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Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, bo

Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr Introduction à l’analyse numérique Deuxième année de licence Préambule L’analyse numérique a commencé bien avant la conception des ordinateurs et leur utilisa- tion quotidienne que nous connaissons aujourd’hui. Les premières méthodes ont été dévelop- pées pour essayer de trouver des moyens rapides et efﬁcaces de s’attaquer à des problèmes soit fastidieux à résoudre à cause de leur grande dimension (systèmes à plusieurs dizaines d’équations par exemple), soit parce qu’il n’existe pas solutions explicites connues même pour certaines équations assez simples en apparence. Dès que les premiers ordinateurs sont apparus, ce domaine des mathématiques a pris son en- vol et continue encore à se développer de façon très soutenue. Les applications extraordinairement nombreuses sont entrées dans notre vie quotidienne di- rectement ou indirectement. Nous les utilisons désormais sans nous en rendre compte mais surtout en ignorant la plupart du temps toute la théorie, l’expertise, le développement des compétences et l’ingéniosité des chercheurs pour en arriver là. Nous pouvons téléphoner, communiquer par satellite, faire des recherches sur internet, regarder des ﬁlms où plus rien n’est réel sur l’écran, améliorer la sécurité des voitures, des trains, des avions, connaître le temps qu’il fera une semaine à l’avance,...et ce n’est qu’une inﬁme partie de ce que l’on peut faire. Le but de ce cours et s’initier aux bases de l’analyse numérique en espérant qu’elles éveille- ront de l’intérêt, de la curiosité et pourquoi pas une vocation. FIGURE 1 – Entre le Tintin dessiné à la main dans les années 6 par Hergé et celui mis à l’écran par Spielberg, un monde numérique les sépare. Un peu comme les premiers développements à la main des pionniers du numérique et les effets dernier cri des plus puissants des ordinateurs. i ii Table des matières Sommaire v 1 Interpolation polynomiale 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Rappels sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Interpolation d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Calculs approchés d’intégrales 15 2.1 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Méthodes construites à partir des polynômes d’interpolation . . . . . . . . . 18 2.3 Formules composées : formules de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Résolution approchée d’équations non linéaires 23 3.1 Rappels sur la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Méthode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Méthode du point ﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6 Ordre d’une méthode itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.7 Systèmes d’équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 Résolution approchée d’équations différentielles 37 4.1 Rappel sur les équations différentielles et le problème de Cauchy . . . . . . . 39 4.2 Simulations numériques des EDO : schémas explicites . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Problèmes raides et schémas implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5 Optimisation : méthode du gradient 63 5.1 L’exemple du sac à dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 iii TABLE DES MATIÈRES iv Liste des ﬁgures 1 Tintin et Spielberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1.1 Mathématiciens et interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1 Mathématiciens et approximation intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1 Mathématiciens et équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.1 Mathématiciens et shémas des EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Karl Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 John Butcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1 Mathématiciens et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 v LISTE DES FIGURES vi Chapitre 1 Interpolation polynomiale L’ordinateur a l’intelligence de celui qui s’en sert. Anonyme Sommaire 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Rappels sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Avec les polynômes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Forme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 Erreur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4 Interpolation composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Interpolation d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ analyse-numerique-pdf.pdf