on déduit # » ∇f dans un système de coordonnées quelconques. Par exemple, pour une fonction f(r, θ, ϕ) exprimée en coordonnées sphériques et en notant # » G = # » ∇f, on aura d f = ∂f ∂r dr + ∂f ∂θ dθ + ∂f ∂ϕdϕ = # » G · d# » ℓ= Grdr + Gθrdθ + Gϕr sin θdϕ d’où, l’expression du gradient en coordonnées sphériques # » ∇f = ∂f ∂r # » e r + 1 r ∂f ∂θ # » e θ + 1 r sin θ ∂f ∂ϕ # » e ϕ (6) On peut aussi introduire l’opérateur «nabla» # » ∇= # » e x ∂ ∂x + # » e y ∂ ∂y + # » e z ∂ ∂z (7) qui agit à droite sur une fonction f(x, y, z) pour donner son gradient en ce point : # » ∇(f) = # » ∇f. L’opérateur nabla ne doit s’employer qu’avec les coordonnées cartésiennes. Propriétés • Le gradient pointe dans la direction de l’accroissement maximal de f Traçons une sphère de rayon dℓautour d’un point # » r . En posant d# » ℓ= # » ndℓnous avons d f = (# » ∇f · # » n)dℓ. La variation de f est donc maximale dans la direction où # » n est colinéaire à # » ∇f. Par exemple, si f désigne l’altitude depuis le niveau de la mer, le gradient de f donne au point considéré la direction par où la pente est la plus forte. • Le gradient est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles. Une surface équipotentielle ou iso-f est une surface sur laquelle f garde la même valeur. Si M est un point de cette surface et dℓun petit dépla- cement sur la surface à partir de ce point, nous avons d f = # » ∇· dℓ= 0. Le gradient au point M est donc perpendiculaire à la surface équipoten- tielle. 6 • Un point où # » ∇f = 0 est appelé point stationnaire, il peut représenter un sommet (maximum), un creux (minimum) ou un col (ou une selle de cheval). • Si A, B, C sont trois points inﬁniment proches et d f1 = f(B) −f(A), d f2 = f(C)−f(B) des accroissements de f, alors d f1+2 = f(C)−f(A) = d f1 + d f2. Il s’ensuit que sur un chemin quelconque menant du point A au point B Z B A # » ∇f · d# » ℓ= Z B A d f = f(B) −f(A) Exemples ∗Si f = f(r) alors d’après (6) uploads/Litterature/ outils-maths.pdf