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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Séries numériques Luc Rozoy,

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Séries numériques Luc Rozoy, Bernard Ycart Disons-le tout net, ce chapitre n’est pas indispensable : d’ailleurs, vous ne verrez pas vraiment la diﬀérence avec les suites. Normal, il n’y en a pas. Alors pourquoi l’étudier ? Au moins pour être sûr que vous ayez bien assimilé la notion de limite : si vous avez bien compris la convergence des suites, vous ne devriez pas avoir de problème ici. Les séries sont très proches des intégrales sur un intervalle non borné, et nous y ferons allusion à plusieurs reprises. Vous apprendrez plus tard qu’il s’agit de deux cas particuliers du même objet. Cependant, vous n’êtes pas du tout obligés d’avoir assimilé les intégrales pour comprendre les séries. Table des matières 1 Cours 1 1.1 Déﬁnitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Séries à termes positifs ou nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Critères de Cauchy et de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Sommes de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Entraînement 22 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Compléments 43 3.1 De Zénon d’Élée à von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Le théorème de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 La série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 De seriebus divergentibus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Vous avez le choix ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 29 avril 2014 Maths en Ligne Séries numériques UJF Grenoble 1 Cours 1.1 Déﬁnitions et propriétés Déﬁnition 1. Soit (un)n∈N une suite de réels ou de complexes. On appelle série de terme général un, et on note P un la suite des sommes partielles, (sn)n∈N, où pour tout n ∈N, sn = u0 + · · · + un = n X i=0 ui . Comme premier exemple de série, observons le développement décimal d’un réel strictement compris entre 0 et 1. x = 0, a1a2 . . . an . . . , où pour tout n, an ∈{0, 1, . . . , 9} . Cette écriture correspond en fait à la série de terme général an 10n. La somme partielle sn est l’approximation décimale par défaut à 10−n près. Voici les 50 premières décimales de q 1 2. s 1 2 = 0.70710678118654752440084436210484903928483593768847. . . Les nombres décimaux s1 = 0.7, s3 = 0.707, s6 = 0.707106 sont des sommes partielles de la série. Les deux séries les plus souvent utilisées sont la série géométrique et la série expo- nentielle. Série géométrique Le terme général d’une série géométrique est un = rn. Les sommes partielles ont une expression explicite. sn = n X i=0 ri = 1 + r + · · · + rn =        n + 1 si r = 1 1 −rn+1 1 −r si r ̸= 1 Série exponentielle Le terme général de la série exponentielle est un = 1/n!, où n! (factorielle) désigne le produit des entiers de 1 à n. Par convention, 0! = 1. Les sommes partielles sn sont des rationnels mais n’ont pas d’expression explicite. Observons que n’importe quelle suite (sn)n∈N peut être vue comme une série, de terme général un = sn −sn−1, pour n ⩾1 et u0 = s0. Dans la plupart des cas, les sommes partielles n’ont pas d’expression explicite, et c’est souvent pour cela que l’on parle de série plutôt que de suite. 1 Maths en Ligne Séries numériques UJF Grenoble Déﬁnition 2. On dit que la série P un converge vers s si la suite des sommes partielles converge vers s, qui est appelée somme de la série. +∞ X n=0 un = s ⇐ ⇒lim n→∞ n X k=0 uk = s . Dans le cas contraire, on dit que la série diverge. Par exemple, le réel x est la limite de ses approximations décimales, et aussi la somme de la série P an 10n. La série géométrique P rn converge si et seulement si |r| < 1. Dans ce cas, la somme est 1 1−r. |r| < 1 = ⇒ +∞ X n=0 rn = 1 1 −r . La somme de la série exponentielle est le nombre e, dont le logarithme népérien vaut 1. +∞ X n=0 1 n! = e ≃2.71828 . Voici un exemple de série dont les sommes partielles sont explicitement calculables. +∞ X n=0 1 (n + 1)(n + 2) = 1 . En eﬀet, un = 1 (n + 1)(n + 2) = 1 n + 1 − 1 n + 2 donc u0 + u1 · · · + un = 1 −1 2 + 1 2 −1 3 + · · · + 1 n + 1 − 1 n + 2 = 1 − 1 n + 2 , et +∞ X n=0 1 (n + 1)(n + 2) = lim n→∞1 − 1 n + 2 = 1 . Considérons une série P un et déﬁnissons la fonction en escalier f sur [0, +∞[ par : ∀n ∈N , ∀t ∈[n, n + 1[ , f(t) ≡un . La somme partielle sn est l’intégrale de f sur l’intervalle [0, n+1]. La série P un converge si et seulement si l’intégrale R +∞ 0 f(t) dt converge (voir ﬁgure 1). +∞ X n=0 un = Z +∞ 0 f(t) dt . 2 Maths en Ligne Séries numériques UJF Grenoble u n n n+1 Figure 1 – Somme d’une série, vue comme l’intégrale d’une fonction en escaliers sur [0, +∞[. Réciproquement, l’intégrale d’une fonction quelconque sur [0, +∞[ peut être vue comme la somme de la série dont le terme général est l’intégrale sur [n, n+1[. Nous utiliserons par la suite cette parenté entre séries et intégrales. Comme la convergence d’une intégrale ne dépend que du comportement de la fonc- tion à l’inﬁni, la convergence d’une série ne dépend pas de ses premiers termes. Changer un nombre ﬁni de termes d’une série ajoute une même constante à toutes les sommes partielles à partir d’un certain rang. Cela ne change pas la nature, convergente ou divergente. Si elle est convergente, sa somme est évidemment modiﬁée. Par exemple : +∞ X n=1 1 n! = e −1 . Le fait de calculer la somme d’une série à partir de n = 0 est purement conventionnel. On peut toujours eﬀectuer un changement d’indice pour se ramener à uploads/Litterature/ serie.pdf