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SUITES DE NOMBRE REELS DR EULOGE KOUAME © UVCI 2019 Fevrier 2019 Version 2 Tabl

SUITES DE NOMBRE REELS DR EULOGE KOUAME © UVCI 2019 Fevrier 2019 Version 2 Table des matières Objectifs 5 I - Généralités 7 A. Définition d'une suite....................................................................................8 B. Suite majorée, minorée, bornée...................................................................10 C. Monotonie.................................................................................................11 D. Exercice....................................................................................................12 II - Limite d'une suite 13 A. Limite finie, Limite infinie............................................................................13 B. Propriétés des limites.................................................................................14 C. Formes indéterminées................................................................................15 D. Limite et inégalités.....................................................................................16 E. Existence de Limites...................................................................................17 F. Exercice....................................................................................................18 G. Exercice....................................................................................................18 Solution des exercices 19 Bibliographie 21 Webographie 23 3 Objectifs À la fin de cette leçon, vous serez capable de:  Construire une suite de nombres ;  Connaître les conditions de convergence et la limite d'une suite . 5 I - Généralités I Définition d'une suite 8 Suite majorée, minorée, bornée 10 Monotonie 11 Exercice 12 A. Définition d'une suite Définition Une suite est une application u : ℕ→ℝ. Pour n∈ℕ, on note u(n) par un et on l'appelle n-ème terme ou terme général de la suite. La suite est notée u, ou plus souvent (un)n∈ℕ ou simplement . Il arrive fréquemment que l'on considère des suites définies à partir d'un certain entier naturel n0 plus grand que 0, on note alors . Exemple  (√n)n≥0 ,estla suite determes :0,1,√2 ,√3 ,...  (-1)n, est la suite qui alterne +1, -1, +1, -1,. . . Définition : Suite Extraite Soit une suite (un)n∈ℕ. On appelle suite extraite de un toute suite (uσ(n))n∈ℕ, où σ est une application strictement croissante de N dans N. Exemple  u2n et u2n+1 sont des suites extraites de un. Avec σ(n) respectivement égale à 2n et 2n+1  un2 est une suite extraite de un; avec σ(n)= n2 7 B. Suite majorée, minorée, bornée Définition Soit (un)n∈ℕ une suite:  (un)n∈ℕ est majorée si ∃M ∈ℝ,∀n∈ℕ,un⩽M .  (un)n∈ℕ est minorée si ∃m∈ℝ,∀n∈ℕ,un≥m .  (un)n∈ℕ est bornée si elles est majorée et minorée c'est a dire ∃M ∈ℝ,∀n∈ℕ,|un|⩽M . Illustration C. Monotonie Définition Étudier la monotonie d'une suite, revient a étudier son sens de variation: sa croissance ou sa décroissance. Il peut arriver qu'elle soit ni croissante ni décroissante. Dans ce cas on dira qu'elle est non monotone. Soit (un)n∈ℕ une suite:  (un)n∈ℕ est croissante si ∀n∈ℕ,un+1≥un.  (un)n∈ℕest strictement croissante si ∀n∈ℕ,un+1>un.  (un)n∈ℕest décroissante si ∀n∈ℕ,un+1⩽un.  (un)n∈ℕstrictement décroissante si ∀n∈ℕ,un+1<un.  (un)n∈ℕ est monotone si elle est croissante ou décroissante.  (un)n∈ℕ est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. Illustration : exemple d'une suite croissante ( mais pas strictement croissante) Généralités 8 Remarque : Astuces pour étudier la monotonie  (un)n∈ℕ est croissante si et seulement si ∀n∈ℕ,un+1−un≥0.  Si est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si ∀n∈ℕ, un+1 un ≥1 . Exemple  La suite (un) définie par un=(-1)n/n pour n>1, n'est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par 1/2 et minorée par -1.  La suite ( 1 n) n≥1 est strictement décroissante car . Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle est minorée par 0 mais cette valeur n'est jamais atteinte.  est strictement croissante car D. Exercice 1. La suite ( n (n+1))n∈ℕ est-elle monotone ? Est-elle bornée ? 2. La suite ( (nsin (n!)) (1+n 2) )n∈ℕ est elle bornée? 3. Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. (a) (un)n∈ℕest majorée par 7. (b) (un)n∈ℕest constante. (c) (un)n∈ℕest strictement positive à partir d'un certain rang. (d) (un)n∈ℕn'est pas strictement croissante. 4. Est-il vrai qu'une suite croissante est minorée ? Majorée ? Généralités 9 5. Soit x > 0 un réel, montrer que la suite ( x n (n!))n∈ℕ est décroissante à partir d'un certain rang Généralités 10 II - Limite d'une suite II Limite finie, Limite infinie 13 Propriétés des limites 14 Formes indéterminées 15 Limite et inégalités 16 Existence de Limites 17 Exercice 18 Exercice 18 A. Limite finie, Limite infinie Soit (un)n∈ℕ une suite. Définition : Limite finie La suite (un)n∈ℕ a pour limite un réel l si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel N tel que n> N alors |un-l| < ε. ∀ε≥0,∃N ∈ℕ,∀n∈ℕ,(n≥N ⇒|un−l| ⩽ε). On dit aussi que la suite (un)n∈ℕtend vers l . Autrement dit un est proche d'aussi près que l'on veut de l a partir d'un certain rang. Définition : Limite infinie 1. La suite (un)n∈ℕ tend vers + ∞ si : ∀A>0,∃N ∈ℕ,∀n∈ℕ,(n≥N ⇒un≥A). 2. La suite (un)n∈ℕ tend vers - ∞ si : ∀A>0,∃N ∈ℕ,∀n∈ℕ,(n≥N ⇒un≤−A). 11 Définition Une suite (un)n∈ℕ est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon (c'est-à-dire soit la suite tend vers + ∞ ou - ∞ , soit elle n'admet pas de limite). On parlera de la limite, si elle existe, car il y a unicité de la limite : Proposition 1. Si une suite est convergente, sa limite est unique. B. Propriétés des limites Proposition 2. Toute suite convergente est bornée. Remarque La réciproque est fausse. Exemple de la suite (-1)n qui est bornée mais non convergente car égale à 1 si n pair et -1 si n impair Proposition 3. Si un est convergente, toute suite extraite de un converge et tend vers la même limite. Méthode La contraposée de cette proposition permet de montrer qu'une suite diverge : il suffit pour cela d'en extraire deux suites qui convergent vers deux limites différentes. ( illustration par la remarque précédente). Exemple : un= (-1)n La suite extraite u2n = 1 et la suite extraite u2n+1 =-1. comme les deux suites extraites convergent vers deux limites différentes donc un diverge. Proposition 4. (Opérations sur les limites) Limite d'une suite 12 Proposition 5. (Opérations sur les limites infinies) Exemple la suite tend vers +∞ donc la suite tend vers 0. Proposition 6. Si la suite un est bornée et limn +∞ → vn = 0 alors limn +∞ → (un × vn) = 0. Exemple Si un = cos(n) et vn = (1/√n) alors limn +∞ → (un × vn) = 0. Car la suite cos(n) est bornée par -1 et 1. Et la suite tend vers 0. C. Formes indéterminées Dans certaines situations, on ne peut rien dire à priori sur la limite d'une suite, il faut faire une étude au cas par cas pour déterminer la convergence ou pas. Ces cas sont appelés formes indéterminées. Quelques exemples : Limite d'une suite 13 Exemple D. Limite et inégalités Proposition 7. Exemple En utilisant le théorème de Gendarme , calculer la limite de la suite pour tout n non nul. Limite d'une suite 14 E. Existence de Limites Proposition 8. - Toute suite croissante et majorée est convergente - Toute suite décroissante et minorée est convergente Définition : Suites adjacentes On dit que deux suites réelles un et vn sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et si limn +∞ → (un - vn) = 0. Proposition 9. Deux suites réelles adjacentes sont convergentes et ont la même limite. Exemple : et . On vérifie bien que un est croissante et vn est décroissante ( faites la vérification). Et tends bien vers 0. Donc un et vn adjacentes. On déduit donc que les deux tendent vers la même limite qui est égale a 1. Complément : Limites utiles Soit a un reel > 1 et n un entier ≥ 1 lim n→∞ a n n k =+∞. lim n→∞ n! a n =+∞. lim n→∞ n n n! =+∞. Limite d'une suite 15 F. Exercice [Solution n°1 p 17] Soient un et vn deux suites réelles et a un réel. Quelles sont les assertions vraies ? si (|un|) converge vers 0, alors (un) converge vers 0. si (|un|) converge vers a , alors (un) converge vers a ou -a . si (un) converge vers a , alors (|un|) converge vers | a |. si (un) est a termes strictement positif, alors la limite a est strictement positif. si (vn) converge vers 0, alors (unvn) converge vers 0. G. Exercice [Solution n°2 p 17] Soit (un) une suite réelle. Les énoncés suivants sont-ils exacts ? Si (un) converge, alors elle est monotone Si (un) diverge, alors elle est monotone Si (un) diverge, alors elle est non bornée Si (un) est croissante et majorée, alors elle converge. Limite d'une suite 16 Solution des exercices > Solution n°1 (exercice p. 16) si (|un|) converge vers 0, alors (un) converge vers 0. voir la définition de la convergence si (|un|) converge vers a , alors (un) converge vers a ou -a . un =(-1)n contredit. effet (|un|) converge vers 1 mais comme on l'a vu un diverge. si (un) converge vers a , alors (|un|) converge vers | a |. continuité de la fonction valeur absolue si (un) est a termes strictement positif, alors la limite a est strictement positif. 1/n converge vers 0 bien que tous ses terme soient strictement positifs si (vn) converge vers 0, alors (unvn) converge vers 0. la suite 1/n converge vers 0 mais il n'en est pas de même pour la suite > Solution n°2 uploads/Management/ ana-l1-suite-papier.pdf