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FACULTE DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L'EDUCATION Genèse expérimentale d'un

FACULTE DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L'EDUCATION Genèse expérimentale d'une notion mathématique: la notion de division comme modèle de connaissances numériques THESE présentée à la Faculté de Psychologie et de Sciences de l'Education de l'Université de Genève pour obtenir le grade de Docteur ès Sciences de l'Education par Annick FLÜCKIGER de ROHRBACHGRABEN / BE Thèse n° 291 Genève, décembre 2000 2 FACULTE DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L'EDUCATION Genèse expérimentale d'une notion mathématique: la notion de division comme modèle de connaissances numériques THESE présentée à la Faculté de Psychologie et de Sciences de l'Education de l'Université de Genève pour obtenir le grade de Docteur ès Sciences de l'Education Didactique des Mathématiques par Annick FLÜCKIGER de ROHRBACHGRABEN / BE Membres du jury Jean BRUN, président, Université de Genève François CONNE, Université de Genève Maria-Luisa SCHUBAUER-LEONI, Université de Genève Gérard SENSEVY, IUFM de Bretagne Thèse n° 291 Genève, décembre 2000 3 Remerciements Je suis plus que redevable à Monsieur Loïc Maisonneuve, sans qui ce travail de recherche n'aurait pu avoir lieu. Son évident bonheur à enseigner, son investissement jamais démenti pour la recherche ont fait de ces années de collaboration un véritable plaisir. Je n'oublie pas non plus les élèves de ses différentes classes et leurs débats acharnés. Ces échanges lus et relus me procurent toujours un immense plaisir, celui que procure une classe dans laquelle les enfants se passionnent pour les mathématiques. A Monsieur Loïc Maisonneuve, à ses élèves ainsi qu'à l'ensemble de l'équipe enseignante de l'école qui m'a toujours bien accueillie, je tiens à dire merci. Je considère la participation de Monsieur Gérard Sensevy à mon jury de thèse comme un honneur. De sa disponibilité, de la qualité de son écoute à chacune de nos rencontres, de la pertinence de ses remarques et suggestions quant à l'avancement de mon travail, je le remercie très sincèrement. Je tiens à remercier l'ensemble des équipes de didactique des mathématiques et de didactique comparée pour l'intérêt montré pour mon travail lors des présentations faites pendant les séminaires, mais aussi pour l'aide matérielle voire morale dont j'ai bénéficié. En particulier, Monsieur Adolphe Adihou et Madame Francia Leutenegger, dans des registres et domaines différents, ont toujours su m'apporter l'aide indispensable au moment opportun, de cela je les remercie vivement. Merci à Monsieur François Conne ainsi qu'à Monsieur Alain Mercier qui ont su, par leurs conseils judicieux, m'aider à mener à bien la rédaction de ce travail. Je n'oublie pas que c'est ma rencontre avec les professeurs Maria-Luisa Schubauer-Leoni et Jean Brun qui m'a donné, dans le cadre des Sciences de l'Education, à la fois le goût et l'opportunité de faire de la recherche en didactique des mathématiques. Que je tienne à souligner la qualité scientifique de l'encadrement dont j'ai bénéficié , l'extraordinaire enrichissement intellectuel que représente le fait de travailler au quotidien avec ces deux professeurs, n'étonnera personne. Ce que je tiens par dessus tout à souligner est la qualité rare des relations humaines qu'ils savent tisser dans leurs équipes respectives de travail. Je considère comme une très grande chance d'avoir eu l'opportunité, au cours de ces dernières années, de travailler avec eux. Qu'ils en soient profondément remerciés. A Monsieur Le Professeur Jean Brun qui a accepté de diriger cette thèse et m'a permis de la mener à son terme, je tiens à redire ma profonde gratitude. A Loïc, Caroline, Cédric et François qui m'ont constamment encouragée, je dédie ce travail. 4 Sommaire Introduction _______________________________________________________________1 CADRE THEORIQUE Chapite 1. Sens et algorithme_________________________________________________7 1.1 La question du sens en didactique des mathématiques ___________________________ 7 1.1.1 Une variété de cadres théoriques __________________________________________________ 7 1.1.2 Notion de sens dans la théorie des situations________________________________________ 10 Position du problème________________________________________________________________ 10 Sens et contrat _____________________________________________________________________ 12 Des définitions du sens ______________________________________________________________ 12 1.1.3 Notion de sens dans la théorie des champs conceptuels _______________________________ 14 1.2 Notion de "problème"_____________________________________________________ 15 1.2.1 En didactique des mathématiques ________________________________________________ 16 1.2.2 Enoncés de problèmes, problèmes concrets_________________________________________ 17 1.2.3 Division - problème ___________________________________________________________ 18 1.3 Entre Sens et Algorithme : l'exemple de la division_____________________________ 19 1.3.1 Le choix de la division_________________________________________________________ 19 1.3.2 L'algorithme de division _______________________________________________________ 20 1.3.3 En didactique des mathématiques ________________________________________________ 22 1.3.3.1 Les travaux de Brousseau ____________________________________________________ 22 1.3.3.2 Des thèses centrées sur le thème de la division ____________________________________ 23 1.3.3.3 Les travaux des didacticiens à Genève. __________________________________________ 26 Chapite 2. Modèles de la didactique des mathématiques __________________________29 2.1 Petit panorama introductif_________________________________________________ 29 2.2 A propos de la Théorie des Situations ________________________________________ 30 2.2.1 Les dialectiques ______________________________________________________________ 31 2.2.2 Didactique - Adidactique_______________________________________________________ 33 2.2.3 Théorie des situations et apprentissage par adaptation ________________________________ 34 2.3 A propos de la Théorie des Champs Conceptuels ______________________________ 35 2.3.1 Thèses de base _______________________________________________________________ 35 2.3.2 Notion de schème ____________________________________________________________ 36 2.3.3 Algorithmes et schèmes________________________________________________________ 37 2.4 Objet mathématique et transposition ________________________________________ 38 Chapite 3. Temps et mémoire ________________________________________________41 3.1 Mémoire didactique ______________________________________________________ 41 3.2 Dans les disciplines voisines ________________________________________________ 44 3.3 Temps et mémoire didactiques______________________________________________ 45 3.4 Journal des Fractions _____________________________________________________ 46 Chapite 4. Problématisation_________________________________________________49 4.1 Sens____________________________________________________________________ 49 4.1.1 Sens et enseignement: remarques générales ________________________________________ 49 4.1.2 Algorithme et sens: les hypothèses faites __________________________________________ 51 4.2 Les objets de l'étude ______________________________________________________ 52 4.2.1 Genèse artificielle des connaissances numériques____________________________________ 52 4.2.2 Sous-système élève du système didactique et notion de schème_________________________ 52 4.2.3 Mémoire didactique___________________________________________________________ 53 5 MISE EN PLACE EXPERIMENTALE Chapite 5. Genèse d'une recherche ___________________________________________59 5.1 Insertion dans le cadre de la didactique des mathématiques _____________________ 59 5.2 Origine _________________________________________________________________ 60 Chapite 6. Choix méthodologiques ___________________________________________61 6.1 Théorie des situations et ingénierie didactique_________________________________ 61 6.2 Cadrage général__________________________________________________________ 63 Chapite 7. Mise en place expérimentale _______________________________________65 7.1 Description du dispositif ___________________________________________________ 65 7.2 Tableau d'ensemble des séances_____________________________________________ 67 7.3 Caractéristiques des différentes séances ______________________________________ 69 7.3.1 Les séances "de calcul" ________________________________________________________ 69 7.3.2 Les séances "journal"__________________________________________________________ 70 7.3.3 Les séances "débats" __________________________________________________________ 71 7.3.4 Le tournoi des méthodes _______________________________________________________ 72 Chapite 8. Données recueillies_______________________________________________73 8.1 Le corpus d'analyse_______________________________________________________ 73 8.2 Le traitement des données _________________________________________________ 73 8.2.1 Questions relatives au contrat de recherche_________________________________________ 74 8.2.2 Sélection des données _________________________________________________________ 75 8.2.3 Concepts clés de l'analyse ______________________________________________________ 75 8.2.4 Questions liées à la mise en place expérimentale ____________________________________ 76 ANALYSES OBSERVATOIRE DU SYSTEME DIDACTIQUE Chapite 9. Analyse du dispositif______________________________________________85 9.1 Organisation chronologique________________________________________________ 85 11.1.1 Tableau narratif ______________________________________________________________ 86 La dévolution est remise en cause. ___________________________________________________ 87 Journal - bilan, pour clore la recherche.________________________________________________ 87 9.2 Analyse du rôle des variables _______________________________________________ 88 11.1.2 Variables expérimentales_______________________________________________________ 88 Phase introductive: séances 1 à 9_______________________________________________________ 88 Phase finale: séances 36 à fin _________________________________________________________ 90 Phase médiane : séances 10 à 36 _______________________________________________________ 90 11.1.3 Variables numériques _________________________________________________________ 93 9.1.1.1 Apparition des procédures ____________________________________________________ 93 9.1.2.1 Procédures institutionnalisées _________________________________________________ 94 9.3 Le dispositif journal ______________________________________________________ 97 9.3.1 Les données _________________________________________________________________ 97 Les questions ______________________________________________________________________ 98 Les réponses écrites des élèves ________________________________________________________ 99 9.3.2 Le dispositif Journal: remarques ________________________________________________ 103 6 Chapite 10. Le système didactique ____________________________________________105 10.1 Rôle du maître __________________________________________________________ 105 10.1.1 Analyse de la première séquence________________________________________________ 105 Phase introductive _________________________________________________________________ 105 Mise en place de la situation d'action (§ 1 –18)___________________________________________ 106 Mise en place de la situation de communication (§19- 27) __________________________________ 108 Verbalisation des procédures (§ 28 – 140) ______________________________________________ 109 Clôture de la séquence (§140 – fin)____________________________________________________ 113 10.1.2 Analyse de la deuxième séquence _______________________________________________ 115 10.1.3 Conclusion_________________________________________________________________ 117 10.2 Contrat de recherche_____________________________________________________ 118 10.2.1 Contrat de recherche: pôle enseignant ____________________________________________ 118 10.2.2 Contrat de recherche: pôle élèves _______________________________________________ 121 10.2.3 Conclusion_________________________________________________________________ 125 10.3 Algorithme de division ___________________________________________________ 125 10.3.1 Diagrammes________________________________________________________________ 126 10.3.2 Diagramme et algorithme traditionnel____________________________________________ 128 10.4 Notion d'algorithme _____________________________________________________ 129 10.4.1 Algorithme de calcul: les contraintes_____________________________________________ 130 10.4.2 Choix d'un algorithme ________________________________________________________ 130 10.5 Dans le champ conceptuel de la division _____________________________________ 134 10.5.1 La soustraction______________________________________________________________ 134 Le cas STI _______________________________________________________________________ 136 Conclusion_______________________________________________________________________ 139 10.5.2 Addition et multiplication _____________________________________________________ 140 10.5.3 L'itération__________________________________________________________________ 141 ANALYSES ETUDE DU SOUS-SYSTEME ELEVE Chapite 11. Les procédures _________________________________________________145 11.1 Les procédures de recherche du quotient ____________________________________ 145 11.1.1 Variables numériques ________________________________________________________ 145 11.1.2 Les grandes classes de procédures_______________________________________________ 147 Traitement des nombres donnés ______________________________________________________ 147 1- Traitement du dividende ________________________________________________________ 147 2- Traitement du diviseur__________________________________________________________ 153 Traitement de l'opération____________________________________________________________ 155 1- Tâtonnement multiplicatif. ______________________________________________________ 155 2- Multiplication mystérieuse ______________________________________________________ 161 3- Transformation en additions et/ou soustractions______________________________________ 162 4- Algorithme traditionnel _________________________________________________________ 163 11.2 Les procédures de vérification _____________________________________________ 163 11.2.1 Vérifications _______________________________________________________________ 164 Vérification par additions répétées ____________________________________________________ 164 Vérification par multiplication________________________________________________________ 165 11.2.2 Invalidation ________________________________________________________________ 165 Invalidation d'un chiffre ou d'une partie du quotient _______________________________________ 165 Ordre de grandeur et encadrement. ____________________________________________________ 166 11.3 Remarques _____________________________________________________________ 166 7 Chapite 12. Les thèmes des débats: un indice topogénétique _______________________169 12.1 Nombres et numération __________________________________________________ 169 12.1.1 Nombres à virgule et numération________________________________________________ 171 12.1.2 Existence de nombres à virgule _________________________________________________ 173 12.2 Le résultat des divisions - problèmes________________________________________ 174 12.2.1 Quotient ___________________________________________________________________ 174 12.2.2 La question du reste__________________________________________________________ 176 12.3 Dialectique procédé de calcul / résultat______________________________________ 180 Chapite 13. Schèmes et Invariants Opératoires__________________________________183 13.1 Introduction ____________________________________________________________ 183 13.2 Schèmes et situations_____________________________________________________ 183 13.2.1 Situation de calcul ___________________________________________________________ 184 13.2.2 uploads/Management/ 1-these-fluckigera.pdf