UNIVERSITE MOHAMED BOUDIAFDE-M’SILA Faculté des Mathématiques et de l’Informati

UNIVERSITE MOHAMED BOUDIAFDE-M’SILA Faculté des Mathématiques et de l’Informatique Département de Mathématiques Domaine : Mathématiques et Informatique Filière : Mathématiques Master : Analyse Fonctionnelle Cours polycopié pour le module Analyse Fonctionnelle 2. Dahmane Achour E-mail: dahmane.achour@univ-msila.dz Année 2019-2020 Table des matières 0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Espaces de suites classiques et son dual. 3 1.1 Espaces de suites `1; `p et c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Dualitè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Dual topologique de lq(Duaux des espaces de suites classiques) . . . . . . . 10 1.5 Bidual d’un espace normè et espaces rè‡exifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Les énoncés d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Topologies faibles et faibles* 19 2.1 Rappel sur la topologie la moins …ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 La topologie faible (E; E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Topologie faible, ensembles convexes et opérateurs linéaires . . . . . . . . . 28 2.4 La topologie faible (E; E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Espaces ré‡exifs et topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Quelques classe d’opérateurs 35 3.1 Compacité dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Applications linéaires compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Opérateurs de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 0.1 Introduction Cours polycopié pour le module Analyse Fonctionnelle II. Dahmane Achour. E-mail : dahmane.achour@univ-msila.dz Le présent polycopié reprend un cours de première année Master ”Analyse Fonction- nelle” donné à l’Université de Mohamed Boudiaf-M’sila pendant les années 2018-2020. Ce cours vise à fournir aux étudiants les propriétés essentielles concernant les espaces de suites classiques `1; `p et c0, la topologie faible et quelques classes d’opérateurs (com- pacts, Hilbert Schmidt). Comme tout cours de Mathématique, il doit être lu avec un stylo et une feuille de papier blanche à la main pour véri…er pas à pas que toutes les assertions sont correctes. Chaque chapitre de ce cours se termine par des exercices non corrigés. Objectifs. Le but de ce cours est de fournir les outils d’analyse fonctionnelle nécessaires et largement utilisées dans l’analyse mathématique. Il a aussi pour objectif fondamental de guider l’étudiant dans la résolution des problèmes parfois di¢ciles. Connaissances préalables recommandées. Il est conseillé de connaitre les notions de base de la topologie générale et de l’analyse fonctionnelle. Mode d’évaluation : a) une épreuve écrite. b) Travail continu. Les livres dont il est largement inspiré sont :  H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial di¤erential equations, Springer New York Dordrecht Heidelberg London. 2011.  N. E. Hassan. Topologie générale et espaces normés, Dunod Malako¤, 2011.  Isabelle Chalendar et Emmanuel Fricain. Compléments en analyse. Cours et exer- cices. Master- Mathématiques pures. Cours de l’année 2011-2010. http ://math.univ- lille1.fr/~fricain/enseignement.html  B. Maurey. Analyse fonctionnelle et théorie spéctrale ”MT04”. Cours de l’année 2001- 2002. https ://webusers.imj-prg.fr/~bernard.maurey/ts012/poly/mths.pdf 2 Chapitre 1 Espaces de suites classiques et son dual. L’essentiel du cours 3 1.1 Espaces de suites `1; `p et c0 Nous noterons S l’espace de toutes les suites x = (xn)n2N réelles ou complexes. S =  x = (xn)n2N : xn 2 K; 8n 2 N : L’ensemble S est un espace vectoriel lorsqu’il est muni de la loi d’addition (+) x + y = (xn)n + (yn)n = (xn + yn)n et le loi (:) x =  (xn)n = (xn)n où  2 C: Dé…nitions 1.1.1 1. Pour 1  p < 1, on désigne par `p l’espace vectoriel des suites des scalaires x = (xn)n pour lesquelles la série P n1 jxnjp est convergente. `p = ( x = (xn)n 2 KN : X n1 jxnjp < 1 ) : Pour tout x = (xn)n 2 `p, on pose kxkp = ( X n1 jxnjp) 1 p 2. Pour p = 1; on désigne par `1 l’espace vectoriel des suites de scalaires bornées. `1 = fx = (xn)n est bornéeg Pour tout x = (xn)n 2 `1, on pose kxk1 = sup n2N jxnj 3. On désigne par c l’espace vectoriel de `1, formet des suites convergente. c = n x = (xn)n 2 KN : xn ! n o 4 4. On désigne par c0 l’espace vectoriel de `1, formet des suites qui converge vers 0 c0 = n x = (xn)n 2 KN : xn ! n 0 o 5. On designe par cc le sous espace vectoriel de c0, formet des suites dont tous les termes sont nuls souf un nomber …nie. Pour tout entier n  1, soit en = (n;k)k1 2 cc ou n;k le symbole de kroncker dé…nie par n;k = 8 < : 1 si k = n 0 si k 6= n Autrment dit, en est la suite dont le termes d’indice n vout 1,et tous les termes sont nuls. On a les propriétés suivantes. Proposition 1.1.2 1) Pour tout p 2 [1; +1], lp est un espace vectoriel et l’application x ! kxkp est une norme sur lp. 2)  lp; k
kp  est un espace de Banach. 3) (c0; k
k1) est un espace de Banach. 4) Pour tout p 2 [1; +1[, on a cc  lp  c0  l1: 5) Pour tous p; q 2 [1; +1[, on a lp  lq ( ) p  q 6) Pour tout 1  p  q < 1, alors pour tout x = (xn)n 2 lp; on a kxk1  kxkq  kxkp : 5 Proposition 1.1.3 Soit 1  p  1, et p l’exposant conjugue de p (1 = 1 p+ 1 p), pour tout x 2 `p; y 2 `p, la serie (note x:y) de terme génerale (xnyn)n, est absolument convergente (i.e xy 2 `1), et on a l”inégalité de Hölder kxyk1  kxkp : kykp i.e. P n1 jxnynj  (P n1 jxnjp) 1 p(P n1 jynjp) 1 p, en particuler l’ application bilinèaire lp  lp ! l1 (x; y) 7! xy = (xnyn)n est continue et de norme 1. Corollaire 1.1.4 Soit 0  p; q; s  1; 1 s = 1 p + 1 q; x 2 lp et y 2 lq, alors on a x:y 2 ls, et kx:yks  kxkp kykq : Théorème 1.1.5 (Inegalité de Hölder géneralisé) soit 0  p; q  1; 1 r  1 p + 1 q; x 2 lp; y 2 lq, alors on a xy 2 lr,et kx:ykr  kxkp kykq : 1.2 Séparabilité Dé…nition 1.2.1 On dit qu’un espace topologique E est séparable s’il existe une partie dénombrable D  E qui soit dense dans E. Exemple 1.2.2 1. Les espaces R et C sont séparables (par exemple,Q est un sous- ensemble dénombrable dense dans R). Plus généralement, tout fermé de C est sépa- rable (exercice) 6 2. Tout espace normé de dimension …nie est séparable : si F est un espace vectorielde dimension …nie sur R et si (x1; :::; xn) est une base de F, uploads/Management/ polycopie-af-2020-achour-dahmane-master-1.pdf

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• Publié le Mar 20, 2022
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