Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

L’enseignement de la proportionnalité à la liaison primaire-secondaire 80 Chapi

L’enseignement de la proportionnalité à la liaison primaire-secondaire 80 Chapitre 3 : Kit 2 : Proportionnel ou non ? 1. Principaux éléments mathématiques en jeu Pour pouvoir résoudre correctement un problème et utiliser les outils de résolution les plus efficaces, il est impératif que les enfants perçoivent la relation qui existe (ou non) entre deux grandeurs. Il n’est pas concevable d’appliquer les procédures propres à la proportionnalité, telles que le rapport interne, le rapport externe ou les propriétés de linéarité, à des problèmes qui ne relèvent pas de cette catégorie. Il est donc primordial de confronter assez rapidement les enfants à des problèmes de non-proportionnalité afin d’aiguiser leur esprit de réflexion et d’analyse de manière à éviter l’usage abusif du modèle multiplicatif. Parmi les problèmes pouvant donner aux enfants l’illusion de la proportionnalité, nous en avons pointé trois en particulier : ceux qui révèlent une situation additive (ou autre …), ceux qui font intervenir une fonction affine et ceux qui traitent de proportionnalité inverse. 1.1 Situations additives (ou autres…) L’exemple même d’un problème donnant l’illusion de la proportionnalité est le suivant : Pour faire sécher 8 essuies sur une corde à linge, il faut 24 minutes. Dans les mêmes conditions d’ensoleillement, combien de temps faudra-t-il pour faire sécher 32 linges sur une corde ? Il n’est pas rare de voir des enfants utiliser aveuglément le rapport 4 existant entre 8 et 32 pour l’appliquer aux 24 minutes et déduire ainsi que le temps nécessaire est de 96 minutes… C’est le ‘bon sens’ et leur vécu qui doit les faire réfléchir sur la pertinence de leur raisonnement. Il faut attirer leur attention sur l’absence de relation entre les deux grandeurs en jeu : le nombre d’essuies et le nombre de minutes. L’exemple ci-dessous fait intervenir les mêmes nombres que le problème précédent. Pierre a 8 ans et Aline a 24 ans. Lorsque Pierre aura 32 ans, quel sera l’âge d’Aline ? Ici encore, l’utilisation automatique du modèle multiplicatif conduit à une réponse erronée. Pourtant, il existe dans ce cas une relation entre les grandeurs concernées (les âges des protagonistes). Cette relation n’est plus de type multiplicatif mais bien additif puisque Aline aura toujours 16 ans de plus que Pierre. Ces deux types de ‘relation’ entre les grandeurs ne sont pas très complexes pour les enfants puisqu’elles concernent des situations de la vie quotidienne. Elles offrent pourtant l’avantage non négligeable d’être en opposition avec les problèmes de proportionnalité, même avec ceux qui font intervenir les mêmes nombres ! Noémie et son père font une promenade à pied. Lorsque son père fait 8 pas, Noémie doit en faire 24. Lorsque son père fera 32 pas, combien Noémie devra-t-elle en faire ? L’enseignement de la proportionnalité à la liaison primaire-secondaire 81 1.2 Fonctions affines La relation proportionnelle entre deux grandeurs se représente, dans un système d’axes gradués (un graphique), par une droite passant par l’origine : Les valeurs des deux grandeurs sont multiples les unes des autres et leur relation peut être mathématisée par une fonction du type f(x) = a x, appelée fonction linéaire. Un autre type de relation est celle représentée par une droite ne passant pas par l’origine : Elle peut s’écrire sous la forme d’une fonction de type f(x) = a x + b, appelée fonction affine. Ces deux types de fonction sont étudiés dans le secondaire et il n’est pas inutile que les enfants les rencontrent dès le primaire au travers, par exemple, de problèmes du type : Une entreprise de location propose 2 options pour louer un scooter: 1ère option: 20€ par jour 2ème option: 100€ la première semaine puis 25€ la journée supplémentaire. Si je loue un scooter pendant 4 jours, quelle est l’option la plus avantageuse ? Et si je le loue pendant 8 jours ? Les réponses peuvent être obtenues par les enfants en construisant un tableau reprenant le prix en fonction du nombre de jours de location : Nombre de jours de location 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Prix payé avec la 1ère option 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Prix payé avec la 2ème option 100 100 100 100 100 100 100 125 150 175 Grandeur 2 f(x) Grandeur 1 x Grandeur 2 f(x) Grandeur 1 x L’enseignement de la proportionnalité à la liaison primaire-secondaire 82 Ensuite, si l’enseignant construit avec les enfants une représentation graphique du problème, ils verront apparaître deux types de relation, entre le nombre de jours de location et le prix payé, selon l’option choisie : la première concerne une fonction linéaire (le prix est égal au nombre de jours multiplié par 20), la deuxième une fonction constante d’abord (pendant les 7 premiers jours) et affine ensuite (puisque même en prolongeant la droite, elle ne passe pas par l’origine des axes). Le graphique obtenu est donc du style : 1.3 Proportionnalité inverse Examinons le problème suivant : Un fermier a 6 vaches et suffisamment de foin pour les nourrir pendant 36 jours. S’il n’avait eu que 2 vaches, pendant combien de jours aurait-il pu les nourrir avec la même quantité de foin ? Trop de précipitation conduirait les enfants à diviser 36 par 3 (puisque le nombre de vaches est divisé par 3) et à répondre 12 ! Ce n’est évidemment pas le cas puisque dans ce problème, les deux grandeurs ne varient pas de la même manière : quand une augmente, l’autre diminue (dans le même rapport) et inversement. Elles sont inversement proportionnelles. Si on traduit cette relation en terme de fonction, elle sera du type f(x) = a 1 x . L’important est ici de faire prendre conscience aux enfants que les grandeurs sont liées par un autre type de relation et qu’elles ne varient pas dans ‘le même sens’. En faisant l’impasse sur la formalisation (réservée au secondaire lors de l’étude des fonctions), il est important de proposer ce genre de problèmes aux enfants du primaire de manière à les familiariser avec ces relations rencontrées par ailleurs dans la vie courante : Pour essuyer toute la vaisselle, trois personnes mettent 30 min. Combien de temps mettrais-je pour la faire seul ? Prix f(x) Nombre de jours de location x Option 1 Option 2 L’enseignement de la proportionnalité à la liaison primaire-secondaire 83 2. Items d’évaluation Voici une série d’exercices pouvant servir de point de départ à la construction d’une épreuve diagnostique permettant d’évaluer le niveau de compréhension et de réflexion des élèves de manière à leur proposer des activités plus adéquates. Pour faciliter la lecture, nous les avons classés selon leur spécificité. A. Proportionnel ou non ? Problème 1 Antonio a pris deux fois le même taxi. La première fois, le trajet était de 5 km et il a payé 8€. La seconde fois, le trajet était de 20 km et il a payé 25€. Le prix de la course est-il proportionnel à la longueur du trajet ? Problème 2 Voici un tableau décrivant le lien entre des longueurs de pied et les pointures des chaussures correspondantes. S’agit-il d’une situation de proportionnalité ? Explique ton raisonnement. Longueur du pied en cm 18 22 26 28 Pointure 27 33 39 42 Problème 3 Le tableau ci-dessous donne le tarif des péages d'autoroute à régler entre différentes villes françaises. Indiquer si le prix est proportionnel à la distance parcourue et pourquoi. ville départ Reims Paris Marseille Paris Reims ville arrivée Paris Rennes Nice Bordeaux Lyon distance parcourue km 140 340 197 575 482 prix € 12 29 17 50 41 Problème 4 Olivier et Cédric sont deux frères. On a indiqué ci-dessous leurs âges respectifs à différentes dates. Leurs âges sont-ils proportionnels ? Explique ton raisonnement. Âge d’Oliver 10 15 17 20 Âge de Cédric 13 18 20 23 Problème 5 A 8 ans, Jean avait 24 dents. A 32 ans, combien Jean aura-t-il de dents ? Problème 6 Pour faire sécher 8 essuies sur une corde à linge, il faut 24 minutes. Dans les mêmes conditions d’ensoleillement, combien de temps faudra-t-il pour faire sécher 32 linges sur une corde ? Problème 7 Noémie et son père font une promenade à pied. Lorsque son père fait 8 pas, Noémie doit en faire 24. Lorsque son père fera 32 pas, combien Noémie devra-t-elle en faire ? L’enseignement de la proportionnalité à la liaison primaire-secondaire 84 Problème 8 ( Source : Résoudre des problèmes : pas de problème !) Le fermier Gus a besoin d’environ 4 jours pour creuser un fossé autour d’un pâturage carré de 100 m de côté. Combien lui faudra-t-il de jours pour creuser un fossé autour d’un pâturage carré de 300 m de côté ? Le fermier Carl a besoin d’environ deux heures pour répandre du fumier sur un terrain carré de 20 m de côté. Combien de temps lui faudra-t-il pour étendre du fumier sur un terrain carré de 60 mètres de côté ? Problème 9 Justine et Hélène courent à la même vitesse. Justine est partie en premier. Quand elle a parcouru 9 tours, Hélène uploads/Litterature/ recherches-en-education-rapport-final-articulation-entre-l-enseignement-fondamental-et-l-enseign-ressource-2717-pdf.pdf