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Tout ce que vous n’avez jamais voulu savoir sur le χ2 sans jamais avoir eu envi

Tout ce que vous n’avez jamais voulu savoir sur le χ2 sans jamais avoir eu envie de le demander Julien Barnier Groupe de Recherche sur la Socialisation CNRS – UMR 5040 julien.barnier@ens-lyon.fr 26 janvier 2011 Table des matières 1 Introduction 3 1.1 À propos de ce document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Mode d’emploi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Le test du quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Et sinon, ça sert à quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 L’hypothèse d’indépendance 5 2.1 Petits rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 L’indépendance des lignes et des colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Calculer l’indépendance 8 3.1 Le biais d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Contraintes sur les marges du tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Calculs des eﬀectifs théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Calcul du χ2 d’un tableau 13 4.1 Observons les écarts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Variations à l’échelle d’une cellule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3 χ2 partiels et χ2 du tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4 Les degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.5 Le calcul ﬁnal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.6 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Interprétation 22 5.1 Résumé des épisodes précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2 Valeur du p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.3 Le test du χ2 est symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.4 Le test du χ2 dépend du découpage en modalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.5 Le test du χ2 dépend des eﬀectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.6 Le test du χ2 ne mesure pas l’intensité de la dépendance . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.7 Les résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6 Limites 30 6.1 Fausse limite : quand les eﬀectifs théoriques sont trop faibles . . . . . . . . . . . . 30 6.2 Vraie limite : les variables cachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7 Raﬃnements 33 7.1 Le V de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.2 La correction de continuité de Yates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.3 Le test exact de Fisher pour les tableaux 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 8 Aide-mémoire 36 2 Partie 1 Introduction 1.1 À propos de ce document Ce document a pour ambition d’essayer de présenter les principes du test statistique dit « test du χ2 », autant que possible de manière pas trop rébarbative. On insistera très peu sur le mode de calcul eﬀectif (tous les logiciels de statistiques actuels s’en chargent bien mieux que nous) et beaucoup plus sur les concepts sur lesquels le test repose. La version de référence de ce document ainsi que le code source L AT EX sont disponibles à l’adresse : http://alea.fr.eu.org/pages/khi2 Tous les ﬁchiers relatifs à ce document sont diﬀusés sous licence Creative commons. Contributions : nos remerciements à Denis Duplan pour sa remarque sur l’utilisation des carrés des écarts, et à Julien Biaudet pour avoir pris le temps de nous signaler plusieurs coquilles. 1.2 Mode d’emploi À l’image de son titre, ce document est long. Très long. Trop long. La lecture intégrale de ce document pourrait avoir des conséquences en termes d’équilibre psychique et d’exacerbation de sentiments agressifs à l’égard de son prochain que nous ne saurions évaluer de manière parfaitement rigoureuse. Le principe de précaution nous dicte donc de prévoir des modes de lecture alternatifs. Voici donc un plan rapide de ce qui suit aﬁn que ceux qui le souhaitent n’aient pas à supporter la lecture de l’ensemble : – la partie 2 présente l’hypothèse d’indépendance, qui est au cœur du test du χ2. La partie 3 présente la manière dont cette hypothèse d’indépendance se traduit par le calcul d’un tableau d’eﬀectifs théoriques ; – la partie 4 présente les diﬀérentes étapes de calcul du χ2 d’un tableau et les résultats qu’on peut en tirer ; – la partie 5 se penche sur l’interprétation qui peut être faite des résultats du χ2, et notamment sur les facteurs qui inﬂuencent la valeur du test ; – la partie 6 aborde les limites liées au test et qu’il faut prendre en compte dans l’interprétation ; uploads/Litterature/ theorie-du-khi2.pdf