1 UNIVERSITE MARIEN NGOUABI FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DEPARTEMENT DE P

1 UNIVERSITE MARIEN NGOUABI FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE LICENCE DE PHYSIQUE THEORIE DES CHAMPS Paul-Sand Moussounda Année universitaire 2014-2015 2 Chapitre 1 Formalisme tensoriel Pour aborder la théorie des champs, il est utile de développer un formalisme mathématique qui sera à la base de cette nouvelle théorie. Ce formalisme est celui des tenseurs. Les tenseurs ont été introduits par les mathématiciens italiens Ricci et Levi-Civita. Dans ce chapitre on introduit les tenseurs et on présente les rudiments de base du calcul tensoriel. Mais avant d’en arriver là, il est indispensable de faire un retour à la Relativité restreinte. 1. Quadrivecteurs En Relativité restreinte, le cadre spatio-temporel est décrit par la transformation spéciale de Lorentz qui permet d’exprimer les coordonnées (x’, y’, z’, t’) d’un événement dans le référentiel galiléen (ou inertiel) R’ en fonction des coordonnées (x, y, z, t) du même événement dans la référentiel inertiel R : x’ = (x – βct), y’ = y , z’ = z, t’ = γ(t -   ) (1.1) avec : β =   et γ = 1  1.1. Composantes contravariantes et covariantes d’un vecteur Soit, E, un espace vectoriel (au sens mathématique du terme) et soit  les vecteurs de base. Soit   un vecteur de cet espace. L’expression du vecteur   dans la base de vecteurs  s’écrit :   = ∑  (1.2) Les coefficients  (avec indice en haut) sont, par définition, les composantes contravariantes du vecteur  . On définit les composantes covariantes  (avec indice en bas) du vecteur   dans la même base par :  =  .   (1.3) On peut établir le lien entre  (composantes covariantes) et  (composantes contravariantes) d’un même vecteur :  =  .   = (∑  ).   = ∑  .   (1.4) Soit :  = ∑   = ∑   (1.5) 3 avec :   = .   =  .  =  (1.6) en vertu du caractère commutatif du produit scalaire. D’où :  = ∑  (1.7) Remarque : 1. Le coefficient  porte le nom de tenseur fondamental qui joue un rôle important dans tous les calculs tensoriels (on précisera au paragraphe suivant la définition d’un tenseur) 2. En relativité restreinte,  est appelé tenseur métrique (on précisera son expression dans les prochains paragraphes) 3. En Relativité générale, Einstein lui a donné le nom de potentiel de gravitation. 4. Souvent, pour alléger l’écriture, on abandonne le signe Σ dans l’équation (1.7) ; ce qui s’écrit :  =   (1.8) 5. On peut effectuer la transformation inverse de la relation (1,8) :  =   (1.9) Il est facile de trouver le lien entre gµν et gνµ. En effet :  =   avec  =   d’où :  =    Soit :  .   = 1 (1.10) D’une manière générale, on écrira la relation (1,9) sous la forme :  .   =   (1.11) où les symboles   sont de simples symboles de Kronecker tels que :   = 1  μ 0  # μ $ (1.12) 6. Avec ces notations, le produit scalaire de deux vecteurs s’écrit simplement :  .%  = % = % (1.13) 4 1.2. Quadrivecteur-rayon C’est le quadrivecteur-rayon, noté , de composantes contravariantes & = x,  = y, ' = z, ( = ict (1.14) Dans l’espace-temps de Minkowski. On le notera symboliquement  = (  , ict) = (x, y, z, ict) (1.15) Pour des variations infinitésimales des coordonnées, on a : ) = (dx, dy, dz, icdt) (1.16) Dans une transformation spéciale de Lorentz, les composantes contravariantes du quadrivecteur-rayon se transforment comme il suit : * +& & , - ( +  +' ' +( (  - & $ (1.17) Cette relation (1,17) peut s’écrire de façon générale : + = .   (1.18) avec : /. 0 1  0 0 - 0 1 0 0 0 - 0 0 1 0 0  2 (1.19) La transformation inverse peut à priori s’écrire :  .3&  + (1.20) La matrice inverse .3& s’obtient en changeant en – dans les expressions précédentes. Nous verrons qu’en fait l’utilisation de cette matrice inverse n’est pas indispensable. Remarque 1. Les notations du quadrivecteur-rayon sont diverses. Celle que nous adoptons ici est celle de Minkowski, utilisée aussi par Pauli. Certains auteurs (en particulier les Francophones ou Francophiles) préfèrent  5, &,  , ' 78, , %, 9. Dans ce inertiel : 5 * +5 5  & +& &  5 +  +' ' $ (1.21) 2. Examinons maintenant la loi de transformation des composantes covariantes. Pour cela, définissons un « nouveau tableau de nombres » . par : + .  (1.22) On note, tout de suite, que . est forcément différent de .  . On peut établir le lien entre . et .  à partir de l’invariance du « produit » scalaire : +%+ % (1.23) avec : + . :  : et %+ . ;%; (1.24) On en déduit donc : . :  :. ;%; % :%;; : (1.25) D’où : . :  . ; ; : (1.26) Ainsi donc, dans la transformation spéciale de Lorentz, la matrice de transformation des composantes covariantes est simplement l’inverse de la matrice de transformation des composantes contravariantes. 3. Nous pouvons utiliser la relation (1.25) pour exprimer le changement de référentiel inverse sans faire intervenir la transformation .3&. En effet, à partir de la relation (1.22), on a : . :  + . :  .  :  : (1.27) et donc : : . :  + (1.28) En résumé, on a : + .  et  .  + (1.29) On peut écrire les relations similaires pour les composantes contravariantes : + .   et  . + (1.30) 1.3. Forme métrique de l’espace-temps 6 Le carré )< de l’intervalle entre deux événements infiniment voisins est défini par : )< )& , )  , )' , )( (1.31) Plus généralement, on l’écrit sous la forme : )< ))  )) (1.32)  )) (1.33) µ et ν pouvant prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, avec  0 pour µ ≠ ν,  1. La forme métrique )< est caractérisée par sa signature, c’est-à-dire l’ensemble des quatre signes + + + + des coefficients . On se rend compte qu’il n’y a plus de distinction entre composantes contravariantes et composantes covariantes avec cette métrique. Remarque Certains auteurs définissent )< de la façon suivante : )< 7 )8  )  )%  )9 (1.34) Ce qui confère une signature ,    des coefficients . Dans ces conditions les objets  et  représentant la même grandeur physique, on doit avoir : 5 5, & &,   , ' ' (1.35) 1.4.Quadrivecteurs contravariants et covariants Par définition, un quadrivecteur contravariant, =, est l’ensemble de quatre quantités (=&, = , =', =() (avec =( imaginaire pur) obéissant à la loi de transformation de Lorentz par changement de référentiel inertiel : * =+& =& , - =( =+ = =+' =' =+( =(  - =& $ (1.36) Le quadrivecteur covariant = =&, = , =', =( qui est associé à = se transforme avec la forme des équations (1.36). Remarque 7 Certains auteurs définissent le quadrivecteur contravariant = =5, =&, = , =' qui se transforme comme : * =+5 =5  =& =+& =&  =5 =+ = =+' =' $ (1.37) Le quadrivecteur covariant qui lui est associé, = =5, =&, = , =' se transforme avec la matrice inverse, on a donc : > ? @=+5 =5 , =& =+& =& , =5 =+ = =+' =' $ (1.38) 1.5.Quadrivecteurs définis en Relativité restreinte Dans le cours de Relativité restreinte (cf cours de relativité restreinte, Licence 2 de Physique), nous avons défini : • Le quadrivecteur-rayon :   , -78 (1.39) • Le quadrivecteur-vitesse : A BCD BE  F   &3 FG G ⁄ , -  &3 FG G ⁄  (1.40) • Le quadrivecteur impulsion-énergie :  IA  , - J  (1.41) avec :   KF   &3 FG G ⁄ et L KG &3 FG G ⁄ (1.42) • Le quadrivecteur-potentiel : = = (= , - M   • Le quadrivecteur courant volumique N O , -7P , avec O  ρA  (1.43) • Le quadrivecteur nabla : Q Q  ,  R  S ST (1.44) 2. Tenseurs Nous aurons à manipuler les quantités plus complexes que les quadrivecteurs. Dans un espace vectoriel, on peut définir des opérateurs linéaires, représentés dans une base convenable. Nous considérerons des objets plus généraux pouvant dépendre de plus de deux indices. De tels objets uploads/Litterature/ universite-marien-ngouabi-faculte-des-sciences-et-techniques-departement-de-physique.pdf

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