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Devoir de controle n01 2016 2017 mr tlich ahmed

LS El Alia Prof Tlich Ahmed DEVOIR DE CONTROLE N Bac science AS Durée h Exercice n points On considère dans C l ? équation E z i ? i ? ?? i e z e a Véri ?er que z ei ? est une solution de E b Déduire l ? autre solution de E Le plan complexe est muni d ? un repère orthonormé direct O u v On considère les points A B et C d ? a ?xes respectifs Z A ei ? ZB i ? i ? e et ZC e a Construire les points A et C b Véri ?er que ZC i puis déduire la nature du triangle OAC ZA c Ecrire -i sous forme exponentielle puis déduire que ?? i Z A ZB d Montrer que OBAC est un parallélogramme puis construire le point B a Ecrire ZB sous forme algébrique b Déduire les valeurs de Cos ? et Sin ? Construire le cercle C de centre O et de rayon La perpendiculaire à OB passant par O coupe le cercle C en un point D d ? a ?xe ZD dont sa partie imaginaire est positive a Justi ?er que ZD i ZB b Montrer que OAD C est un carré Exercice n points Soit la fonction dé ?nie sur ? par F F f x F F F F F F x ?? x F F F F F F xCosx x ?? si x ? si x ? Montrer que f est continue en a Montrer que pour tout x ?? ?? ? on a x x ?? ? f x ? ??x x ?? b Déduire lim f x x ? ? ?? ? a Monter que lim f x x ? ? ? b Calculer ces limites x ?? lim x ? ? f x ?? lim x ? ? ? f x x lim f x x ? ? ?? ? Page sur C On suppose que f est strictement croissante sur ? a Montrer l ? équation f x admet dans ? une unique solution dans ? puis véri ?er que b Déduire le tableau de signe de f x sur ? c Montrer que véri ?e On considère les deux fonctions g et h dé ?nie sur ? par g x x et h x x a Véri ?er que pour tout x ?? ? f x h x ?? g x g x b Etudier la position relative des courbes des fonctions g et h sur ? Exercice n points Soit la suite Un dé ?nie sur IN par U et U n U n Un a Montrer que pour tout n on a ? Un ? b Montrer que Un est décroissante c Déduire que Un est convergente puis calculer sa limite d Montrer par récurrence que pour tout n on a Un n Soit la suite Sn dé ?nie sur IN par n ? Sn ?? KUK U ?? U U