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B.T.S. Informatique de Gestion Epreuve obligatoire – Session 2 005 Page n° 1 Ex

B.T.S. Informatique de Gestion Epreuve obligatoire – Session 2 005 Page n° 1 Exercice 1 (8 points) Les parties A, B et C sont indépendantes. Toutes les valeurs arrondies seront données à 10-3 près. Partie A En France, le nombre d'abonnements à l'Internet haut débit est donné, en millions, dans le tableau suivant : Période 1er trimestre 2003 2ème trimestre 2003 3ème trimestre 2003 4ème trimestre 2003 1er trimestre 2004 x = rang de la période 1 2 3 4 5 y = nombre d'abonnements en millions 2,236 2,450 2,790 3,524 4,406 Source ART : Autorité de Régulation des Télécommunications. 1. Recopier et compléter le tableau suivant, les résultats seront arrondis au millième. x = rang de la période 1 2 3 4 5 z = ln y 2. Donner le coefficient de corrélation de z en x. Que peut-on en conclure ? 3. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de z en x. Aucun calcul intermédiaire n'est exigé. 4. En supposant la même progression de l'Internet haut débit, estimer le nombre d'abonnements en millions au troisième trimestre 2 004. 5. Exprimer y en fonction de x sous la forme y = A eB x où A et B sont des réels arrondis au millième. Partie B En janvier 2 003, une enquête dans une université a montré que 7 % des étudiants disposaient personnellement de l'Internet haut débit. On interroge 100 étudiants. On suppose que l'effectif de l'université est suffisamment important pour que les interrogations soient considérées comme indépendantes. Soit X la variable aléatoire qui mesure le nombre d'étudiants disposant de l'Internet haut débit. 1. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2. Calculer la probabilité p(X = 5). 3. On admet que X peut être approchée par une variable X1 suivant une loi de Poisson. a. Quel est le paramètre de cette loi de Poisson ? b. Déterminer les probabilités p(X1 = 5) et p(X1 > 7). c. Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 5 étudiants disposant de l'Internet haut débit. Partie C En septembre 2 004, une enquête semblable a montré que 50 % des étudiants disposaient de l'Internet haut débit. On interroge 100 étudiants. Soit Y la variable aléatoire qui mesure le nombre d'étudiants disposant de l'Internet haut débit. 1. Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2. On admet que Y peut être approchée par une variable aléatoire Y1 suivant une loi normale. a. Justifier que Y1 suit la loi normale N(50 ; 5). b. Déterminer la probabilité p(45 ≤ Y1 ≤ 55). c. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 40 étudiants disposant de l'Internet haut débit. On calculera p(Y1 ≥ 39,5). B.T.S. Informatique de Gestion Epreuve obligatoire – Session 2 005 Page n° 2 Exercice 2 (3 points) Le responsable du parc informatique d'une entreprise envisage l'acquisition de nouveaux ordinateurs. Pour s'équiper, ce responsable s'adresse à une entreprise de vente de matériel informatique qui propose des configurations prédéfinies (ordinateur et périphériques). On définit les critères suivants : a : la configuration comprend un graveur de DVD ; b : la configuration comprend une imprimante ; c : la configuration comprend un scanner. Les contraintes d'équipement excluent les configurations avec graveur DVD mais sans scanner ainsi que les configurations sans graveur et sans imprimante. 1. Donner une expression booléenne E traduisant les conditions d'exclusion d'une configuration. 2. Dresser le tableau de Karnaugh de E. 3. Traduire l'expression booléenne a bc sous forme d'une phrase et préciser si la configuration considérée peut être acceptée. 4. A partir de la table de Karnaugh obtenue précédemment, donner l'expression F simplifiée traduisant l'acceptation d'une configuration. 5. La phrase "les configurations acceptées sont celles qui comportent soit un graveur et un scanneur soit pas de graveur et une imprimante" traduit-elle l'expression booléenne F ? Exercice 3 (9 points) Soient f et g les fonctions définies sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ par : f (x) = 3 x e-x et g(x) = (3 + x) e-x . On notera C et Γ leurs représentations graphiques respectives dans le plan muni d'un repère O ; i , j avec les unités graphiques 1 cm sur l'axe des abscisses et 3 cm sur l'axe des ordonnées. 1. Déterminer la limite de f en + ∞, puis étudier les variations de f sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [. 2. Déterminer la limite de g en + ∞, puis étudier les variations de g sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [. 3. Déterminer une équation de la tangente ∆ à la courbe C au point d'abscisse x = 0. Tracer ∆. 4. Tracer les courbes C et Γ dans le repère O ; i , j . 5. Soit h la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par h(x) = g(x) – f (x). a. Résoudre h(x) = 0. b. Etudier le signe de h(x) sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [. c. En déduire les coordonnées exactes du point d'intersection I de C et Γ et les positions relatives de ces deux courbes. 6. Vérifier que la fonction H définie sur l'intervalle par H(x) = (2 x – 1) e- x est une primitive de h sur cet intervalle. 7. Calculer en cm2, l'aire A de la partie du plan comprise entre les courbes C et Γ et les droites d'équation x = 0 et x = 3 2 . On donnera la valeur exacte de A et sa valeur arrondie au centième. B.T.S. Informatique de Gestion Epreuve obligatoire – Session 2 005 Eléments de correction Page n° 1 Exercice 1 Partie A 1. Tableau : x = rang de la période 1 2 3 4 5 z = ln y 0,805 0,896 1,026 1,260 1,483 2. Le coefficient de corrélation de z en x est : r ≈ 0,983. Ce coefficient est proche de 1, donc l'ajustement affine de z en fonction de x est bon. 3. A l'aide de la calculatrice, on trouve : z = 0,172 x + 0,578. 4. Le troisième trimestre 2 004 correspond à x = 7. On en déduit : z = 0,172 x 7 + 0,578 = 1,782. Il reste à résoudre : ln y = 1,782. Par conséquent : y = e1,782 ≈ 5,942. Le nombre d'abonnements au troisième trimestre 2 004 est : 5,942 millions. 5. Puisque : ln y = 0,172 x + 0,578, on en déduit : y = e0,172 x + 0,578 = e0,172 x . e0,578 ≈ 1,782 e0,172 x. Partie B 1. Les interrogations des étudiants sont considérées comme indépendantes. On répète 100 fois la même épreuve dans les mêmes conditions. Chaque épreuve a seulement deux possibilités : - l'étudiant dispose de l'Internet haut débit avec la probabilité p = 0,07 - l'étudiant ne dispose pas de l'Internet haut débit avec la probabilité q = 1 – p. Donc X suit la loi binomiale B(100 ; 0,07). 2. p(X = 5) =  100 5 ×0,07 5 ×1 –0,07 100−5 ≈ 0,128. 3. a.Le paramètre de cette loi de Poisson est : λ = n p = 100 x 0,07 = 7. b. p(X1 = 5) = 0,128 p(X1 > 7) = 1 - ( p(X1 = 0) + p(X1 = 2) + p(X1 = 3) + p(X1 = 4) + p(X1 = 5) + p(X1 = 6) + p(X1 = 7)) = 1 – (0,001 + 0,006 + 0,022 + 0,052 + 0,091 + 0,128 + 0,149 + 0,149) = 0,402 c. p(X1 ≤ 5) = p(X1 = 0) + p(X1 = 2) + p(X1 = 3) + p(X1 = 4) + p(X1 = 5) = 0,001 + 0,006 + 0,022 + 0,052 + 0,091 + 0,128 = 0,3 Partie C 1. Les interrogations des étudiants sont considérées comme indépendantes. On répète 100 fois la même épreuve dans les mêmes conditions. Chaque épreuve a seulement deux possibilités : - l'étudiant dispose de l'Internet haut débit avec la probabilité p = 0,5 - l'étudiant ne dispose pas de l'Internet haut débit avec la probabilité q = 1 – p. Donc Y suit la loi binomiale B(100 ; 0,5). 2. a. n p = 100 x 0,5 = 50 n p1 – p = 100 ×0,5 ×0,5 = 25 = 5. b. p(45 ≤ Y1 ≤ 55) = p 45−50 5 ≤Y 1−50 5 ≤55 –50 5  = p−1 ≤Y 1−50 5 ≤1  = p Y 1−50 5 ≤1  - p Y 1−50 5 ≤−1  = p Y 1−50 5 ≤1  - p Y 1−50 5 ≥1  (par symétrie) Donc : p(45 ≤ Y1 ≤ 55) = Π(1) – (1 – Π(1)) = 2 Π (1) – 1 ≈ 0,683. c. p(Y1 ≥ 39,5) = p Y 1−50 5 ≥39,5 – 50 5  = p Y 1−50 5 ≥−2,1  = p Y 1−50 5 ≤2,1  (par symétrie) Donc : p(Y1 ≥ 39,5) uploads/Management/ bts-2005.pdf