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Université des Sciences et de la Technologie d’Oran –Mohamed Boudiaf– Faculté d

Université des Sciences et de la Technologie d’Oran –Mohamed Boudiaf– Faculté de Génie Electrique Département d’Electronique Polycopié de Travaux Pratiques : Méthodes Numériques Licence 2ème Année Filières : Electronique / Génie Biomédical / Télécommunication Année universitaire 2016‐2017 Dr. S. Karoui Avant-propos Ce polycopié se trouve être un support pédagogique de travaux pratiques, destiné aux étudiants de 2ème Année des Licences LMD assurées au département d’électronique. Ce polycopié regroupe un certain nombre de méthodes étudiées dans les différents chapitres du cours de méthodes numériques. L’objectif de ces TP est d’implémenter sous MATLAB les différentes méthodes pour les comparer et mieux les comprendre. Références 1‐ C. Brezinski, Introduction à la pratique du calcul numérique, Dunod, Paris 1988. 2‐ G. Allaire et S.M. Kaber, Algèbre linéaire numérique, Ellipses, 2002. 3‐ G. Allaire et S.M. Kaber, Introduction à Scilab. Exercices pratiques corrigés d'algèbre linéaire, Ellipses, 2002. 4‐ G. Christol, A. Cot et C.‐M. Marle, Calcul différentiel, Ellipses, 1996. 5‐ M. Crouzeix et A.‐L. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles, Masson, 1983. 6‐ S. Delabrière et M. Postel, Méthodes d'approximation. Équations différentielles. Applications Scilab, Ellipses, 2004. 7‐ J.‐P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles. Presses Universitaires de Grenoble, 1996. 8‐ E. Hairer, S. P. Norsett et G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations, Springer, 1993. 9‐ P. G. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation, Masson, Paris, 1982. 10‐ M. Lakrib, Cours d’analyse numérique, OPU Alger 2008. 11‐ B. Demidovitch, I. Maron, Elément de calcul numérique, Ed. MIR, Moscou, 1979. Table de Matières TP 1 : Résolution des équations non linéaires 1 TP 2 : Interpolation polynômiale 5 TP 3 : Intégration numérique de fonctions 7 TP 4 : Résolution des équations différentielles ordinaires 9 TP 5 : Résolution des systèmes d’équations linéaires 11 Annexe 1 : Proposition de solution du TP 1 13 Annexe 2 : Proposition de solution du TP 2 17 Annexe 3 : Proposition de solution du TP 3 19 Annexe 4 : Proposition de solution du TP 4 21 Annexe 5 : Proposition de solution du TP 5 25 Module : Méthodes Numériques TP 1 : Résolution des équations non linéaires Durée du TP : 2 séances de 1h30 But du TP : Durant ce TP, nous allons mettre en œuvre les algorithmes des méthodes de résolution des équations non linéaires étudiées pendant le cours : la bipartition, Regula-Falsi, les approximations successives et Newton-Raphson. Rappel sur les différentes méthodes : La bipartition : 1‐ Existence et unicité de la solution : Si la fonction %&'( est définie et continue et strictement monotone sur l’intervalle (a, b) et que %&*( + %&,( - 0, alors %&'(=0 n’a qu’une solution '. dans cet intervalle. 2‐ Approximation de la solution: On calcule c par l’expression : / 0 * 1 , 2 On compare ensuite %&/( avec %&*( et %&,( pour déterminer l’intervalle de la solution et on recommence le calcul de c itérativement jusqu'à ce que : |'3 4 '356| - ε . Le nombre n d’itérations nécessaire pour avoir une approximation de la solution à ε près est : 9 : ;<=>?@A B C ;<=&D( Université des Sciences et de la Technologie d’Oran MB Faculté de Génie Électrique – Département d’Electronique Licence LMD L2 (Semestre 4) Filières : Electronique / Génie Biomédical / Télécommunication Dr. S. Karoui TP Méthodes Numériques 2 Regula-Falsi On calcule c par l’expression : / 0 * . %&,( 4 , . %&*( %&,( 4 %&*( On compare ensuite %&/( avec %&*( et %&,( pour déterminer l’intervalle de la solution et on recommence le calcul de c itérativement jusqu'à ce que : |'3 4 '356| - ε . Les approximations successives Il faut réécrire l’équation %&'( 0 0 sous la forme ' 0 E&'(, La condition de convergence suffisante mais pas nécessaire est : |E &'(| - 1 FGHIJGHJ ' K L* ,M Pour approximer la solution de l’équation On part de la valeur initiale 'N 0 O, On calcule itérativement les valeurs de '3 par : '3 0 E&'356( Les critères d’arrêts peuvent être |'3 4 '356| - ε |'3 4 '356| |'3| - ε |%&'3(| - ε Newton-Raphson L’algorithme de Newton-Raphson est : '3Q6 0 '3 4 %&'3( %R&'3( Dr. S. Karoui TP Méthodes Numériques 3 Les critères d’arrêts peuvent être |'3 4 '356| - ε |'3 4 '356| |'3| - ε |%&'3(| - ε Méthodologie : Pour mettre en œuvre les algorithmes, nous allons écrire des programmes (scripts) sous Matlab. Un script (ou .m) est un fichier ASCII qui contient une succession d’instructions et d’opérations, et exécutable depuis la fenêtre de commande ou de la fenêtre d’édition. Pour écrire un script, il suffit de sélectionner l’icône « New Script » dans le menu principal du Matlab. A l’ouverture d’une fenêtre d’édition (Editor), on saisit le programme puis on le sauvegarde dès qu’on termine. Pour l’exécuter, on appui sur le triangle vert (Run) depuis la fenêtre d’édition ou bien en tapant le « nom du programme » depuis la fenêtre de commande (Command Window). On rappelle, la syntaxe des structures de contrôle et de répétition: ‐ L’instruction de testifs’écrit comme suit : if condition1 action1 elseif condition2 action2 … else action3 end ‐ Les boucles : • La boucle for : forcompteur = valeur_initiale : incrément : valeur_finale action end • la boucle while : while condition action end Pour avoir une aide instantanée sur une commande Matlab, l’étudiant peut taper la commande « help » suivie du nom de la commande, dans la fenêtre de commande de Matlab (Command Window). Dr. S. Karoui TP Méthodes Numériques 4 Manipulations : Partie A : Rappel sur le tracé de graphiques 2D à l’aide de la fonction ‘plot’ 1. Former une liste de valeurs (un vecteur) x allant de 0 à 2×pi avec un pas de pi/20 ; 2. Calculer y = cos(x) et z = sin (x) ; 3. Tracer la courbe de y = cos(x) ; 4. Tracer la courbe de z = sin (x) ; 5. Tracer les deux courbes dans un même graphe. La fonction graphique plot( ) peut contenir plusieurs couples de points : plot (a,b,a,c,a,d) trace les courbes de b, c, et d en fonction de a ; 6. Exécuter les commandes suivantes : ‐ xlabel (‘Abcisses’) ; ‐ ylabel(‘Ordonnées’) ; ‐ title(‘Les fonctions Cos et Sin’) ; ‐ grid ‐ legend(‘cosinus’,’sinus’) ; Partie B : Résolution des équations non linéaires Soit à résoudre l’équation : %&'( 0 ' 1 2 ln&'( 0 0 Gù ' K M0 , 1 ∞L a) Tracer le graphe W 0 %&'( sur un intervalle tel qu’il vous permet de localiser la solution de l’équation. b) Localiser la solution dans le plus petit intervalle M* , ,L possible. 1. Ecrire un script, que vous appellerez « bipart.m » qui implémente la méthode de bipartition suivant les étapes : ‐ Initialiser les limites du domaine de recherche a et b ; ‐ Initialiser un compteur d’itération k à 0 ; ‐ Ecrire l’algorithme de bipartition en incrémentant le compteur k à chaque passage de boucle ; ‐ Arrêter la boucle quand la largeur du domaine devient X 1055 ; ‐ Afficher la solution calculée ainsi que le nombre d’itérations. 2. Ecrire un autre script, que vous appellerez « RegFal.m » qui implémente la méthode de Regula-Falsi. Il faut faire attention ici au critère d’arrêt. En effet, la précision n’est pas comparée à la largeur du domaine final, comme en (1), mais c’est la différence entre deux valeurs consécutives de la solution. 3. Ecrire un autre script, que vous appellerez « Newton.m » qui implémente la méthode de Newton-Raphson. L’arrêt des itérations se fera de la même manière que dans la manipulation (2). 4. Ecrire un autre script, que vous appellerez « AppSuc.m » qui implémente la méthode des approximations successives. Pour cela, on doit réécrire l’équation sous la forme' 0 E&'(, en assurant la convergence de l’algorithme. L’arrêt des itérations se fera de la même manière que dans la manipulation (2). 5. Comparer les différentes méthodes implémentées. Module : Méthodes Numériques TP 2 : Interpolation polynômiale Durée du TP : 1 ou 2 séances de 1h30 But du TP : Le but de ce TP est l’implémentation des algorithmes d’interpolation étudiés au cours sous Matlab, il sera ensuite question d’étudier un phénomène qui se produit lorsque l’on augmente le nombre de points de collocation. Manipulations : A. La méthode de Lagrange Soit une fonction $%&' ( )%&' définie sur l’intervalle [a ,b] avec : a = 3.50 b = 3.70 Ecrire un programme qui : ‐ Détermine le pas d’interpolation pour un nombre ‘n’ donné de sous intervalles (n = 4) ; ‐ Remplit un tableau avec les coordonnées des points d‘appui ; ‐ Interpole la fonction $%&' pour , ( -. ./ en utilisant la méthode de Lagrange. Pour rappel, l’algorithme de Lagrange est comme suit : 0 1%&' ( 2 34. 54%&' 6ù 54%&' ( 8 %& 9 &4' %&4 9 & :' 1 :;<,:=4 1 4;< ‐ Refaire l’exécution pour n = uploads/Management/ analyse-numeriqie-pdf.pdf