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Institut des Hautes Etudes Anouar Bouazza 2ème Année 2018 - 2019 1 / 4 Chapitre

Institut des Hautes Etudes Anouar Bouazza 2ème Année 2018 - 2019 1 / 4 Chapitre 1 : INTRODUCTION A L’ANALYSE NUMERIQUE I. Avant propos. L’analyse numérique est une discipline des mathématiques. Elle s’intéresse tant aux fondements théoriques qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique. L’objet de l’analyse numérique est de concevoir et d’étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de la modélisation de problèmes "réels", et dont on cherche à calculer la solution à l’aide d’un ordinateur. Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes). Cela signifie qu’elle s’occupe principalement de répondre numériquement à des questions à variable réelle ou complexe comme l’algèbre linéaire numérique sur les champs réels ou complexes, la recherche de solution numérique d’équations différentielles et d’autres problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l’ingénierie. II. Introduction. Certains problèmes de mathématique continue peuvent être résolus de façon exacte par un algorithme. Ces algorithmes sont appelés méthodes directes. Des exemples sont l’élimination de Gauss-Jordan pour la résolution d’un système d’équations linéaires et l’algorithme du simplexe en programmation linéaire. Par ailleurs, certains problèmes continus peuvent parfois être remplacés par un problème discret dont la solution est connue pour approcher celle du problème continu ; ce procédé est appelé discrétisation. Par exemple la solution d’une équation différentielle est une fonction. Cette fonction peut être représentée de façon approchée par une quantité finie de données, par exemple par sa valeur en un nombre fini de points de son domaine de définition, même si ce domaine est continu. L’utilisation de l’analyse numérique est grandement facilitée par les ordinateurs. Institut des Hautes Etudes Anouar Bouazza 2ème Année 2018 - 2019 2 / 4 L’accroissement de la disponibilité et de la puissance des ordinateurs depuis la seconde moitié du XXe siècle a permis l’application de l’analyse numérique dans de nombreux domaines scientifiques, techniques et économiques, avec souvent des effets révolutionnaires. III. Domaines d'études. Le champ de l’analyse numérique est divisé en différentes disciplines suivant le type de problème à résoudre, et chaque discipline étudie diverses méthodes de résolution des problèmes correspondants. Parmi les exemples de méthodes d’analyse numérique, en voici quelques-unes utilisées pour discrétiser un système d'équations : la méthode des éléments finis, la méthode des différences finies, la méthode des différences divisées, la méthode des volumes finis, ... 1. Calcul des valeurs de fonctions Un des problèmes les plus simples est l’évaluation d’une fonction à un point donné. Mais même l’évaluation d’un polynôme approchant n’est pas aussi évidente qu’il y parait : la méthode de Horner est souvent plus efficace que la méthode élémentaire basée sur les coefficients du polynôme développé et la simple somme de ses termes. Généralement, il est important d’estimer à l’avance et de contrôler les erreurs d’arrondis survenant lors de l’utilisation d’opérations arithmétiques en virgule flottante. 2. Interpolation, extrapolation et régression L’interpolation tente de résoudre ou d’approcher la solution au problème suivant : étant donné la valeur connue d'une certaine fonction en un certain nombre de points, quelle valeur prend cette fonction en un autre point quelconque situé entre deux points donnés ? Une méthode très simple est d’utiliser l’interpolation linéaire, qui suppose que la fonction inconnue évolue linéairement entre chaque paire de points successifs connus. Cette méthode peut être généralisée en interpolation polynomiale, qui est parfois plus précise et nécessite de plus petites tables de valeurs connues, mais elle souffre du phénomène de Runge. D’autres méthodes d’interpolation utilisent des fonctions localisées telles que les splines ou la compression par ondelettes. Institut des Hautes Etudes Anouar Bouazza 2ème Année 2018 - 2019 3 / 4 L’extrapolation est très similaire à l’interpolation, sauf que cette fois on veut déterminer la valeur d’une fonction en un point situé hors de l’intervalle des points connus. Dans certains cas (par exemple pour l’extrapolation de valeurs de fonctions cycliques, logarithmiques ou exponentielles), il est possible de réduire un problème d’extrapolation dans un domaine de définition très étendu voire infini, à un problème d’interpolation dans le sous-espace fini contenant les points connus. La régression est aussi similaire, mais prend en compte le fait que les données connues sont aussi imprécises. Étant donné certains points, et la mesure de la valeur d’une fonction à ces points (avec une erreur maximale estimée), on veut déterminer la fonction inconnue. La méthode des moindres carrés est une façon populaire de procéder. 3. Résolution d’équations et systèmes d'équations Un autre problème fondamental est le calcul des solutions d’une équation donnée. Deux cas sont communément distingués, suivant que l’équation est linéaire ou non. De nombreux efforts ont été consacrés au développement de méthodes de résolution de systèmes d’équations linéaires. Les méthodes standards incluent l’élimination de Gauss-Jordan, et la décomposition LU. Les méthodes itératives telles que la méthode du gradient conjugué sont généralement préférées sur les larges systèmes d’équations. Les algorithmes de recherche de racines d’une fonction sont utilisés pour résoudre les équations non linéaires (elles sont nommées ainsi car la racine d’une fonction est un argument pour lequel la fonction retourne zéro). Si la fonction est différentiable et que sa dérivée est connue, alors la méthode de Newton est un choix populaire. La linéarisation est une autre technique pour la résolution d’équations non linéaires. 4. Optimisation Les problèmes d’optimisation recherchent le point auquel une fonction donnée est maximale (ou minimale). Souvent, un tel point doit aussi satisfaire certaines contraintes. Le champ d’application de l’optimisation est lui-même découpé en sous-champs, suivant la forme de la fonction objectif et celle de la contrainte. Par exemple, la programmation linéaire traite du cas où la fonction objectif et les contraintes sont toutes linéaires. Une méthode célèbre de programmation linéaire est l’algorithme du simplexe. La méthode des multiplicateurs de Lagrange peut être utilisée pour réduire les problèmes d’optimisation avec contraintes en problèmes d’optimisation sans contraintes. Institut des Hautes Etudes Anouar Bouazza 2ème Année 2018 - 2019 4 / 4 5. Évaluation des intégrales L’intégration numérique, également connue comme quadrature numérique, recherche la valeur d’une intégrale définie. Les méthodes populaires sont basées sur les formules de Newton-Cotes (avec par exemple la méthode du point médian ou la méthode des trapèzes) ou utilisent les méthodes de quadrature de Gauss. Cependant si la dimension du domaine d’intégration devient large, ces méthodes deviennent aussi prohibitivement onéreuses. Dans cette situation, on peut utiliser une méthode de Monte-Carlo, une méthode de quasi-Monte-Carlo ou, dans des dimensions modestement larges, la méthode des grilles incomplètes. 6. Équations différentielles L'analyse numérique traite également du calcul (de façon approchée) des solutions d’équations différentielles, que ce soit des équations différentielles ordinaires, ou des équations aux dérivées partielles. Les équations aux dérivées partielles sont résolues en discrétisant d’abord l’équation, en l’amenant dans un sous-espace de dimension finie. Ceci peut être réalisé par une méthode des éléments finis, une méthode des différences finies ou, particulièrement dans l’ingénierie, une méthode des volumes finis. La justification théorique de ces méthodes implique souvent des théorèmes de l’analyse fonctionnelle. Ceci réduit le problème à la résolution d’une équation algébrique. uploads/Management/ chapitre-1-introduction-a-l-x27-analyse-numerique.pdf